“ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ” N 2, 2010 |
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦАХ РЕЛЯТИВИСТСКИ ДВИЖУЩЕГОСЯ СЛОЯ ПЛАЗМЫ
С. Н. Марышев1, Н. С. Шевяхов2
1Московский физико-технический институт, 2Ульяновский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН
Получена 4 февраля 2010 г.
Аннотация. Обсуждаются релятивистские эффекты распространения поверхностной электромагнитной ТМ-волны вдоль слоя изотропной бесстолкновительной плазмы, поперечно движущегося в вакууме. Показано, что в лабораторной системе отсчета поверхностная волна вместе с доплеровским повышением частоты претерпевает поворот волновой нормали в сторону движения слоя. Установлено, что в результате линейных релятивистских вкладов электрического и магнитного полей в поляризуемость плазмы вдоль слоя в спектре мод лабораторной системы отсчета к частотной отсечке добавляется снизу отсечка спектра по волновому числу, интерпретируемые вместе как проявление релятивисткой неразрывности пространственно-временного континуума.
Ключевые слова: электромагнитная поверхностная волна, движущаяся плазма, релятивистские эффекты, дисперсия.
Введение
Интерес к электромагнитным волнам в нестационарной плазме ограничивается обычно потоковыми эффектами, когда течение плазмы вдоль границ происходит без изменения их геометрии и местоположения [1]. В работах [2-4] на примере бегущих фронтов фотоионизации разреженной среды рассматривался обратный случай поперечного перемещения границ электронной плазмы, сохраняющей состояние покоя. Из-за кинетических эффектов в плазме структура границ в этих условиях существенно зависит от скорости движения. Именно, при около световых скоростях фронты фотоионизации сильно "размазываются" в силу сравнительно большого времени жизни фотоэлектронов в разреженной среде. Рассмотрение релятивистских эффектов теряло, поэтому, смысл.
Возможность релятивистского подхода к изучению влияния поперечного движения плазмы на распространение поверхностных волн предоставляет, однако, перемещение плазмы как целого. Для полубесконечной плазмы соответствующая релятивистская задача рассматривалась недавно в [5]. На практике приходится иметь дело с плазменными сгустками конечной толщины. Лабораторный способ получения релятивистских сгустков с хорошо выраженными границами испарением металлических пленок под воздействием мощного лазерного излучения известен давно [6]. В настоящей статье результаты работы [5] обобщаются на случай плазменного сгустка конечной толщины, движущегося с релятивистской скоростью Vc, c – скорость света. Другая причина, побуждающая вернуться к проблеме, затронутой в [5], состоит в недостаточной ясности отдельных ее аспектов по причине ограниченности цитируемой работы рамками краткого сообщения.
Формулировка задачи и исходные уравнения
В волновых задачах с движущимися границами [7] почти всегда процессы и состояние сред приходится описывать в двух системах отсчета: лабораторной системе x0yz с фиксированным положением регистрирующего прибора, и попутной – с фиксированным положением границ. Поперечное движение плазмы как целого отличается от рассмотренного в задачах [2-4] тем, что позволяет выделить в качестве системы покоя, общей для плазмы и ее границ, попутную систему отсчета. Очевидно, что с позиции наблюдателя в этой системе отсчета мы имеем дело с граничной задачей для неподвижного слоя плазмы, решение которой для поверхностных ТМ-волн хорошо известно [8]. Предпринятое исследование состоит, фактически, в пересчете волновых полей указанного решения в лабораторную систему отсчета.
В попутной системе отсчета полевые и, где это необходимо, – параметры плазмы, условимся помечать тильдой сверху. Соответственно, имеем в качестве исходных систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля плазмы [7-9]
В гидродинамическом бесстолкновительном приближении к ней добавим линеаризованные уравнение движения плазмы [8]
(2)
и уравнение неразрывности
. (3)
В уравнениях (1)-(3) и– напряженности электрического и магнитного полей, – скорость смещения электронов плазмы, n – малое (nn0) отклонение концентрации электронов от равновесного значения n0, me – масса, а e – элементарный заряд. Дополнительно учтем выражение для плотности тока
. (4)
Уравнения (2)-(4) соответствуют элементарной модели, в которой плазма рассматривается как идеальная и изотропная электронная жидкость. Грубость избранного подхода, оправданного для слабых возмущений при низких температурах и отсутствии внешних магнитных полей, искупается простотой модели. Вместе с тем, как будет показано ниже, она вынуждает особенно тщательно отнестись к релятивистским преобразованиям величин при переходе из попутной в лабораторную систему отсчета.
