“ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ” N 12, 2011 |
УДК 621.391
УВЕЛИЧЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
С. А. Останин
Алтайский государственный университет, г. Барнаул
Получена 30 ноября 2011 г.
Аннотация. В работе предложен метод увеличения отношения сигнал/шум сигнала основанный на последовательном вычислении автокорреляционной функции. Метод позволяет повысить отношение сигнал/шум гармонических и периодических негармонических сигналов. Приведены результаты работы обнаружителя сигнала построенного с использованием LabVIEW.
Ключевые слова: обнаружение слабых сигналов, автокорреляционный анализ.
Abstract. In this paper we propose a method of increasing the signal / noise signal based on the sequential calculation of the autocorrelation function. The method allows to improve the signal / noise ratio of harmonic and periodic non-harmonic signals. The results of the detector signal is constructed using LabVIEW.
Keywords: detection of low signals, autocorrelation analysis.
Для обнаружения слабых сигналов в аддитивной смеси с шумом используют, например, корреляционные методы анализа сигнала [1]. В частности, при измерении частоты доплеровских сигналов лазерных анемометров, для оценки скорости движения частиц аэрозоля, с целью увеличения отношения сигнал/шум вычисляют автокорреляционную функцию сигнала [2-3]. Поступающий с фотоприемного устройства сигнал проходит через фильтр высоких частот и при этом теряет постоянную составляющую. Частоту среза выбирают заведомо ниже минимально возможной частоты доплеровского сигнала с тем, чтобы не потерять информацию о скорости движения отражающих объектов. Процессор вычисляет автокорреляционную функцию доплеровского сигнала и по периоду этой функции судят о частоте доплеровского сигнала. Увеличение отношения сигнал/шум зависит, в том числе от длительности сигнала. В тех случаях, когда длительности сигнала увеличить не представляется возможным (например, доплеровские сигналы лазерных анемометров), возникает проблема поиска альтернативных методов повышения отношения сигнал/шум.
Для обнаружения и анализа сигналов такого рода предлагается использовать метод последовательного вычисления автокорреляционной функции, заключающийся в том, что после вычисления автокорреляционной функции исходного сигнала вычисляется автокорреляционная функция от автокорреляционной функции и так далее. При этом отношение с/ш растет от итерации к итерации. Процесс повторяется до тех пор, пока отношение с/ш становится достаточным для определения частоты доплеровского сигнала.
Рассмотрим применение метода для повышения отношения с/ш для гармонического сигнала. Пусть исходный сигнал x(t) представляет собой аддитивную смесь периодического детерминированного сигнала s(t) и шума n(t), являющегося стационарным процессом второго порядка:
Дополнительно предположим, что функции s(t) и n(t) – центрированы. Автокорреляционная функция для сигнала x(t), по определению, вычисляется следующим образом:
.
Отсюда, оценка автокорреляционной функции, в силу дистрибутивности корреляционного оператора, есть
.
При условии независимости сигнала s(t) от шума n(t), корреляционные функции и тождественно равны нулю с точностью до погрешностей оценок, обусловленных конечным временем интегрирования. Автокорреляционная функция шума стремится к нулю с возрастанием задержки и для достаточно больших значений, больших по модулю некоторого времени задержки , =0. Значение , начиная с которого автокорреляционную функцию можно положить равной нулю, зависит от характеристик шума, в частности, от его спектральной плотности: чем шире полоса частот шума при заданной полной мощности, тем быстрее убывает автокорреляционная функция. И так,
, (2)
где ошибка тем меньше, чем больше время интегрирования Т. Фурье-образ автокорреляционной функции представляет собой спектр мощности и поэтому равен квадрату Фурье-образа самой функции s(t). А это значит, что автокорреляционная функция содержит все частоты функции s(t), и только эти частоты. Если, например, x(t) – сигнал фотоприемника доплеровского анемометра, то частота сигнала равна частоте его автокорреляционной функции . Если обозначить отношение с/ш до вычисления автокорреляции Rе, а после вычисления – Rs , то увеличение отношения с/ш по мощности, для гармонического сигнала s(t) определяется [2] формулой:
G = Rs / Rе ≈ 2ТВ / (2+1/Rе) .
Если Rе<< 1 , то
G = Rs / Rе ≈ 2ТВRе , (3)
Rs ≈ 2ТВR2е . (4)
Далее, введем обозначения
(5)
поскольку периодическая составляющая содержится в функции , а шум – в функции . Функция , также как и , является центрированной случайной стационарной функцией, отличающейся от тем, что имеет меньшую дисперсию. Следовательно, можно вычислить автокорреляционную функцию еще раз, теперь уже от функции . В результате получим функцию , которая содержит все частоты исходной функции , но имеет более высокое отношение с/ш. Определим увеличение отношения с/ш для второй автокорреляционной функции . С учетом обозначений (5), соотношение (4) описывающее новое отношение с/ш, вычисленное в соответствии с методикой, изложенной в [4], примет вид
.
