УДК 517.958; 621.372.8
ИССЛЕДОВАНИЕ КИРАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.
Н. Боголюбов, Ю. В. Мухартова, Гао Цзесин
физический
факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, кафедра математики
Получена 27 января 2011 г.
Аннотация. В работе рассмотрены две задачи: спектральная задача в области с киральным заполнением и начально-краевая задача о возбуждении электромагнитных колебаний в области с неоднородным киральным заполнением. Получено характеристическое уравнение для собственных частот сферического кирального резонатора и вид собственных полей. Для начально-краевой задачи предложена обобщенная постановка, которая в дальнейшем может быть использована для численного решения задач рассматриваемого типа. Доказано существование и единственность обобщенного решения.
Ключевые слова: киральные среды, сферический резонатор, собственные частоты, задача возбуждения.
Abstract. In this paper two problems are considered. The first one is a spectral problem for the area with uniform chiral filling. The second one is the initial-boundary problem of excitation of oscillations in a region with a nonhomogeneous chiral filling. The dispersive equation and the eigenfields are obtained for a spherical chiroresonator. For the initial-boundary problem a generalized formulation, that can be further utilized for the numerical solution, is proposed. The existence and uniqueness of a generalized solution is proved.
Key words: chiral media, spherical resonator, eigenvalues, initial-boundary problem.
Введение.
В настоящее время в радиофизике все больший интерес вызывает применение метаматериалов, с использованием которых возможно создание систем и устройств с уникальными свойствами. В частности, большой интерес вызывает создание систем, использующие свойства бианизотропных и киральных сред. Теоретическое исследование таких систем методами математической физики представляет весьма важную и интересную задачу. Можно выделить два класса подобных задач: спектральные задачи, заключающиеся в исследовании резонаторных систем с киральным заполнением, и начально-краевые задачи возбуждения, в которых исследуются процессы возбуждения различных волноведущих систем с киральным заполнением и процессы распространения электромагнитных волн в подобных системах.
Естественные киральные
среды были известны с начала 19 века. Термин "киральный" введен
Уильямом Томсоном и означает свойство объекта не совмещаться со своим зеркальным
отображением (в плоском зеркале) ни при каких перемещениях и вращениях. Естественными
киральными объектами являются молекулы сахаров, аминокислот, ДНК и органических
полимеров. К числу искусственных киральных объектов можно отнести спирали, лист
Мебиуса, неправильный тетраэдр и т.д. [11] – [3]. Известно [4], что в случае
киральной среды, изготовленной при помощи произвольным образом ориентированных
и равномерно распределенных в некиральном веществе проволочных пружинок,
потерями в которых можно пренебречь, материальные уравнения для гармонических
по времени полей (
)
имеют вид
,
,
где 
, 
, 
– действительные постоянные,
представляющие собой диэлектрическую проницаемость, магнитную проницаемость и
киральный адмитанс (параметр киральности) среды соответственно. Более того, как
было показано в работе [5], эти материальные уравнения остаются справедливыми
для любой киральной среды без потерь, построенной из киральных объектов
произвольной формы.
Первая задача, рассмотренная в данной работе, посвящена исследованию электромагнитных экранированных резонаторов, заполненных однородным киральным веществом. Сферические и цилиндрические резонаторы находят широкое применение в различных областях науки и техники [6]-[8]. Отметим, что математическое решение задачи для сферических резонаторов, заполненных обычной некиральной средой, было получено достаточно давно [9]-[11]. Поскольку в последние годы наблюдается особое внимание к искусственным киральным средам микроволнового диапазона, в которых киральность уже не является малой поправкой, то в связи с этим представляется интересным обобщить эти решения на случай кирального резонатора. В работе предложен алгоритм расчета таких систем. В качестве примера исследован сферический киральный резонатор, для которого получено характеристическое уравнение и вид собственных полей. Показано, что в таком резонаторе могут формироваться только гибридные собственные колебания, чистые E- и H- колебания не возбуждаются.
Вторая задача, рассмотренная в работе, заключается в исследовании процесса возбуждении электромагнитных колебаний заданным распределением зарядов и токов в области с неоднородным киральным заполнением. Область, в которой рассматривается задача, может быть либо конечной с идеально проводящей ограничивающей поверхностью, либо представлять собой дополнение к идеально проводящему ограниченному телу. Вводится специальное функциональное пространство, в котором формулируется обобщенная постановка исследуемой начально-краевой задачи. На основе метода Галёркина доказано существование и единственность слабого решения данной задачи.
Спектральная задача: ограниченная область с киральным заполнением.
Рассмотрим систему уравнений Максвелла в однородной киральной среде, которая характеризуется материальными уравнениями
, 
,
(1)где , , и – константы. С учетом материальных
уравнений для полей E и H получаем систему
,
,
,
.
На границе раздела двух
киральных сред с параметрами 
, 
, 
и 
, 
, 
соответственно выполняются соотношения
,
,
,
,
где n - единичный вектор нормали к поверхности,
направленный из второй среды в первую, 
– плотность поверхностного тока, и 
– плотность поверхностного
заряда.