Плазма занимает область (рис.1, d – толщина слоя) и за ее пределами уравнения (1)-(4) заменим уравнениями для электромагнитного поля в вакууме. Они аналогичны уравнениям (1), где , а полевые характеристики снабжены, для отличия, нижним индексом 0. Граничные условия выразим стандартным требованием непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей полей [8,9]. Для волн ТМ-поляризации это x-составляющая напряженности электрического и z-составляющая напряженности магнитного полей. Удобнее использовать импедансную форму граничных условий, основываясь на определения импеданса Z плазмы и Z0 вакуума равенствами
В таком случае граничные условия задачи примут вид
Оговоримся, что при использовании равенств (5), (6) подразумевается представление гармонических колебаний экспонентой , где w – частота, а – время, отсчитываемое наблюдателем в попутной системе отсчета.
Рис. 1. Геометрия задачи и распределение продольной компоненты
электрического поля поперек слоя плазмы 3 в поверхностной ТМ-волне:
1 – симметричная мода, 2 – антисимметричная мода.
Определение импедансов по формулам (5) требует знания связей z- и x-компонент соответственно магнитного и электрического полей. С этой целью обратимся к уравнениям Максвелла (1), из которых в результате исключения и имеем соотношение для плотности тока
где We – плазменная частота. Благодаря (7) при определении полей в плазме можно ограничиться двумя первыми уравнениями (1). Замечая, что , , напишем в составляющих
Аналогичные уравнения для полей в вакууме формально соответствуют равенствам (8), где компоненты напряженностей снабдим дополнительно нижним индексом 0, а также примем g=0. Уравнения (8) потребуются в дальнейшем для установления полей поверхностной ТМ-волны и определения импедансов по формулам (5).
Поверхностная ТМ-волна в попутной системе отсчета
Единственность компонент полей и делает предпочтительным их использование для представления решения. Для поля в плазме, как следует из уравнений (1), (7), имеем
,
или учитывая равенство , получим
. (9)
Здесь величина
(10)
представляет собой диэлектрическую проницаемость плазмы. Уравнение (9) является исходным для определения поля в слое плазмы. В вакууме – среде с единичной проницаемостью, в (9) следует принять e=1 и к индексу z добавить 0.
Принимая, что ~,, из требования ограниченности полей в областях определения получим на основании (9)
Волновое число k и коэффициенты локализации полей s и поверхностной ТМ-волны при спадании полей от границ слоя в плазму и вакуум соответственно связаны при этом равенствами
Согласно (5) и вытекающим с учетом (11), (12) из (8) связям компонент электрических и магнитных полей напишем
, (14)
. (15)
В выражении (15) для верхней границы выбирается верхний знак и, соответственно, – нижний знак, если . Подстановка (14), (15) в граничные условия (6) дает систему алгебраических уравнений, из которых исключением отношения амплитудных коэффициентов D/C приходим к равенству
Оно представляет искомое дисперсионное соотношение для поверхностной ТМ-волны слоя плазмы в попутной системе отсчета, где x=sd/2 .
Ввиду (13) e=(k2-s2)/(k2-s02) и замечая, что ,
уравнению (16) можно придать вид
Выражение (17) показывает, что существует два типа (моды) поверхностных электромагнитных волн, удерживаемых слоем. При знаке "плюс" поверхностная волна характеризуется симметричным распределением продольной компоненты электрического поля поперек слоя [12] (профиль 1 на рис. 1), – симметричная мода. При знаке "минус" имеет место антисимметричное распределение поля с профилем 2 и мода называется антисимметричной.
Спектр мод по формулам (17) можно рассчитать численно. Достаточно выразить s через s0, используя равенство , которое вытекает из соотношений (13). Тогда равенства (17) принимают форму трансцендентных уравнений, корни которых по заданному k позволяют найти соответствующее значение s0. Дальнейшее очевидно: по формуле, связывающей s и s0 , пересчитывается величина s, а затем согласно любому из соотношений (13) рассчитывается частота, определяя, таким образом, дисперсионный спектр w=w(k) мод поверхностной электромагнитной волны. Вместе с представлением полей выражениями (11), (12) и связями компонент (8) определение дисперсионного спектра мод исчерпывает описание поверхностной ТМ-волны в попутной системе отсчета.
