ДВУМЕРНО - ЭКВИДИСТАНТНАЯ РЕШЕТКА ЩЕЛЕВЫХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ, КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ПО ОДНОЙ КООРДИНАТЕ И БЕСКОНЕЧНАЯ ПО ДРУГОЙ, СОДЕРЖАЩАЯ ДВЕ ЩЕЛИ НА ПЕРИОДЕ.

 

М.Д. Дупленкова

Московкий энергетический институт

Получена 16.02.2004 г.

 

 

          Рассмотрена двумерно-эквидистантная решетка щелевых излучателей на основе плоского волновода, конечная вдоль оси 0x и бесконечная вдоль оси 0y, содержащая две щели на периоде. Анализ этой структуры, проводимый в рамках  строгого подхода, связан с непосредственным решением электродинамической задачи для конечной решетки. На основе полученного решения построен эффективный численный алгоритм, позволяющий определять основные внешние характеристики рассматриваемой решетки: распределение токов на щелях, матрицу рассеяния, диаграмму направленности и коэффициент усиления. Представлены результаты численных расчетов. Показано, что антенная решетка, содержащая две щели на периоде, позволяет преодолеть один из основных недостатков антенн бегущей волны – невозможность излучения по нормали.

 

1. Введение

 

            Работа посвящена методам анализа антенных  решеток щелевых излучателей на основе плоского металлического волновода и является продолжением серии работ [1,2,3], посвященных антеннам данного типа. В работах [1,2] исследована  бесконечная двумерно-периодическая решетка щелей. В работе [3] получено электродинамическое решение задачи о возбуждении решетки конечной длины, возбуждаемой собственной волной плоского волновода, падающей под произвольным углом. В данной работе мы продолжаем исследование антенных решеток такого типа, причем нас интересуют решетки, содержащие две щели на периоде, для которых предложено строгое электродинамическое решение задачи о возбуждении решетки собственной волной плоского волновода, падающей под произвольным углом. Поле в щелях описывается одной тригонометрической функцией, как и в работе [1].

 

2. Постановка задачи.

 

     В данном разделе приводится электродинамическое решение задачи о возбуждении решетки, содержащей две разные щели на периоде, конечной по оси 0x. Щели повернуты относительно оси 0y на углы соответственно q1 и q2, и смещены относительно начала координат таким образом, что центры щелей имеют координаты соответственно x₁₀, y₁₀  и x₂₀, y₂₀. Исследуемая структура изображена на рис. 1. Будем полагать, что решетка бесконечна по оси 0y и возбуждается основной Т-волной плоского волновода высотой h между бесконечно тонкими идеально проводящими поверхностями. Волна распространяется под углом j к оси 0x.

  

Рис.1

Считаем, что распределение поверхностного магнитного тока в эквивалентной щели с электрическим полем Е₀, определяемый формулой  имеет только одну продольную составляющую или , что справедливо для достаточно узких щелей.

Полагаем также, что указанные компоненты магнитных токов в щелях, расположенных на нулевом периоде решетки, описываются следующими функциями:

,               (1)

_,                       (2)

где А1₀, А2₀ – напряжения между кромками первой и второй щелей соответственно, имеет размерность Вольт, L1 - длина первой щели, W1 - ширина первой щели, L2 - длина второй щели, W2 - ширина второй щели.  Токи в щелях описываются одной базисной функцией, так как гармоники высших порядков слабо влияют на форму диаграммы направленности и на коэффициент отражения, что было показано в работе [2].

В других щелях магнитный ток отличается от магнитного тока в начале координат только амплитудными множителями. Присвоим всем периодам решетки, содержащим две щели, номера, характеризующие их положение относительно начала координат. Номер n соответствует координате у и меняется от -¥ до ¥.  Нулевой номер имеет период расположенный в начале координат.   Номер m меняется от 0 до M-1, где M- число периодов в решетке по координате x.     На периодах с номерами m¹0 магнитные токи отличаются от токов на периоде с m=n=0 (1,2) только амплитудными множителями А_m, которые необходимо определить. Пусть поле падающей волны зависит от х, у следующим образом:

,                                                                     (3)

где - b₀ и k_t – проекции волнового вектора волны на оси 0y и 0x. Параметр b₀ в силу бесконечности решетки вдоль оси 0y задает зависимость комплексных амплитуд полей в щелях. С учетом этой зависимости можно записать выражение для магнитных токов на n,m – ом периоде:

 ,                                                             (4)

.

Множители А1_m, А2_m определяются из системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которая возникает из системы интегральных уравнений для магнитных токов. Из выражения (4) в частности следует, что магнитные токи на щелях будут полностью определены, если будут найдены коэффициенты А1_m, А2_m.

