ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ТОЛЩИНЫ СЛОИСТЫХ СРЕД

В последние годы, после долгого перерыва, вновь возник интерес к проникающей (подповерхностной) радиолокации слоистых сред. Исследование возможностей РЛСПЗ (радиолокационных станций проникающего зондирования), применительно к измерению толщины льдов, начато чл. кор. АН СССР профессором В.В.Богородским (НИИ Арктики и Антарктики, С.-Петербург, Россия) в шестидесятых годах. Позже к работе подключились профессор М.И.Финкельштейн (Рижский институт инженеров Гражданской авиации – РИИГА, Рига, Латвия) и профессор А.Г.Оганесян (НИКИ ЭЛВИТ Государственного университета "Львiвська полiтехнiка", Львов, Украина). В лаборатории профессора М.И.Финкельштейна ещё 25 лет назад был создан первый самолётный измеритель толщины льда. В настоящее время РКИИГА закрыт, но лаборатория подповерхностного зондирования преобразована в независимую фирму "Радарные системы", которая создала целый ряд георадаров контактного типа (с её работами можно ознакомиться в Интернете: http://www.radsys.lv).

Используем подход, предложенный Вудвордом [1] и применённый для оценки потенциальной точности радиовысотомеров [2] и систем ближней радиолокации [3]. Ограничимся однослойной средой, поскольку результат без труда обобщается на слоистую среду с произвольным количеством слоёв. Представим задачу измерения в дискретном виде. Для этого разобьём весь диапазон измеряемых толщин на N интервалов. Обозначим интервал дискретизации

, [бит].                                                                   (2)

Энтропия максимальна, если априорное распределение p(h_i) равномерно. В этом случае p(h_i)=1/N. Подставляя это значение в (2), получаем максимальное значение для энтропии

Если измерение происходило без помех, то после него неопределённость исчезает, т. е. получается некоторое количество информации I, равное величине энтропии, предшествующей измерению, т. е. I=H. Если же процессу измерения сопутствуют помехи, то после измерения энтропия полностью не исчезает, но убывает и при этом и при этом появляется некоторое количество информации I=H-H_x, где H_x - энтропия, оставшаяся после выполнения измерения

где p_y(h_i) - апостериорное распределение толщин.

Необходимое для решения той или иной практической задачи количество информации I должно быть получено в течение некоторого времени T_н (период наблюдения, время между двумя соседними измерениями (отсчётами) толщины слоя). Отсюда средняя скорость поступления информации [4]:

, [бит/с].                                                       (6)

, [бит/с],                                                                                 (7)

где F_c - полоса пропускания системы передачи информации, P_c и P_ш – мощности соответственно сигнала и шумов в системе. В случае радиолокации F_c – эффективная ширина спектра принятого сигнала [1-4].

• обе формулы позволяют вычислить количество информации в единицу времени;
• по формуле (6) вычисляется, сколько информации R необходимо получить в единицу времени (полагая, например, что задаётся техническими условиями на разработку РЛСПЗ);
• по формуле (7) вычисляется количество информации C в единицу времени, которую можно получить при заданных параметрах сигнала.

Если R<C, то теоретически измерение возможно со сколь угодно малой погрешностью. Правда, для этого потребуется и неограниченно долгое время. При R>C измерение без погрешности невозможно принципиально.

Очевидно, необходимо, чтобы выполнялось первое условие, поскольку в процессе преобразования принятого сигнала его объём уменьшается. Равенство R=C возможно только в том случае, если в формуле (6) рассматривается сигнал на выходе, например, индикатора РЛСПЗ.

или ,                                          (8)

где - объём сигнала.