Поверхностная ТМ-волна в лабораторной системе отсчета
Лабораторную систему отсчета x0yz, в которой координаты, время и компоненты полей условимся писать без тильды сверху, свяжем с приемной антенной. Рассмотрение в ней полей и спектра мод поверхностной волны – необходимый элемент исследования, так как именно этой форме представления волны соответствуют характеристики, определяемые в эксперименте.
Учитывая, что движение плазмы происходит вдоль оси y, для перехода в лабораторную систему отсчета воспользуемся преобразованиями Лоренца [9,10]
Согласно (18) несложно установить вид фазы колебаний компонент полей волны в лабораторной системе отсчета. Однако с подстановкой величин и из (18) в выражения (11), (12) мы еще имеем дело с амплитудами полей попутной системы отсчета. Таким образом, в формулах (11), (12) и им соответствующим компонентам электрических полей нужно предварительно перейти к значениям и , записанным в лабораторной системе отсчета.
Обратимся с этой целью к формулам релятивистского преобразования полей [9,10]:
Индексы || и в них означают соответственно параллельность и перпендикулярность компонент движению плазмы. В случае вакуума компоненты полей в формулах (19), (20) нужно, конечно, снабдить индексом 0 снизу.
Для поверхностной ТМ-волны в попутной системе отсчета имеет место ортогональность электрического и магнитного полей. Комбинация величин ( в попутной системе отсчета) образуют релятивистский инвариант. Поэтому данное качество волны сохранится и в лабораторной системе отсчета. С учетом того, что индукции полей в попутной системе отсчета равны ,,, на основании (19) заключаем:
тогда как y-составляющие магнитных полей отсутствуют. Из условия () также следует
(22)
Формулы (20) позволяют написать далее
Аналогичные соотношения при замене в (23) e на единицу получаются для компонент поля в вакууме.
Наряду с равенствами (23) из выражений (20) следует с учетом (22), что
. (24)
В уравнениях (24) компоненты и попарно связываются между собой и, как нетрудно видеть, удовлетворяются при () только при наложении условий Ez=0, Bx=0, . Это означает, что в лабораторной системе отсчета ортогональность электрического и магнитного полей волны выполняется при сохранении параллельности магнитного поля оси z и компланарности векторов и плоскости движения слоя. Аналогичная особенность из-за необходимости соблюдения соотношений типа (24) при b<1 имеет силу и за пределами слоя. Таким образом, переход в лабораторную систему отсчета не меняет поляризацию ТМ-волны.
Если из уравнений (23) для и исключить , то получим продольную компоненту электрического поля
. (25)
Аналогичным образом, исключая из оставшихся выражений (23) , найдем
. (26)
Для выражения величин и следует воспользоваться вытекающими из системы (23) равенствами .
Исключая вначале , получим
а затем найдем
. (28)
Соответствующие представления компонент поля в вакууме получаются из выражений (25)-(28), если положить .
Формулы (25)-(28) вместе с равенствами (21) позволяют выразить компоненты полей лабораторной системы через компоненты попутной системы отсчета, которые заданы равенствами (11), (12) и согласно (8) определяют компоненты электрических полей. Имеем в итоге следующие выражения для ненулевых компонент полей плазмы в лабораторной системе отсчета
(29)
Здесь обозначено
. (30)
Для полей в вакууме (вне слоя) в силу равенств (25)-(28) при e=1, согласно (12) и следующим из уравнений (8) для вакуума связям компонент полей имеем в лабораторной системе отсчета представления
(31)
(32)
Для окончательной записи полей в лабораторной системе отсчета в выражениях (29), (31), (32) остается преобразовать фазу колебаний и заменить согласно (18). Видно, что в преобразованной форме колебания всех компонент полей описываются в лабораторной системе отсчета экспонентой , где
Равенства (33) показывают, что в лабораторной системе отсчета имеет место доплеровское приращение частоты регистрируемых колебаний. Наряду с этим образуется поперечная составляющая p волнового вектора () поверхностной волны, характеризующая поворот волновой нормали в сторону движения слоя. Таким образом, поверхностная волна оказывается неколлинеарной поверхностной волной. Существенно, впрочем, что в отличие от неколлинеарных поверхностных волн на нерелятивистских границах [2-4] она неколлинеарна только с позиции наблюдателя в лабораторной системе отсчета. Иначе говоря, ее неколлинеарность – в чистом виде аберрационный эффект, обязанный сносу волны движущимся слоем.
