"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 1, 2003

оглавление

дискуссия

 

ПОСТРОЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ ПО РЕАЛИЗАЦИЯМ ВХОДНОГО И ВЫХОДНОГО СИГНАЛОВ

 

Кисельман Б. А. , e-mail: kiselman@unc.sci-nnov.ru , Крылов В. В.

Нижегородский государственный технический университет,

каф. «Теория Цепей и Телекоммуникации».

 

 

 

Получена 10 января 2003 г.

 

            В статье рассматриваются стационарные динамические системы дискретного времени с одним входом и одним выходом. Приведены основные модели таких систем (фильтры с конечной и бесконечной импульсными характеристиками, линейный предсказатель и дискретная система урысоновского типа). Все известные модели с конечной памятью по входу и выходу являются частными случаями введенной авторами обобщенной функциональной модели (ОФМ). Аддитивное представление последних наиболее значимо для их построения.

            Представлен метод синтеза ОФМ по реализациям входного и выходного сигналов. Применение критерия наименьших квадратов для ошибки моделирования приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ОФМ. Приведено условие обратимости ОФМ.

 

1. Введение

2. Основные методы синтеза систем с дискретным временем

3. Аддитивный синтез функции F по системе известных функций на основе отрезков входного и выходного сигналов

4. Обобщенный аддитивный синтез функции F

5. О возможности обращения дискретных систем

6. Заключение

7. Приложение

8. Литература

 

 

 

1.Введение

 

            Основная проблема теории абстрактной реализации динамических систем была достаточно строго сформулирована Калманом: перейти от отображения вход-выход к уравнениям состояния. Эта задача успешно решена в классе линейных систем как с непрерывным, так и с дискретным временем [1]. Получен также ряд результатов и для нелинейных систем [2-4].

            Целью данной статьи является представление метода синтеза нелинейных систем с дискретным временем непосредственно по реализациям входного и выходного сигналов с использованием стандартной структуры.

            Далее будут рассмотрены стационарные системы дискретного времени с одним входом и одним выходом.

 

 

2. Основные методы синтеза систем с дискретным временем

 

            Синтез стационарных систем дискретного времени может быть произведен с помощью сдвиговых автоматов [5]. Цифровая обработка сигналов для практических целей имеет в своем распоряжении такую модель линейной инерционной стационарной системы как БИХ-фильтр. Эта модель описывается следующим уравнением:

.                                                   (1)

            Частными случаями системы (1) являются трансверсальная структура (без обратной связи), соответствующая КИХ-фильтру (a_k = 0 "k), и линейный предсказатель сигнала (b_m = 0 "m). Если модель с дискретным временем описывается уравнением (1), то ее коэффициенты a_m и b_k могут быть однозначно определены по известным векторам отсчетов входного {x_n} и выходного {y_n} сигналов методом наименьших квадратов. Далее будем для определенности считать, что x_n, y_n Î R.

            При решении целого ряда задач часто бывает важно построить обратимую модель нелинейной инерционной системы, которую затем можно было бы использовать, например, для компенсации искажений, вносимых системой в обрабатываемый ею сигнал.

            Наилучшим образом для решения этой задачи подходит урысоновская система с дискретным временем, описываемая уравнением

.                                                            (2)

Покажем, что для нее существует точное обращение. Действительно, из уравнения (2) следует, что

,

откуда можно получить уравнение обращенной системы

.                                                    (3)

Таким образом, если у f₀ существует обратная функция, то модель (2) допускает точное обращение (3).

            Анализ известных источников [6, 7] позволяет сделать вывод о том, что в настоящее время нелинейные инерционные системы с дискретным временем чаще всего моделируются соотношениями следующего вида:

,                           (4)

где в качестве функций f_k используются полиномы или сплайны 1-го порядка, коэффициенты которых вычисляются в ходе рекурсивных процедур типа метода градиентного спуска по известным отсчетам входного и выходного сигналов.

            Резюмируя вышесказанное, можно сказать, что все перечисленные модели динамических систем дискретного времени являются частными случаями следующей модели:

,                       (5)

которую назовем обобщенной функциональной моделью (ОФМ) динамической системы с конечной памятью (ДСКП). Важным является тот факт, что функция F(X_n, Y_n), X_n = (x_n, x_n-1,…, x_n-N), Y_n = (y_n-1, y_n-2,…, y_n-M), в рассмотренных частных случаях имеет аддитивное представление. В связи с этим возникает вопрос о возможности построения функции F (и, соответственно, ОФМ) по ее аддитивному разложению вида (4) и реализациям входного и выходного сигналов с помощью метода наименьших квадратов, что явилось бы обобщением этого метода для линейных систем вида (1).