 

3. Вывод системы интегральных уравнений

 

Система интегральных уравнений (СИУ) и далее СЛАУ выводятся из решения граничной задачи. Процедура вывода СИУ для решетки, конечной по оси 0х аналогична случаю бесконечной решетки и достаточно подробно была изложена в работах [1,2]. Поэтому приведем здесь лишь схему решения граничной задачи. Нам необходимо найти решение уравнений Максвелла в областях 1 и 2, удовлетворяющее следующим граничным условиям  (ГУ) [4]:

Е_t1,2=0    при   z=-h   -¥<x,y<¥                                             (5)

Е_t1,2=0    при   z=0    -¥<x,y<¥, кроме   x,yÎS_щ                    (6)

Е_t1 =Е_t2   в области щелей                                                    (7)

Н_t1= Н_t2  в области щелей                                                    (8)

Решение граничной задачи предусматривает следующие шаги:

1) Щель в экране заменяем двумя листками поверхностного магнитного тока [5], расположенными по обе стороны полностью металлизированного экрана. Таким образом, одна щель эквивалентна двум противоположно направленным листкам магнитного тока, расположенным в областях 1 и 2 на полностью металлизированном экране. Благодаря этому обстоятельству сразу выполняется ГУ (7).

2) Находим поле, создаваемое поверхностными магнитными токами в областях 1,2. Это поле удовлетворяет всем ГУ, кроме (8).

3) Выражаем Н_t1 и  Н_t2  через (1,2) и приравниваем их в соответствии с (8). В силу периодичности поля по координате у достаточно обеспечить непрерывность магнитного поля в одной линейке щелей, например с номером n=0. Для линеек щелей с разными номерами m необходимо обеспечить выполнение граничных условий индивидуально. В результате удовлетворения граничных условий для магнитного поля получается следующую систему равенств:

         (9)

         (10)

где  

k₁ и k₀ волновые числа среды, заполняющей плоский волновод и свободного пространства,

                                           (11)

                                     

         В (15), (16) индекс k пробегает те же значения, что и индекс m, а переменные  меняются в пределах областей, совпадающих с областями, занятыми щелями на периоде с индексами n=m=0.  Выражения (15), (16) можно привести к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных А_m с помощью процедуры Галеркина [5]. Для этого каждое равенство из системы (9) умножаем на функцию (1) и интегрируем равенство по всей области определения (9), а каждое равенство из системы (10) умножаем на функцию (2) и интегрируем равенство по всей области определения (10). В результате интегрирования получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

 (12)

                   (13)

где

 

Введем следующие обозначения:

                                                  (14)

    (15)

С учетом (14), (15) система (12)-(13) приобретает новый вид:

                                  (16)

Таким образом, нам удалось привести исходную электродинамическую задачу к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), размерность которой меняется в зависимости от количества элементов рассматриваемой решетки.

Величины Y11_km, Y12_km, Y21_km, Y22_km  имеют простой физический смысл. Можно рассматривать конечную по оси 0x и бесконечную по оси 0y решетку как M бесконечных пар линеек щелей. В этом случае величинам Y_km можно приписать смысл взаимных проводимостей линеек щелей, которые описывают взаимодействие k-ого периода с m-ым. Например, величина Y11_km описывает взаимодействие первой щели на k-ом периоде с первой щелью на m-ом периоде; Y12_km - описывает взаимодействие первой щели на k-ом периоде со второй щелью на m-ом периоде и т.д.

                                  

4. Алгоритм вычисления коэффициентов СЛАУ

 

Численное решение (16) представляет определенную сложность из-за того, что при расчете Y_km интегрирование в бесконечных пределах нерегулярной функции, а затем двойное суммирование требуют больших ресурсов ЭВМ. Построению эффективных алгоритмов численного решения задач подобного типа посвящены раздел 2 работы [2] и раздел 3 работы [3]. Повторяем рассуждения, изложенные в этих работах, и опуская громоздкие промежуточные выкладки, приводим лишь конечные результаты вычисления коэффициентов СЛАУ для решетки, имеющей две щели на периоде.

Используя преобразование Пуассона [6] представим равенства (14), (15) в следующем виде:

,                                          (17)

где  индексы i,j=1,2,

                       (18)

где функции  определяются в соответствии с (11), однако нужно сделать замену:

                                (19)

     Особенностью (17) является то, что интегрирование ведется уже в конечных пределах, а подынтегральные функции, главными частями которых являются функции D_ij(k) хорошо изучены ранее в работе [2].

     Для построения эффективных алгоритмов вычисления функций D_ij(k)  представляем их как сумму регулярной и нерегулярной частей:

,                                                                  (20)

 где индексы i,j=1,2, SS_ij(k) – описывают особенности типа простых полюсов функций D_ij(k):

,                                (21)

где

,                                                     (22)  

АА_ij(k) – описывают особенности типа точек ветвления функций D_ij(k):

                                             (23)

где  а d=const, выбирается так, чтобы ряд по m был быстро сходящимся,   определяем из условия

                                                         (24)

где .