Спадание полей в стороны от границ слоя движущейся плазмы выразится множителями и . Здесь, конечно, должно быть заменено согласно (18). Соответственно получим
, ,
где в областях определения полей лабораторной системы отсчета разности всегда положительны. Величины
(34)
есть коэффициенты граничной локализации полей в плазме и в вакууме с позиции наблюдателя лабораторной системы отсчета. Из (34) видно, что движение слоя способствует повышению локализации полей на его границах, – результат, представляющий следствие релятивистского сокращения размеров по направлению движения слоя.
Спектры мод в лабораторной системе отсчета
Для завершения описания свойств поверхностной ТМ-волны, удерживаемой релятивистски движущимся слоем плазмы, необходимо рассмотреть особенности спектрального поведения мод с точки зрения наблюдателя лабораторной системы отсчета. Представление в ней дисперсионных спектров естественно получить, подвергнув релятивистскому преобразованию дисперсионное соотношение (16) или (17). Релятивистская инвариантность k и формулы (34) обеспечивают переход к спектрам лабораторной системы отсчета заменой: k®k, s®G(1-b2)1/2, s0®G0(1-b2)1/2. Остается определиться с преобразованием диэлектрической проницаемости плазмы.
Согласно общеизвестному факту релятивистского превращения движущейся среды с частотной дисперсией в среду, демонстрирующую еще и пространственную дисперсию [9] следует ожидать, что диэлектрическая проницаемость будет преобразовываться при переходе в лабораторную систему отсчета по схеме
Ввиду (36) дисперсионное соотношение (16) примет в лабораторной системе отсчета вид
Важно подчеркнуть, что если даже в (36) фиксировать , зависимость вовсе не обязана воспроизводить зависимость e(w) в формате связи частот равенством (33). По этой причине, чтобы установить преобразование (36), обратимся к исходному определению величин e и e¢ как показателей поляризационного отклика среды, связующих электрические индукции и напряженности полей. Предварительно заметим, что в рамках элементарного подхода к описанию плазмы индуцированную ее движением пространственную дисперсию уместнее трактовать как специфическую разновидность оптической анизотропии.
В лабораторной системе отсчета, как видно из соотношений (21), величина e продолжает выступать в своем качестве только по отношению к составляющим электрического поля Ey и Dy. Напротив, это качество она теряет с переходом в лабораторную систему отсчета по отношению к компонентам электрических полей, направленным поперек движения плазмы. Чтобы удостоверится в этом факте достаточно сравнить выражение для величины из (23) с формулой (27).
На основании изложенного для составляющих индукции электрического поля напишем . Несовпадение e и e¢ в этих равенствах, по сути вытекающее из различного характера релятивистского преобразования продольных и поперечных компонент полей (см. формулы (19), (20)), служит типичным признаком оптической анизотропии среды в лабораторной системе отсчета. Выражение для Dx не противоречит (27), если принять пропорциональность величин Hz и Ex. Первое слагаемое в (27) представляет, таким образом, релятивистский вклад магнитного поля в поперечную поляризуемость плазмы. В области существования поверхностной ТМ-волны e<1 и чтобы указанный вклад в поляризуемость был положительным, примем
. (38)
Подстановка Hz из (38) в (27) сразу приводит к равенству
, (39)
устанавливающему вид преобразования (36). Аналогичный результат был получен в [5] для полубесконечной плазмы непосредственно из решения граничной задачи с импедансными граничными условиями, подразумевающими непрерывность тангенциальных составляющих напряженностей полей. Как указывалось Островским [11], если скорость границы не является в точности световой (b¹1), именно непрерывность полей, как следствие инерционного отклика движущейся среды на скачкообразное изменение ее характеристик в точках резкой границы, выступает общим правилом поведения. Фактически, это не противоречит стандартным релятивистским граничным условиям [9], из которых данная непрерывность компонент полей вытекает как более жесткое условие на отбор решения вследствие принятой геометричности границы. Итак, в лабораторной системе отсчета дисперсионные спектры мод поверхностной ТМ-волны, удерживаемой границами релятивистски движущегося слоя плазмы, можно получить как совместное решение уравнений (37), (39) с учетом равенств (13) и следующей из них связи величин s и s0.