Формула (8) позволяет оценить абсолютную погрешность измерения (относительно измеряемого диапазона) по известному объёму сигнала. Для расчётов удобнее отношение сигнал/шум D выразить в децибелах, время измерения как Т_н=nT_с, где Т_с-длительность сигнала, а погрешность в процентах, тогда

Оценки, даваемые теорией информации, справедливы асимптотически при беспредельном увеличении времени накопления, поэтому естественно возникает вопрос о достоверности таких оценок. Определённую сложность вызывает и оценка произведения T_нF_c, поскольку сигнал не может одновременно быть ограниченным по длительности и ширине спектра. Марпл [5] рассматривает произведение эквивалентных величин T_еF_е:

где Т – интервал дискретизации сигнала х(t). Таким образом, эквивалентная длительность дискретизированного сигнала

определяется как "площадь" этого сигнала, поделённая на его центральное значение. Эквивалентная ширина спектра определяется аналогично. При этом для действительных симметричных сигналов с максимальным значением в начале координат T_еF_е=1. Для расширения класса сигналов используют эквивалентные среднеквадратичные длительность сигнала и ширину его спектра [5], при этом .

Кривая 2 на рис. 1 построена по формуле (9) в предположении, что T_еF_е= T_нF_с=1. Аналогичная зависимость получена на цифровой имитационной (для желающих ознакомиться с имитационной моделью сообщаем свой адрес электронной почты: oganes@polynet.lviv.ua) модели корреляционной РЛСПЗ [6] при N=32 (кривая 3). Вычислялась среднеквадратичная погрешность

Величина относительной погрешности (11) при малых средних значениях модуля h_o может быть весьма большой, что вызывает неудобства при вычислении и интерпретации результата. Лучше согласуется с информационной трактовкой процесса измерения и не вызывает проблем деления на нуль, если оценивать погрешность относительно величины измеряемого диапазона:

где D _i= k_i-k_oi – разность между относительными значениями измеренной и истинной величин.

Результат получился довольно странный (см. рис.1): на большей части диапазона сигнал/шум погрешность оказалась меньше (кривая 3), чем теоретический предел, определяемый формулой (9) (кривая 2), справедливой при условии, что измеряемые величины равновероятны, а шум белый, нормальный. Эти же условия приняты и в имитационной модели.

Иной результат получается, если принять во внимание, что дискретизированный сигнал длительностью NT имеет бесконечный спектр с расстоянием между спектральными линиями 1/NT и периодом 1/Т. Поскольку один период полностью определяет весь спектр независимо от формы сигнала, примем

Для этого случая построена кривая 1 (рис.1), которая значительно лучше согласуется с имитационными данными. Однако при малых отношениях сигнал/шум расхождения остаются и их нельзя отнести за счёт недостаточного объёма статистических испытаний. Дело в том, что формулы (6, 7) и полученная из них формула (9), не учитывают случайных совпадений истинной и измеренной величин (и испорченные часы дважды в сутки показывают совершенно правильное время).

1 – Теоретическая кривая, построенная по формуле (9) для Т_нF_c=32;
2 – теоретическая кривая, построенная по формуле (9) для Т_нF_c=1;
3 – нормировка по h_max-h_min (корреляционная РЛСПЗ);
4 – исключены некоррелированные значения (корреляционная РЛСПЗ);
5 – нормировка по h_o (корреляционная РЛСПЗ);
6 – исключены некоррелированные значения (импульсная РЛСПЗ),
7 – предельная погрешность по Крамеру-Рао; И, К – область результатов лётных испытаний РЛСПЗ.

Для оценки этого рассмотрим распределение вероятностей разности двух случайных последовательностей D =h-h_o. На рис. 2 показано распределение вероятностей p(D _h) при r=0, т. е. когда последовательности h и h_o независимы. Первая последовательность h формировалась датчиком случайных чисел, а вторая h_o определялась на основе теоремы Винера-Колмогорова:

где runif(300,0,32) – датчик 300 равновероятных случайных чисел в интервале 0…31, r – коэффициент корреляции между последовательностями. При r=0 оценка погрешностей по формулам (11) и (12) соответственно равна 81% или 41%, а не 100%, как следует из формулы (9). Кстати, на рис. 2 видно, что наиболее вероятное значение погрешности (мода) в этом случае равно нулю. Если r=1, т. е. когда h=h_o, погрешность измерения равна нулю.