Если вторая среда является идеальным проводником и поле внутри нее равно нулю, на границе выполняются условия идеально проводящей стенки:
,
,
, (2)
,где 
– плотность наведенного поверхностного
тока, и 
–
плотность наведенного поверхностного заряда.
Рассмотрим теперь
достаточно общую спектральную задачу. Предположим, что некоторая область V
с граничной идеально проводящей поверхностью 
заполнена однородным киральным веществом,
которое описывается уравнениями (1). Для гармонически зависящих от времени
полей 
получаем
краевую задачу
,
,
,
,
.
В отличие от случая обычной некиральной среды, полученные уравнения оказываются связанными. Тем не менее, можно ввести такие линейные комбинации векторов Е и Н
,
,
что уравнения для функций u и v окажутся несвязанными:
, (3)
, (4)
, (5)
. (6)Определённая сложность
решения рассматриваемой спектральной задачи связана с тем, что для векторов u и v нельзя получить на границе условия, не содержащие
наведенных токов и зарядов, так как они оба содержат в качестве слагаемого
вектор магнитного поля H.
Тем не менее, можно предложить следующий алгоритм исследования собственных
частот и собственных колебаний кирального резонатора. Сначала строится общее
решение системы однородных уравнений (3-6). Далее векторы E и H нужно выразить через найденные векторы u и v и подставить их в однородные граничные условия. Это
позволит получить характеристическое уравнение для нахождения собственных
частот 
.
Спектральная задача: сферический киральный резонатор.
В данном разделе предложенная методика применяется для исследования сферического резонатора с киральным заполнением. Пусть область V представляет собой шар радиуса R с идеально проводящей границей. Находим решение u, v системы однородных уравнений (3-6), записанных в сферических координатах. Обозначим через e и h комплексные амплитуды полей E и H. Нетрудно убедиться, что с векторами векторы e и h связаны u и v следующим образом
В результате получаем общее решение вида
и
В этих выражениях введены обозначения
и 
.
Поскольку поверхность
шара является идеальным проводником, то для вектора e должно выполняться граничное условие равенства нулю
тангенциальной составляющей 
. Потребуем, чтобы компонента 
обращалась в нуль при 
. Для этого должна быть
справедлива следующая однородная система уравнений
(7)Но если система уравнений (7)
справедлива, то компонента 
также обращается в нуль при . Отметим, что при этом автоматически
выполняется условие (2) на нормальные составляющие векторов e и h.
Однородная система (7)
имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен
нулю. Отсюда получается характеристическое уравнение для нахождения собственных
частот 
сферического
кирального резонатора:
(8)
где 
и 
.
Рис. 1. Зависимость собственных
частот от кирального адмитанса для 
. На графике приведены отношения частот к
значению 
–
наименьшей собственной частоте резонатора при отсутствии киральности (
). Индексы E и H у частот означают, что в пределе при они стремятся к собственным
частотам E- и H-колебаний соответственно.
На рисунке 1 приведены результаты
численного решения уравнения (8), из которых следует, что с ростом параметра значения собственных
частот уменьшаются и происходит их сближение.
Заметим, что в случае обычной
среды, когда ,
характеристическое уравнение (8) вырождается в два уравнения
(9)
и
,
(10)
где 
, так как при этом 
. Уравнения (9) и (10) – это
характеристические уравнения для собственных частот E- и H-колебаний
обычного сферического экранированного резонатора с идеально проводящей границей
соответственно.
На основании
подготовительной теоремы Вейерштрасса (см., например, [12]) можно показать, что
решения уравнения (8) непрерывно зависят от параметра киральности . Обозначим через 
те из них, которые при
равном нулю параметре киральности совпадают с частотами E-колебаний обычного сферического
резонатора. Воспользуемся первым уравнением системы (7) для того, чтобы найти
связь между коэффициентами 
и 
. В результате получим выражения для
комплексных амплитуд собственных колебаний кирального резонатора
и
которые в пределе при с точностью до
множителя 
совпадут
с E-колебаниями обычного сферического
резонатора.
Обозначим как 
решения характеристического
уравнения (8), совпадающие при равном нулю параметре киральности с собственными
частотами, отвечающими H-колебаниям
обычного некирального резонатора. Найдем связь между коэффициентами и с помощью второго уравнения
системы (7). В результате получим еще одну серию решений для кирального
сферического резонатора
и
которые в пределе при равном нулю
параметре киральности с
точностью до множителя 
совпадают с H-колебаниями обычного сферического некирального резонатора.
Следовательно, можно сделать вывод о том, что в киральном резонаторе
поддерживаются только гибридные собственные колебания.
Начально-краевая задача: возбуждение электромагнитных колебаний в области с киральным заполнением.
Пусть 
– конечное или бесконечное
множество в 
.
Если множество конечное, то будем считать, что оно ограничено идеально
проводящей поверхностью 
. Если же множество бесконечное, то будем считать,
что 
–
дополнение к области ,
конечно, ограничено поверхностью и представляет собой идеальный проводник.