Если ввести безразмерные спектральные переменные s=Gd, s0=G0d, уравнению (37) можно придать вид
(40)
Как и в попутной системе отсчета, дисперсионные спектры поверхностной ТМ-волны представлены двумя модами. Каждой из них соответствует дисперсионное соотношение в виде независимого равенства нулю сомножителей, содержащихся в (40) в квадратных скобках. Из них можно выразить e¢, а затем, используя (39), определить в явном виде частоту. В результате указанных преобразований получим
где с учетом (34) обозначено
, . (42)
Формула (41) может, поэтому, рассматриваться как явная функциональная зависимость частоты спектра моды W от приведенного коэффициента граничной локализации ее полей при спадании в плазму s или вакуум s0. Остальные спектральные показатели мод легко пересчитываются по избранному, например, значению s0 и найденным по формулам (41), (42) значениям W и s. Так, приведенное волновое число c=kd можно рассчитать далее по второму из соотношений (13). Ввиду связи частот (33) оно дает:
Выражения (41)-(43), ко всему прочему, показывают, что варьируемыми параметрами спектров выступает релятивистский фактор и комбинированный показатель плазменного слоя a=Wed/c.
Расчет дисперсионных спектров по формулам (41)-(43) не вызывает трудностей. Основными спектральными зависимостями условимся рассматривать зависимости s0=s0(W) и W=W(c). Наибольший интерес представляет случай, когда Wec/d<0.73 и антисимметричная мода является обратной волной [8]. На рис. 2 показаны спектры мод, отвечающие этому условию. Штриховые кривые соответствуют неподвижному (b=0) слою, а сплошные – движущемуся слою и пронумерованы в порядке возрастания его скорости.
При малых скоростях слоя (b<<1) изменения дисперсионных спектров выражены чрезвычайно слабо. В этой связи расчет спектров мод выполнен, начиная с умеренных значений b<1. Аналогично статичному слою, спектр мод движущегося слоя образуется двумя ветвями, которые сливаются в горизонтальную прямую (продолжение ее показано для кривых 2 стрелкой), представляющую коротковолновую асимптоту спектра. Та из ветвей, что лежит ниже этой асимптоты, представляет симметричную моду поверхностной ТМ-волны. Ветвь антисимметричной моды вначале круто поднимается над асимптотой, а затем, пройдя максимум, опускается к ней.
Рис. 2. Дисперсионные спектры поверхностной ТМ-волны в лабораторной системе отсчета: Wed/c=0.4, 1 – b=0.4, 2 – b=0.55, 3 – b=0.575, 4 – b=0.63.
Выходу на асимптотический уровень спектра мод в условиях релятивистского движения слоя соответствует переход к пределу d®¥ в дисперсионном соотношении (37). Именно этот случай полубесконечной плазмы рассматривался в работе [5]. Наряду с понижением уровня асимптот по мере роста b, что наглядно демонстрируют кривые рис. 2, в [5] отмечалось также обрезание ветвей спектра со стороны длинноволновой его части. Этот результат объяснялся следствием неразрывной связи пространства-времени в условиях релятивистского движения плазмы: частотная отсечка спектра (ограничение спектра по временнóму фактору, выраженное образованием коротковолновой асимптоты) влечет в релятивистских условиях отсечку спектра со стороны длинных волн (вступает в действие ограничение спектра и по пространственному фактору).
Для полубесконечной плазмы, как и в коротковолновом пределе, различие между симметричной и антисимметричной модами слоя пропадает. Поэтому спектры работы [5] получатся из спектров рис.2, если отбросить “дублирующие” ветви антисимметричной моды[1]. Кривая 4, относящаяся целиком к антисимметричной моде, будет отсутствовать, а сохранившиеся ветви 1-3 симметричной моды дадут в итоге картину, которая представлена в [5] на втором рисунке.