     Q_ij(k) -  описывают регулярные части функций D_ij(k):

            (25)

,

, функции SS_ij определены выражением (21), а функции АА_ij определены выражением (23).

     В соответствии с выражением (17) проинтегрируем функции (20) на отрезке от -p/P_x     до p/P_x. В результате получаем следующие выражения для коэффициентов СЛАУ (16):                  

,                                                                  (26)

где

.                                                          (27)

     Функции Q_ij(k) -  гладкие, поэтому численное интегрирование не представляет сложности. Эти функции определяются выражением (25).

Функции SS_ij(k) определяются выражениями (21) - (22). Интегралы от них вычисляем аналитически:

                                                                                                                 (28)

где  определяются выражением (22).     

         Функции АА_ij(k) определяются выражениями (23) - (24). Интегралы от них также вычисляем аналитически:

        (29)

где и  определяются выражением (24), - функция Ханкеля второго рода нулевого индекса, - функция Ханкеля второго рода первого индекса.

         Таким образом, коэффициенты СЛАУ (16), а значит и токи в щелях определены.

4. Матрица рассеяния

 

Рассчитаем одну из основных внешних характеристик, необходимых для  проектирования антенных решеток с последовательным питанием: матрицу рассеяния. В соответствии с принципом суперпозиции элементы матрицы рассеяния решетки, содержащей две щели на периоде определяются следующим образом:

                              при х=0,                        (30)                        при х=0,                        (31)

где  E1,2_{z обр} - E_z-компоненты отраженной волны, создаваемой только щелями соответственно первого и второго типа; E1,2_{z прям} - E_z-компонента прошедшей волны, создаваемая только щелями соответственно первого и второго типа,

.                                                   (32)

В работе [3] было показано, что

                     (33)

                (34)

где , определяются выражениями (18), (19), А1,2_m –амплитуды токов на щелях соответственно первого и второго типа, определяемые в результате решения СЛАУ (16).

                    (35)

                   (36)

      Подставляя (32)-(36) в (30), (31) получаем окончательные выражения для коэффициентов отражения и прохождения S11 и S12, которые имеют следующий вид:

                                                                                                                                        (37)

                                                                                                                                                     (38)

 

5. Диаграмма направленности и коэффициент усиления

 

Рассчитаем основные внешние характеристиками антенной решетки: диаграмму направленности (ДН) и коэффициент усиления (КУ). Для этого из решетки, имеющей M периодов по оси 0х и периодической по оси 0у, делается вырезка из N периодов по оси 0у. При этом полагаем, что распределение магнитных токов в щелях решетки с конечным числом элементов по обоим координатам совпадает с распределением магнитных токов, полученным для решетки, конечной в одном направлении. Отметим также, что экран при z=0 полагается бесконечным. Таким образом, излучение происходит только в верхнее полупространство. В дальнейшем нам будет удобно пользоваться сферическими координатами . Введем их в соответствии с [4] (рис.2).

Рис.2

Получим выражение для векторного потенциала в дальней зоне для щели первого типа (параметры q1, W1, L1) и для щели второго типа (параметры q2, W2, L2), расположенных на нулевом периоде, воспользовавшись результатами, полученными в [3]:

               (39)

Определим теперь магнитный потенциал для полупространства, создаваемый всей совокупностью щелей первого типа и щелей второго типа. Используя (39) и принцип суперпозиции, получаем:

где .                                                                 (40)

Выразим теперь компоненты напряженности электрического  и магнитного полей через магнитные потенциалы. Приведем, например выражение для -компоненты поля, создаваемого магнитными токами в щелях первого типа:

где мы обозначили - ДН одного элемента первого типа, -  множитель направленности решетки, состоящей только из элементов первого типа.

,(41)

.(42)

Аналогичным образом можно записать  и т.д.

         Определим компоненты напряженности электрического  и магнитного поля, создаваемого всеми магнитными токами, пользуясь принципом суперпозиции:

где ,.

Аналогичным образом находим все остальные компоненты поля.

     Запишем выражение для вектора Пойнтинга, который  определяется следующим образом [4]:

.

     После несложных, но громоздких алгебраических преобразований, окончательно получаем:

                                                                                                         (43)

Нормированная ДН по мощности определяется как: .

     Получим выражение для коэффициента усиления решетки: повторяя рассуждения для вывода коэффициента усиления, получаем следующее выражение:

,

где П_r определяется выражением (43), а S11, S12 – выражениями (37), (38).