Увеличение отношения с/ш по мощности будет равно
при сравнении функций и . Если сравнивать отношение с/ш функции и отношение с/ш исходной функции x(t), то увеличение отношения с/ш по мощности будет равно
Если процедуру последовательного переобозначения и вычисления автокорреляционной функции осуществлять N раз, то отношение с/ш возрастет соответственно в раз по мощности
, (6)
где R0 º Re , RN – отношение с/ш, вычисленное для автокорреляционной функции, имеющей номер N в ряду последовательно вычисленных автокорреляционных функций, а отношение с/ш для итерации с номером N
. (7)
На рисунке 1 представлена зависимость отношения с/ш (RN) от количества процедур вычисления автокорреляционных функций N для произвольно выбранных исходных отношений с/ш (Re), Т, В. Численные эксперименты по определению зависимости RN от количества процедур, выполненные в среде LabVIEW и выражение (7) дают практически одинаковый результат (коэффициент вариации составляет величину 0,01).
Рис. 1. Зависимость отношения с/ш RN от количества процедур вычисления автокорреляционных функций N.
На рисунке 2а представлен фрагмент исходного сигнала вида (1) с отношением сигнал/шум , нормированная автокорреляционная функция сигнала (2б), спектр сигнала (2в) и спектр автокорреляционной функции (2г).
а б
в г
д е
ж з
Рис. 2. а – исходный сигнал с отношением ,
б – автокорреляционная функция сигнала, в – спектр сигнала, г – спектр автокорреляционной функции сигнала, д, е – вторая и пятая автокорреляционная функция, ж, з – их спектры.
Численно моделированный в среде LabVIEW сигнал содержал 105 дискретных значений, , длительность – 1с. Как видно из рисунка, при таком низком отношении с/ш обнаружить детерминированную компоненту сигнала s(t) в смеси с шумом по автокорреляционной функции практически невозможно. Спектры второй (рисунок 2ж) и пятой (рисунок 2з) автокорреляционных функций содержат указанную гармонику, причем наблюдается рост отношения с/ш в каждой последующей автокорреляционной функции.
Рассмотрим другой случай, когда исходный сигнал x(t) представляет собой аддитивную смесь периодического, но не гармонического детерминированного сигнала s(t) и шума n(t), являющегося стационарным процессом второго порядка:
,
где k – количество гармоник сигнала s(t).
Оценка автокорреляционной функции, как и прежде, имеет вид
,
здесь
,
Сделаем ее оценку :
. (8)
Выражение (8) содержит слагаемые
,
а б
в г
д е
ж з
Рис. 3. а – исходный сигнал с отношением ,
б – автокорреляционная функция сигнала, в – спектр сигнала, г – спектр автокорреляционной функции сигнала, д, е – вторая и пятая автокорреляционная функция, ж, з – их спектры.
,
,
которые стремятся с нулю, с ростом Т и
. (9)
При (), слагаемые в (9) стремятся к нулю, а при (,) . Это означает, что спектры всех вычисляемых автокорреляционных функций от периодических негармонических сигналов содержат только гармоники сигнала .
На рисунке 3 проиллюстрированы результаты использования предложенного метода полученные с использованием LabVIEW. Сигнал представлял собой суперпозицию трех гармоник с частотами 2кГц, 6кГц, 8кГц. Отношение сигнал/шум модельного сигнала, для гармоники 2кГц . Из рисунка видно, что с увеличением количества вычисляемых автокорреляционных функций отношение сигнал/шум увеличивается. На рисунке 3е (пятая автокорреляционная функция) визуально можно обнаружить только низшую гармонику сигнала, однако спектр автокорреляционной функции (рисунок 3з) позволяет надежно обнаруживать все гармоники исходного сигнала .
Таким образом, показана возможность повышения отношения сигнал/шум слабых гармонических и негармонических периодических сигналов в случае, если для исследования предоставлена только одна реализация сигнала и не существует возможности увеличить длительность сигнала каким-либо образом.
Литература
1. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. / Пер.с англ. - М., Советское радио, 1972. - Т.1.
2. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. – М.: Мир, 1983 – Т.1,2.
3. С.Д. Бураков, А.П. Годлевский, С.А. Останин Определение микрофизических параметров аэрозоля приемопередатчиком на основе твердотельного лазера // Оптика атмосферы.– 1989.– №2.– С. 206-210