Наличие нижней, релятивистской границы спектра по волновому числу c, как видно из рис. 2, сохраняется и при конечной толщине слоя плазмы. Качественное отличие от случая полубесконечной плазмы состоит в том, что существует режим релятивистского движения слоя, при котором симметричная мода отсекается полностью и не воспринимается наблюдателем в лабораторной системе отсчета, тогда как антисимметричная мода (см. кривую 4) сохраняется в спектре своей вершинной частью. В точках релятивистской границы спектра c=c* имеем W=0. Поэтому, в соответствии с (41) для определения c* требуется численно решить трансцендентные уравнения
, (44)
где предварительно следует выразить s через s0. Найденные так с учетом формулы (43) значения c*=(1-b2)1/2 s0, будут неодинаковыми для симметричной и антисимметричной мод из-за неравенства f+ (s,s0)¹ f-(s,s0). Типичные зависимости c* от b представлены на рис. 3, где штриховыми кривыми показаны изменения релятивистской границы спектра для симметричной моды. Сплошные кривые, лежащие всегда ниже штриховых кривых, представляют здесь зависимости c*(b) для антисимметричной моды. Сравнение кривых позволяет заключить, что для плотной плазмы слоя (кривые 2) различие в релятивистских границах спектра симметричных и антисимметричных мод выражено заметно слабее, чем в случае "рыхлой" плазмы (кривые 1).
Рис.3. Зависимости волновых чисел релятивистской отсечки спектра мод поверхностных ТМ-волн от b: 1 – Wed/c=0.4, 2 – Wed/c=3.
Для полноты описания мод в лабораторной системе отсчета кривым дисперсии рис.2 полезно сопоставить частотные зависимости коэффициента s0. Они получаются непосредственно численным обращением уравнений (41), демонстрируя качественное сходство с кривыми дисперсии рис. 2. Соответствующую картину можно представить, если на рис. 2 поменять местами горизонтальную и вертикальную оси, а затем заменить c на s0. Из нее следует, что при отсутствии движения слоя (b=0, штриховые кривые) в пределе W®0 происходит полная делокализация колебаний вне слоя. Для движущегося слоя плазмы (сплошные кривые 1-4) этому препятствует релятивистская отсечка спектра по волновому числу. В коротковолновом асимптотическом пределе спектров имеет место неограниченный рост локализуемости колебаний обеих мод, а на частотах ниже частоты коротковолнового асимптотического предела, где возможно сосуществование симметричной и антисимметричной мод, локализуемость полей антисимметричной моды в вакууме всегда ниже, чем у симметричной моды.
Выводы
В работе исследовано поведение мод поверхностных ТМ-волн на границах релятивистски движущегося слоя плазмы. Показано, что при переходе в лабораторную систему отсчета поверхностная ТМ-волна вместе с доплеровским повышением частоты претерпевает поворот волновой нормали в сторону движения слоя и становится неколлинеарной поверхностной волной. Установлено, что линейные релятивистские вклады электрического и магнитного полей в поляризуемость плазмы вдоль слоя добавляют в спектре мод к частотной отсечке релятивистскую отсечку по волновому числу. Последнее интерпретируется как проявление релятивистской неразрывности пространства-времени.
Отмечается, что из-за релятивистского сокращения размеров по направлению движения слоя граничная локализация полей мод повышается. Показано, что существуют такие режимы релятивистского движения плазмы, когда наблюдатель в лабораторной системе отсчета воспринимает колебания только антисимметричной моды с частотами выше частоты отсечки спектра.
Литература
1. Ерохин Н.С., Кузелев М.В, Моисеев С.С. и др. Неравновесные и резонансные процессы в плазменной радиофизике. М.: Наука, 1982.
2. Шевяхов Н.С. // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. № 12. С. 40.
3. Гуляев Ю.В., Колчина Г.А., Шавров В.Г., Шевяхов Н.С. // РЭ. 2003. Т. 48. № 4. С. 459.
4. Колчина Г.А., Неганов В.А., Шевяхов Н.С. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2004. Т. 7. № 2. С. 19.
5. Марышев С.Н., Шевяхов Н.С.. // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. № 23. С. 40.
6. Аскарьян Г.А., Манзон Б.М. // Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 31. № 5. С. 283.
7. Красильников В.Н. Параметрические волновые явления в классической электродинамике. С.-Пб: Изд-во СПб Университета, 1996.
8. Кондратенко А.Н. Поверхностные и объемные волны в ограниченной плазме. М.: Энергоатомиздат, 1985.
9. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика.
М.: Наука, 1985.
10. Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1983.
11. Островский Л.А. // УФН. 1975. Т. 116. № 2. С. 313.
[1] Полагая предельный переход d®¥ уже свершившимся и ветви антисимметричной моды сколь угодно приблизившимися к соответствующим ветвям симметричной моды, под спектральной переменной c следует теперь понимать волновое число k, нормированное на какое-либо характерное его значение, например, на We/c.