УДК 517.437, 531, 534, 621.37

СПЕКТРАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ КЛАССОВ НЕАВТОНОМНЫХ МОДЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ

А. А. Егоров¹, Ю. А. Коняев², Nguyen Viet Khoa³

¹ Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН

² НИУ Московский энергетический институт

³ Kien Giang Teacher Training College, Vietnam

Статья поступила в редакцию 18 января 2016 г., после доработки – 17 февраля 2016 г.

Аннотация. Представленная работа посвящена развитию известных математических методов, а также разработке новых спектрально-аналитических методов и конструктивных алгоритмов, необходимых при анализе различных теоретических линейных и квазилинейных динамических моделей, реализуемых в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической, полиномиальной и полиномиально периодической матрицей. Такие модели имеют большое значение при изучении ряда реальных физических явлений и процессов. Основное внимание в работе уделено рассмотрению спектрального варианта метода усреднения при анализе неавтономных систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей, описывающих регулярно возмущенные системы. В статье также приведены некоторые результаты использования указанных методов для исследования отдельных реальных физических явлений, представляющих несомненный практический интерес. В частности проанализировано взаимодействие двух связанных линейных осцилляторов в отсутствие резонансных явлений.

Ключевые слова: неавтономные системы, уравнение Матье, параметрический резонанс, спектральный метод, дифференциальные уравнения с периодической матрицей, исследование устойчивости, линейный осциллятор.

Abstract. The presented work is devoted to the development of known mathematical methods, and also working out of new spectral analytical methods and constructive algorithms necessary at the analysis of various theoretical linear and quasi-linear dynamic models, realized in the form of systems of ordinary differential equations with periodic, polynomial and polynomially periodic matrix. Such models are of great importance at studying of some real physical phenomena and processes. The basic attention in work is given to consideration of a spectral variant of the averaging method at the analysis of non-autonomous systems of differential equations with the periodic matrix, describing regularly perturbed systems. Some results of use of the specified methods for research of the specific real physical phenomena representing doubtless practical interest also are resulted in the paper. In particular the interaction of two coupled linear oscillator in the absence of resonance phenomena is analyzed.

Key words: non-autonomous systems, Mathieu equation, parametric resonance, spectral method, differential equations with periodic matrix, study of stability, linear oscillator.