c1.gif (954 bytes)

"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 12, 2002

оглавление

дискуссия

c2.gif (954 bytes)

 

ОПТИМИЗАЦИЯ ПОИСКА УСЛОВНО ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЦЕЛИ БОЛЬШОЙ ПОИСКОВОЙ СИСТЕМОЙ

А. А. Строцев

Ростовский военный институт ракетных войск

Получена 18.12.2002 г.

 

 

В  статье рассмотрен синтез равномерно оптимального управления поиском в большой поисковой системе, в случае, когда движение цели можно считать условно детерминированным.

 

 

Введение. В [1] рассмотрена задача поиска неподвижной цели многопозиционной информационной системой. Однако искомая цель часто является подвижной с детерминированными уравнениями динамики и стохастическими начальными условиями. Поиск таких целей с условно детерминированным движением рассмотрен, например, в [2]. В отличие от задач поиска неподвижной цели оптимизация поиска условно детерминированных динамических целей не позволяет в общем случае получить равномерно оптимальные стратегии поиска. Т.е. стратегии, обладающей свойством: поиск, который заканчивается в произвольный момент времени, оптимален. Отметим, что в практическом плане применение именно равномерно оптимальных стратегий поиска приводит к реализации оптимального поиска в быстро меняющейся обстановке практически в каждый момент времени. Таким образом, синтез равномерно оптимального управления поиском целей с условно детерминированным движением является актуальной задачей.

 

1.Постановка задачи. Рассматривается большая поисковая система, действия отдельных поисковых единиц которой описываются функцией плотности поиска (стратегией поиска) ,  [2]. Положение новой цели в области поиска  задаётся начальной плотностью распределения .  Уравнение движения цели имеет вид:

ż=f(z,v,t)                                                                                  (1)

где , - вектор управления, , .

Тогда уравнение динамики апостериорной плотности распределения положения цели может быть получено в виде [2]

 , (2)

 ,                                                     (3)

где обладает следующими свойствами:

1.      ;  для всех ,;                    (4)

2.       - есть вероятность обнаружения цели в интервале времени  при условии, что цель находится в некоторой небольшой области  точки   и не обнаружена до момента .

Полагается, что область поиска , динамика цели, описываемая выражением (1), и начальная плотность распределения положения цели  таковы, что  для всех  .

Требуется найти равномерно оптимальную по критерию минимума вероятности необнаружения цели к моменту времени  стратегию поиска для задачи (2)-(4).

 

2. Модель задачи синтеза равномерно оптимальной стратегии  поиска условно детерминированной цели. Преобразуем исходную задачу. Уравнение (2) сводится к линейному с использованием подстановки

 ,                      (5)

где ненормированная мера   определяется как вероятность того, что цель находится в некоторой небольшой области  точки   и не обнаружена до момента .

Подставляя (5) в (2) и (3) получим

,(6)

   .                                               (7)

Обозначим

 ,                                                  (8)

 , .                                              (9)

Тогда характеристические уравнения для (6), (7) принимают вид:

 , ,    (10)

 , ,                                       (11)

 

 , ,                                    (12)

,                                    (13)

При этом требуется найти  минимизирующую вероятность необнаружения цели к моменту времени  [2]:

 .                                          (14)

Разложим функцию  в ряд Тейлора в окрестности опорной траектории , заданной уравнением

, .                                          (15)

Полагая отклонения от опорной траектории малыми и ограничиваясь линейными членами ряда, выражение  (1) с учётом (15) перепишем в виде

,                                          (16)

где

,

.

Подставляя (16) в (10) получим независимое от других переменных системы (10)-(13) уравнение

 , .  (17)

Для каждого  решение (17) можно записать в виде

 .      (18)

Таким образом, получаем следующую задачу нахождения оптимальной стратегии поиска :

,  (19)

;  для всех .             (20)

Отметим, что  связано с решением исходной задачи через решение (16):

,                               (21)

где  - фундаментальная матрица системы (16), ,

.                           (22)

Т.е., учитывая (21), (22),

.                       (23)

   Полученная модель исходной задачи отличается от случая неподвижной цели наличием в функционале известных элементов уравнения динамики цели, которые не влияют на свойства получаемого решения. Т.е. для задачи (19), (20) можно применить разработанный, например, в [2], [3] для неподвижной цели аппарат и получить равномерно оптимальную стратегию поиска. Однако часто достаточно получить приближённое численное решение задачи.

 

3. Алгоритм приближённого решения оптимизационной задачи. Поскольку рассматриваемое в такой постановке задачи управление поиском   не будет в точности воспроизводиться некоторой реальной системой [2], то достаточно найти приближённое решение.

Перейдём к дискретному приближению исходной задачи. Разобьем интервал   на  частей длительностью  точками  . Положим, что интеграл  практически постоянен на достаточно малых областях , ,  и представим в виде

.                                  (24)

Тогда (19) представимо

 , (25)

где , , а ограничение (20)

 .                                        (26)

Введём обозначения

,

,

 ,                     (27)

тогда решение задачи (19), (20) сводится к последовательному решению следующих задач математического программирования:

найти

,                         (28)

в условиях ограничений

, , , .               (29)

Переход от оптимального решения (28), (29)  к  оптимальному решению исходной задачи  осуществляется в соответствии с (23):

.      (30)

            Отметим, что (27), (28) отражают свойство равномерно оптимальной стратегии поиска, отмеченной Аркиным в [3].

 

4.      Пример синтеза равномерно оптимальной стратегии поиска условно детерминированной динамической цели.  В качестве примера применения построенного в п.3 алгоритма рассмотрим синтез равномерно оптимальной стратегии поиска в следующей задаче: ,  - отрезок , , , , , , ,

.

Начальная плотность распределения положения цели задана в виде  нормальной плотности распределения .

Требуется найти , , .

 В результате решения последовательности задач математического программирования вида (28), (29), с учётом (30) получим оптимальную стратегию поиска, вид которой показан на рис. 1.

                                                      Рис.1

 

Из анализа рис.1 видно, что полученная стратегия поиска обладает свойством, отмеченным в [2], [3] применительно к равномерно оптимальной стратегии поиска неподвижной цели: существует область , увеличивающаяся со временем, такая, что стратегия поиска положительна внутри области  и равна нулю в .

При применении   значение вероятности необнаружения цели в условиях рассматриваемого примера равна  , а при равномерном распределении поисковых усилий  , что более чем на порядок больше.

 

Заключение. Синтез равномерно оптимальных стратегий в задаче оптимального поиска условно детерминированной динамической цели достигнут за счёт использования независимости части характеристических уравнений при некотором упрощении модели движения цели. Однако в отличие  от задач наблюдения в задаче поиска это упрощение не оказывает значительного влияния.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Строцев А.А. Оптимальный поиск неподвижной цели многопозиционной информационной системой. – Интернет-публикация, М.: Журнал радиоэлектроники , № 4, 2002.

2. Хеллман О. Введение в теорию оптимального поиска. – М.: Наука, 1985.

3. Аркин В.И. Задачи оптимального распределения поисковых усилий. – Теория вероятностей и её применения, 1964, т. 9, № 1.

оглавление

дискуссия