Естественно, удобнее иметь оценку погрешности, которая для некоррелированных последовательностей равнялась бы 100%, а не произвольному значению, кстати, зависящему от распределения вероятностей измеряемых величин. Такой оценкой может быть скорректированное значение среднеквадратичной погрешности d , зависящее от коэффициента взаимной корреляции R между измеренными и истинными значениями последовательностей

где a - константа, величина которой выбирается произвольно, но так, чтобы, начиная с некоторого значения, влиянием коэффициента корреляции можно было бы пренебречь, т. е. .

Рис. 2. Распределение вероятностей абсолютных погрешностей

На рис. 3 показаны коэффициенты корреляции R, полученные при имитационных испытаниях РЛСПЗ двух типов, а на рис. 1 показана кривая 4, которая получена путём коррекции кривой 3 по формуле (14) при a =500. Хорошо видно, что начиная с отношения сигнал/шум=-5 дБ, обе кривые практически совпадают. Теперь кривая 4 во всём диапазоне проходит выше кривой 1. Погрешность импульсной РЛСПЗ [6] представлена кривой 6.

1 – Корреляционная РЛСПЗ; 2 –импульсная РЛСПЗ.

Рассмотрим ещё одну оценку – неравенство Крамера-Рао, позволяющее определить нижнюю границу дисперсии несмещённой оценки скалярного параметра a по случайной последовательности x:

где - функция правдоподобия [5]. Это неравенство принимает вид

при оценке погрешности запаздывания отражённого сигнала независимо от используемого метода [7]. Перейдём к относительным единицам:

При отношениях сигнал/шум ниже –5 дБ, предельные значения погрешностей мало отличаются от соответствующих погрешностей, полученных при имитационных испытаниях. В рабочем же диапазоне РЛСПЗ, начиная с 10 дБ и выше, предельные значения погрешностей отличаются значительно, на несколько порядков, хотя результаты имитационных и натурных испытаний совпадают достаточно хорошо. Причина несоответствия в том, что формулы (9) и (15), по которым вычислялись предельные значения погрешностей, не учитывают дискретного характера измерительного устройства. Квантование измеряемой величины приводит к появлению погрешности, зависящей только от количества уровней квантования N и равной [4]:

которая при N=32 равна примерно 1 %, как показано на рис. 4 (обозначения такие же, как и на рис. 1).

• минимальная погрешность измерений толщины дрейфующих морских льдов при 32 интервалах дискретизации измеряемого диапазона и отношении сигнал/шум » 20 дБ не превышает 1%;
• погрешность корреляционной РЛСПЗ по результатам имитационных и лётных испытаний над гладкими дрейфующими льдами не превышает 6%;
• погрешность импульсной РЛСПЗ по результатам имитационных и лётных испытаний над гладкими дрейфующими льдами не превышает 15%.

1. Вудворд Ф.М. Теория вероятностей и теория информации с применениями в радиолокации. – М.: Советское радио, 1965, 128 с.
2. Оганесян А.Г. Информационный критерий оценки высотомеров. - Рига: РКИИГА, вып. 78, 1967, 18 с.
3. Коган И.М. Теория информации и проблемы ближней радиолокации. – М.: Советское радио, 1968, 144 с.
4. В.В.Богородский, А.Г.Оганесян. Проникающая радиолокация морских льдов с цифровой обработкой информации. – С-.Петербург: Гидрометеоиздат, 1987, 342 с.
5. Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 584 с.
6. А.Г.Оганесян, И.Б.Чайковский. О возможности создания орбитальной радиолокационной станции проникающего зондирования. – М.: "Журнал радиоэлектроники" № 5, 2000, 8 с., раздел "Радиотехника". http://jre.cplire.ru
7. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. Пер. с английского под ред. В.С.Кельзона. –М.: "Сов. радио", 1971, 568 с.