 

6. Численные результаты

 

     В этом разделе представлены некоторые результаты, полученные при численном анализе антенной решетки, имеющей две щели на периоде, бесконечной по оси 0y и конечной по оси 0x. Целью первого этапа численного исследования является проверка изложенной выше модели решетки с двумя щелями на периоде. Для этого одна и та же решетка моделируется как решетка с одной щелью и с двумя щелями на периоде. В идеальном случае обе модели должны давать одинаковые результаты. Результаты, представленные ниже получены для антенной решетки со следующими параметрами: h=4 мм, P_y=10 мм, W=1 мм, e=2.25, f=0, AP=160 мм. При анализе использовались две математические модели:

     математическая модель ММ1 - электродинамическое решение для решетки, содержащей одну щель на периоде, подробно изложенное в [3] (тогда P_x=14 мм, число периодов на длине решетки N=12); на рисунках 3 – 7 этой математической модели соответствуют зависимости с номером 1;

     математическая модель ММ2 - решение для решетки, содержащей две щели на периоде, изложенное в этой работе (тогда P_x=28 мм, расстояние между 1-ой и 2-ой щелью равно 14 мм, число периодов на длине решетки N=6); на рисунках 3 –7 этой математической модели соответствуют зависимости с номером 2.

На рис. 3 приведен модуль амплитудного распределения токов на щелях на длине решетки. На рис.4 приведены частотные зависимости угла излучения решетки. На рис. 5 показаны частотные зависимости модулей коэффициентов отражения S11 и прохождения S21. На рис. 6 приведена нормированная диаграмма направленности в плоскости XOZ.

   

Рис.3                                                         Рис.4

Рис.5                                                Рис.6

На рис 7 приведена частотная зависимость коэффициента усиления; для сравнения на графике приведена частотная зависимость коэффициента направленного действия антенны, имеющей такую же площадь, как и исследуемая антенна, и равномерное распределение токов на щелях, эта зависимость обозначена номером 3.

 

Рис. 7

Покажем, что антенная решетка, содержащая две щели на периоде, позволяет нам преодолеть один из основных недостатков антенн бегущей волны – невозможность излучения по нормали. Этот недостаток связан с так называемым эффектом нормали: отраженные волны от всех элементов складываются в фазе и поэтому коэффициент отражения от такой решетки очень велик. Для того, чтобы преодолеть этот недостаток, будем использовать решетку, содержащую две щели на периоде. Подбираем сначала взаимное расположение и геометрические размеры щелей на одном периоде таким образом, чтобы коэффициент отражения от такой линейки щелей стремился к нулю. Приводим далее полученные параметры: h=4 мм, L1=7.3 мм, W1=1 мм, L2=7 мм, W2=1 мм, e=2.25, x01= -2 мм, y01=2 мм, x02=0.9, y02=0 мм, q1=q2=33°, которые соответствуют зависимостям, приведенным на рис.8. Из рисунка видно, что коэффициент отражения  от такой линейки щелей очень мал (S11<0.1),то есть щели согласованы, а коэффициент прохождения достаточно велик (S12>0.85).

Рис.8                                      Рис.9

     Затем переходим к решетке, состоящей из N=40 исследованных линеек, и добиваемся того, что коэффициент прохождения также становится мал (S12<0,2), что соответствует зависимостям, приведенным на рис.9. На рис. 10 приведена частотная зависимость коэффициента усиления, из которой хорошо видно, что данная решетка излучает по нормали на частоте f=13.28 ГГц. На рисунках 11 и 12 приведены соответственно диаграмма направленности в плоскости XOZ на частоте f=13.3 ГГц и частотная зависимость коэффициента усиления решетки. Для сравнения на рис.12, обозначенная цифрой 2, приведена частотная зависимость коэффициента направленного действия антенны, имеющей такую же площадь, как и исследуемая антенна, и равномерное распределение токов на щелях.

Рис.10                                              Рис.11

Рис.12                                         Рис.13

Чтобы продемонстрировать преимущества использования в данном случае решетку, содержащую две щели на периоде перед решеткой, содержащей одну щель на периоде, на рис. 13 приводим частотные зависимости коэффициентов отражения и прохождения для решетки имеющей такие же параметры, но длина второй щели стремится к нулю.

Таким образом, в данном разделе были приведены некоторые результаты численного исследования решетки, содержащей две щели на периоде, и показано, что такая решетка может излучать по нормали к плоскости решетки.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

 

1.     Банков С.Е.// РЭ. 2001. т. 46. № 4.с.441

2.     Банков С.Е, Дупленкова М.Д.// РЭ.2003. №3.

3.     Банков С.Е, Бодров В.В, Дупленкова М.Д.//РЭ 2003. №6.

4. Марков Г.Т, Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.:-Л., Энергия, 1967.

5. Бодров В.В, Сурков В.И. Математическое моделирование устройств СВЧ и антенн. М.: Изд-во МЭИ, 1994.

6. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., Наука, 1988