"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 6, 2008 |
Поверхностные волны над трапециевидно гофрированной поверхностью
Е .М. Арсеньева, В. А. Калошин
Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН
Получена 18 июня 2008 г.
В импедансном приближении получена формула для постоянной распространения поверхностной волны над трапециевидной гофрированной поверхностью. Проведено сопоставление результатов расчетов на основе полученной формулы с результатами численного эксперимента.
Известны работы, посвященные исследованию поверхностных волн в гофрированных структурах с прямоугольной формой гофра [1,2]. Такие гофрированные структуры применяются в электронике, волноводной и антенной технике. Так, например, в круглом волноводе гофрировка стенок с глубиной гофра, равные или несколько больше четверти длины волны позволяет уменьшить потери при работе на основной волне или снять нежелательное вырождение (совпадение фазовых скоростей) волн и в многомодовом волноводе. При глубине гофра меньше, чем четверть длины волны над поверхностью распространяются замедленные электромагнитных волны, которые эффективно взаимодействуют с электронным потоком [2]. Гофрированные структуры используются также для формирования узконаправленного излучения в антеннах поверхностной волны [3].
В данной работе исследуется гофрированная поверхность с трапециевидной формой гофра (рис.1). Цель - исследование влияния на дисперсионную характеристику поверхностной волны формы гофра, его периода и глубины. Для нахождения постоянной распространения поверхностной волны применяются два метода. Одним из них является аналитический подход, основанный на импедансном приближении, другим – численное моделирование на основе метода конечных элементов. В последнем методе весь объем решаемой задачи разбивается на множество малых конечных элементов в виде тетраэдров. В результате задача сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Продольное сечение двумерной трапециевидной гофры изображено на рис.1. Период гофры , ширина открытой части периода равна при , высота гофры . Обозначим .
Рис.1 Трапециевидная гофрированная поверхность
Представим поле над гофрой ( x> )в виде поверхностной волны:
,
(1)
,
где , - продольное и поперечное волновые числа, а - волновой вектор в свободном пространстве.
Проекция электрического поля на ось пропорциональна проекции магнитного поля на ось с коэффициентом пропорциональности (равным величине импеданса), который не зависит от структуры внешнего поля:
(2)
Далее будем полагать, что внутри каждого периода гофры (при ) образуется основная стоячая волна секториального рупора, поле которой в цилиндрических координатах можно записать следующим образом:
,
(3)
где и - функции Ханкеля первого и второго порядка, соответственно, - радиальная компонента в цилиндрической системе координат (рис.2). Отношение коэффициентов к можно определить из условия равенства нулю тангенциальной компоненты поля на металлической стенке при , которое мы приближенно заменим тем же условием (предполагая, что угол раствора рупора является малым) на поверхности, образованной дугой окружности , как показано на рис.2.
Рассмотрим один период этой гофры (рис.2). Используя граничное условие для тангенциальной компоненты поля: при , находим связь между постоянными и :
(4)
Из уравнения (4) следует:
И формула (3) c учетом формулы (4) приобретает следующий вид:
(5)
Рис.2 Один период трапециевидной гофры. Цилиндрические координаты ,,.
Запишем компоненты электрического поля в цилиндрических координатах - ,, (рис.2) через комплексные амплитуды :
(6)
Для нахождения проекции используем уравнение Максвелла для комплексных амплитуд:
(7)
В цилиндрических координатах выражение для ротора электрического поля имеет следующий вид:
(8)
Учитывая (7) и (2), для проекции получаем следующее уравнение:
и, следовательно, зависимость импеданса , который определяется из соотношения (2), от угла :
(9)
Переходя к пределу и учитывая, что
а также соотношение:
,
получим для зависимости импеданса от угла для треугольной гофры:
В декартовых координатах выражение для импеданса на поверхности выражение для импеданса будет следующим:
Далее введем понятие среднего импеданса на открытой части гофры и понятие среднего импеданса на периоде гофры . Очевидно, что средний импеданс на периоде будет отличаться множителем от среднего импеданса на открытой части гофры :
(10)
(11)
Тогда, учитывая уравнение (8) для среднего импеданса на периоде треугольной гофры получим следующее уравнение:
(12)
Общей формулой для среднего импеданса на периоде трапециевидной гофры будет следующее выражение, согласно формулам (10) и (11):
(13)
Рис.3 Треугольная гофра при
Далее будем рассматривать треугольную гофру при (рис.3).
Приравнивая средний импеданс на периоде внутри гофры (формула (12)) импедансу поля вне гофры (формула (2)) на границе гофры , получаем для величины в случае, когда :
(14)
Тогда коэффициент замедления равен:
,
или, учитывая (9):
(15)
В общем виде, когда :
(16)
Рассмотрим узкий треугольный профиль, когда период l мал по сравнению с глубиной гофры δ:
Для среднего значения импеданса получаем следующую формулу:
(17)
Или, переходя к пределу, , и учитывая, что
,
получим для среднего импеданса выражение:
(18)
Тогда для коэффициента замедления в случае треугольной гофры получается следующая упрощенная формула:
(19)
Условием существования поверхностной волны является требование . Следовательно, при вдоль гофры может распространяться замедленная волна.
Для получения характеристик медленной волны в прямоугольной бесконечной гофре на перейдем к пределу , при для импеданса на поверхности , получаем следующее выражение:
Коэффициент замедления прямоугольной гофрированной поверхности будет равен:
(20)
Отметим, что формула (20) совпадает с формулой, приведенной в [1].
Из формул (19) и (20) видно, что при одинаковых параметрах глубины , параметра коэффициент замедления в прямоугольной гофре больше. Коэффициент замедления больше 1, т.е. гофра обладает замедляющими свойствами.
Численное моделирование было основано на методе конечных элементов. Далее приведено сравнение численных и аналитических результатов для двумерных треугольной и прямоугольной гофрированных поверхностей.
На рис.4 и рис. 5 показано сравнение численных и аналитических значений коэффициента замедления, полученных для треугольной и прямоугольной гофры. Как видно, эти значения хорошо совпадают в большом диапазоне частот. На рис.4 штриховой линией показаны значения численного эксперимента, полученные для гофрированной поверхности конечной проводимости (медь).
Рис.4 Сравнение результатов, полученных численным экспериментом в программе HFSS 8 и использованием аналитической формулы (17). Глубина гофры , период , .
Рис.5 Сравнение результатов, полученных численным экспериментом в программе HFSS 8 и использованием аналитической формулы (22). Глубина гофры , период , .
В итоге,
· В работе получены аналитические формулы для расчета коэффициента замедления в трапециевидной гофрированной поверхности. В частном случае- случае прямоугольной гофрированной поверхности, полученные формулы совпадают с известными формулами, приведенными в литературе.
· Аналитически показано, что коэффициент замедления U для прямоугольного профиля гофра больше, чем для треугольного.
· Показано, что результаты расчета коэффициента замедления для двумерной гофрированной поверхности треугольного и прямоугольного профиля по аналитическим формулам хорошо совпадают с результатами численного исследования в большом диапазоне частот.
Список литературы
[1.] W. Rotman, “A study of Single-Surface Corrugated Guides,” Proc. IRE, 1951, vol. 39, Aug.,pp. 952-959.
[2.] Р.А.Силин, В.П. Сазонов ”Замедляющие системы”. Издательство “Советское радио”, 1966г.
[3.] Г.З. Айзенберг, В. Г. Ямпольский, О.Н.Терешин “Антенны УКВ”. ”Связь”, 1977 г.
xxx |