Пусть область состоит
из конечного числа подобластей:
причём все из них, кроме может,
подобласти 
,
конечны, и общая для подобластей 
и 
граница 
регулярна и ограниченна. В случае
бесконечной области подобласть
неограниченна.
Пусть подобласти имеют
однородные киральные заполнения с параметрами 
, 
, причём 
и 
, если подобласть неограниченна. В этом случае проводник
и
ограниченные киральные вставки 
помещены в обычную непроводящую среду,
характеризующуюся диэлектрической проницаемостью 
и магнитной проницаемостью 
.
Предположим, что в области имеются сосредоточенные
в некоторой конечной области сторонние токи плотности j. При постановке начально-краевой
задачи относительно векторов Е и Н будем исходить из системы
уравнений Максвелла, материальных уравнений, а также из того факта, что краевое
условие для тангенциальной составляющей вектора Е на границе между
киральной средой и идеальным проводником имеет такой же вид, как и в случае
границы между обычной средой и проводником. В результате приходим к следующей
начально-краевой задаче:
(11)
(14)
Начально-краевая задача: обобщённая постановка.
Пусть 
, где 
и 
– произвольные гладкие трёхкомпонентные
функции, обращающиеся в нуль при 
, такие что они сами и их первые производные
квадратично интегрируемы в . Умножим обе части уравнения (11) скалярно
в 
на функцию и обе части уравнения (12)
на функцию ,
сложим полученные равенства и проинтегрируем результат по времени от 0 до Т:
, (15)
где 
. В формуле (15) использованы обозначения
для скалярных произведений
и
, 
, 
,
а также операторов
,
.
Введем гильбертово пространство
и рассмотрим множество:
.
Справедливы следующие леммы:
Лемма 1. Область 
плотна в K, и оператор A замкнут.
Замечание 1. 
, если и только если выполняются условия:
Лемма 2. Пусть граница области регулярна и ограничена. Тогда
любой элемент 
,
такой что форма 
непрерывна
на , принадлежит
области , и
справедливо равенство
(16)
для любого 
.
Используя лемму 2, можно сформулировать обобщенную постановку исходной задачи следующим образом:
Необходимо
найти функцию 
,
удовлетворяющую равенству
при любой функции Ф, такой что
и обращающейся в нуль
при 
, где 
и 
.
Леммы 1 и 2 позволяют на основании метода Галеркина доказать существование и единственность слабого решения задачи:
Теорема 1. Если граница области регулярна и ограничена, то решение
задачи (17) существует, и оно единственно.
Заключение.
В работе предложен алгоритм исследования экранированных резонаторов, заполненных киральным веществом. В качестве иллюстративного примера рассмотрен сферический киральный резонатор, для которого получены выражения для собственных полей и характеристическое уравнение для собственных частот. Проведенный анализ показал, что в киральном резонаторе могут формироваться только гибридные собственные поля, которые при обращении в нуль параметра киральности вырождаются в обычные E- и H-колебания. Собственные частоты кирального резонатора оказываются меньше соответствующих частот резонатора, заполненного обычной средой.
Также показано, что задача о возбуждении сторонними источниками электромагнитных колебаний в области с неоднородным киральным заполнением, ограниченной идеально проводящей поверхностью, либо являющейся дополнением к ограниченному идеальному проводнику, имеет единственное обобщенное решение. При доказательстве существования решения применен метод Галеркина, который может быть использован в дальнейшем для построения приближенного решения. Полученные результаты являются обобщением на случай киральной среды классических результатов о существовании и единственности решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородностях в среде, которая описывается обычными материальными уравнениями.
Литература
1. Боголюбов А.Н., Мосунова Н.А., Петров Д.А. // Математическое моделирование. 2007. 19, № 5. C.3
2. Кацеленбаум Б.З., Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д. // Phys. Usp. 1997. 40, 1201.
3. Pelet P. // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1990. 38, №1. P.90
4. Bahr A.J., Clausing K.R. // IEEE Trans. on antennas and propagation. 1994. 42, № 12. P. 1592
5. Jaggard D.L., Mickelson A.R. NJ: Princeton Univ. Press. 1952.
6. Tobar M.E., Mann A.G. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1991. 39, P. 2077.
7. Guillon P., Jiao X. // Proc. IEE. Part H. 1987. 134
8. Schiller S., Beyer R.L. // Opt.Lett. 1991. 16, P. 1138
9. Фел С.С., Левинсон И.Б., Фридберг П.Ш. // Радиофизика и электроника. 1962. 6, №11. C. 1125.
10. Julien A., Guillon P. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1986. 34, P.723
11. Tobar M.E., Anstie J.D., Hartnett J.G. // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 2003. 50, № 11. P. 1407
12. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М., гос. изд. физ.-мат. лит. 1962.
13. Моденов В.П., Цветков И.В.// Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2004. №3. С. 8.
14. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: “Высшая школа” 1991.
15. Г. Дюво, Ж.-Л. Лионс Неравенства в механике и физике. Москва “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, 1980.