"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 1, 2000

оглавление

дискуссия

ИНТЕГРАЛ МЕДЛЕННОГО ДВИЖЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОНА В СЛАБОНЕОДНОРОДНОМ ПЕРЕМЕННОМ ПОЛЕ В СЛАБОНЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЕ

Ю.К. Алексеев, Ю.Г. Павленко Ю.Г.,
физический факультет Московского Государственного университета им. М.В. Ломоносова

Получена 20 января 2000 г.

Исследование медленного движения релятивистского электрона в слабонеоднородном переменном поле обычно проводится либо с помощью усреднения по явно входящему времени релятивистских уравнений движения [1], либо с помощью ряда замен переменных, исключающих явную зависимость от времени в уравнениях движения, либо в гамильтониане задачи [2]. При этом используется приближение слабого релятивизма, позволяющее существенно упростить математические преобразования и конечные выражения. Однако в ряде случаев представляет интерес точное решение поставленной задачи, единым образом описывающее все предельные случаи. В настоящей работе строится релятивистски-ковариантная теория медленного движения электрона на примере взаимодействия с бегущей слабонеоднородной параксиальной электромагнитной волной.

Зададим поле параксиальной волны [2,3] вектор-потенциалом :

(1)

где и изменяются адиабатически медленно на расстоянии электронной длины волны. Соответствующий 4-потенциал имеет следующий вид:

, (2)

где - фаза волны, , - временная координата, , - волновое число, - координаты волнового вектора.

Гамильтониан электрона в пространстве Минковского имеет вид:

, (3)

где - 4-импульс электрона. Проведем ряд канонических преобразований переменных. Используя метод вариации канонических постоянных и нулевое приближение задачи:

, (4)

получаем гамильтониан в следующем виде:

(5)

где - новые переменные. Используя производящую функцию

, (6)

проведем следующее каноническое преобразование к переменным , здесь - характерный пролетный угол электронов, определяемый масштабом неоднородности поля волны. В результате получаем:

(7)

где , .

Избавившись от в гамильтониане с помощью замены , , , , перейдем к медленным переменным , используя каноническую теорию усреднения [3]:

, (8)

где - оператор усреднения по явно входящему собственному времени, - скобки Пуассона,

- переменная часть гамильтониана, , - релятивистский интервал. В итоге получаем:

Проводя обратные канонические преобразования, получаем гамильтониан частицы в медленных исходных переменных :

(11)

где . является инвариантом медленного движения электрона, поскольку (11) не зависит от собственного времени.

Рассмотрим первое по приближение. В трехмерном виде имеем:

, (12)

здесь - трехмерный медленный импульс частицы. Отсюда следует, что в собственном времени сохраняется следующий адиабатический инвариант:

. (13)

В нерелятивистском приближении (13) переходит в обычный инвариант Гапонова-Миллера [5,6]:

(14)

Рассмотрим ультрарелятивистский случай, когда . Используя связь энергии и импульса частицы , получаем , где - средняя энергия электрона. Тогда инвариант приобретает форму:

. (15)

Таким образом, в ультрарелятивистском случае, когда его скорость практически постоянна и равна скорости света, движение электрона в сильном переменном поле приводит к уменьшению его средней энергии .

Из (11) следует, , т.е. . С другой стороны, с точностью до , т.е. , где - собственное время, - медленное лабораторное время. Таким образом, и пропорциональны и в первом приближении по трехмерный релятивистский инвариант сохраняется в лабораторной системе отсчета. Для анализа медленного движения с более высокой точностью по необходимо использовать параметрическое описание лабораторного времени на основе четырехмерного инварианта (11).

Преимущество предложенной методики описания медленного движения заряженных частиц в слабонеоднородных быстроосциллирующих полях заключается в том, что использование релятивистски ковариантного гамильтонова формализма позволило строго учесть релятивистские эффекты в задаче, избавившись при этом от неудобных релятивистских радикалов и не прибегая к приближенным их разложениям. Кроме того, параметрическая форма задания лабораторного времени дает дополнительную свободу в описании медленного движения частицы, отсутствующую в трехмерном формализме.

Работа выполнена при поддержке грантов N 96-02-16197 (РФФИ) и N 96-15-97247 (Ведущие научные школы).

Список литературы

1. Schmidt G., Wilcox T. // Physical Review Letters, 1973, v.31, p.1380.

2. Ходжаев К.Ш., Чирков А.Г., Шаталов С.Д. // ЖТФ, 1983, т.53, с.1036.

3. Kogelnik H. and Li T.// Appl. Optics, 1966, v.10, p.1550.

4. Павленко Ю.Г. Гамильтоновы методы в электродинамике и в квантовой механике.
   М., МГУ, 1985, с.336.

5. Гапонов А.В., Миллер М.А. // ЖЭТФ, 1958, т.34, с.242.

6. Миллер М.А. // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1958, т.1, с.110.

Авторы: Алексеев Юрий Константинович, e-mail: yuka@radp4.phys.msu.su
       Павленко Юрий Григорьевич

оглавление

дискуссия