 

 

3. Аддитивный синтез функции F по системе известных функций на основе отрезков входного и выходного сигналов

 

            Поставим задачу синтеза ОФМ ДСКП на основе ее аддитивного представления:

,                                                         (6)

где f_k(X, Y) – известные функции (для краткости у X и Y опущен индекс n). Синтез функции F состоит в определении неизвестных коэффициентов разложения a_k в (6). Пусть известны ее входной и выходной сигналы: x_n и y_n соответственно (n = 0,…, L). Если руководствоваться минимизацией квадрата ошибки моделирования, то можно показать (см. Приложение), что искомые коэффициенты a_k являются решениями системы линейных алгебраических уравнений:

,                                                                   (7)

где a = (a₀, a₁,…, a_K)^T, Y = (Y₀, Y₁,…, Y_K)^T,

,

, i = 0, 1, …, K.

            Таким образом, аддитивная структура (6) модели (5) может быть построена в ходе решения системы линейных алгебраических уравнений (7).

 

 

4. Обобщенный аддитивный синтез функции F

 

            Рассмотрим более общий и практически важный случай построения функции F по ее аддитивному представлению (6), но уже с неизвестными функциями f_k(X, Y). В остальном постановка задачи остается прежней.

            Введем разложение

,

где j_km(X,Y) – известные функции (примитивы разложения). Последнее понятие предполагает, что эти функции имеют более простой вид по сравнению с f_k. Тогда функцию F можно искать в таком виде:

.                                              (8)

Аддитивное представление (8), очевидно, дает возможность найти коэффициенты a_km методом наименьших квадратов. Действительно, если это двумерное представление развернуть в одномерное (перенумеровать систему примитивов представления j_km одним индексом), то получится разложение вида (6), коэффициенты которого можно найти, решив систему (7).

 

 

5. О возможности обращения дискретных систем

 

            Как было показано в п. 1, нелинейная дискретная система урысоновского типа (2) допускает точное обращение (3). Очевидно, что этот результат можно обобщить, если структура системы (5) позволяет аддитивно разделить свои инерционную и безынерционную части. То есть, если система описывается уравнением

,

то у нее существует точное обращение

,

если f₀ имеет обратную функцию.

 

 

6.Заключение

 

            По мнению авторов в данной работе новыми являются следующие положения и результаты.

·  Введено понятие обобщенной функциональной модели динамической системы с дискретным временем и конечной памятью по входу и выходу (ОФМ ДСКП). Частные случаи этой модели – КИХ- и БИХ-фильтры, дискретные системы урысоновского типа и нелинейно-регрессионные системы.

·  Указано условие, при котором ОФМ допускает точное обращение.

·  Приведен метод синтеза ОФМ по реализациям входного и выходного сигналов. Использование критерия минимума квадратичной ошибки моделирования позволило найти системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов модели.

·  Полученные результаты могут быть распространены на модели со многими входами и выходами с привлечением понятия связности систем.

            Результаты настоящей работы могут быть использованы для эффективной реализации в системах цифровой обработки сигналов и цифрового управления нелинейными динамическими системами.

 

 

7.Приложение

 

            Рассмотрим систему с дискретным временем, для которой известны реализации входного x_n и выходного y_n сигналов (n = 0, 1,…, L). Построим ее модель, описываемую уравнением

,

в котором функция F имеет представление

.

Найдем коэффициенты этой модели методом наименьших квадратов.

            Квадратичная ошибка моделирования

.

Коэффициенты a_k можно найти, минимизируя Е. Необходимые условия существования минимума Е выглядят следующим образом:

 i = 0, 1, …, K,

что приводит к системе уравнений

, i = 0, 1, …, K.

Введя матрицу F и вектор Y со элементами

, , i = 0, 1, …, K,

получим матричное уравнение относительно вектора неизвестных коэффициентов:

,

где a = (a₀, a₁,…, a_K)^T, Y = (Y₀, Y₁,…, Y_K)^T.

 

 

8. Литература

 

1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

2. Крылов В. В., Херманис Э. Х. Модели систем обработки сигналов. Рига.: Зинатне, 1981.

3. Крылов В. В. Построение моделей внутренней структуры динамических систем по входо-выходным соотношениям (теория абстрактной реализации). I. Обзор // АиТ. 1984. № 2. С. 5-19.

4. Крылов В. В. Построение моделей внутренней структуры динамических систем по входо-выходным соотношениям (теория абстрактной реализации). II. Обзор // АиТ. 1984. № 3. С. 5-19.

5. Фараджев Р. Г. Линейные последовательностные машины. М.: Советское радио, 1975.

6. Saleh A. A. M. Frequency-independent and frequency-dependent nonlinear models of TWT amplifiers // IEEE Trans. Commun. N. 1997. V. 29, P. 1715-1720.

7. Haykin S. Adaptive Filter Theory, NJ: Prentice-Hall, 1986.