![]() |
"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 5 , 2000 | ![]() |
О МНОГОКРАТНЫХ ОТРАЖЕНИЯХ В НЕОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
В.В. Меркулов, И.С.
Синева
Московский технический университет
связи и информатики
Получена 26 марта 2000 г.
Получена после доработки 12 мая 2000 г.
Рассматривается задача рассеяния в одномодовой линии передачи с конечным числом неоднородностей. Получены явные решения для прошедшей и отраженной волн. Для однородных рассеивателей показана связь найденных явных решений с многочленами Белла.
Рассмотрим одномодовую
однородную линию передачи, в которую
включено s+1
неоднородностей (рассеивателей). Каждая n-ая
неоднородность характеризуется
комплексным параметром
. Преобразование напряжения и тока при
попадании соответствующей единичной волны
на n-ую
неоднородность слева и справа отражены на
рисунках 1 и 2.
Рис. 1. Преобразование напряжения при прохождении единичной волны через рассеиватель с номером n
Рис. 2. Преобразование тока при прохождении единичной волны через рассеиватель с номером n
Пусть на вход первой
неоднородности падает единичная волна. Она
испытывает многократные отражения. В
результате на выходе линии будем иметь
сигнал T(s+1) , а на входе –
отраженный сигнал R(s+1) .
Для соответствующих напряжения и тока
введем обозначения: ,
- результат
преобразования напряжения при прохождении
линии и отражении от нее,
,
результат преобразования тока.
В простейшем случае (s=1)
(1)
,
.
Здесь d – длина линии, соединяющей первую и вторую неоднородности, а k – волновое число для этой линии. Обобщение формул (1) на случай s>1 приводит к рекуррентным соотношениям:
(2)
,
Здесь
- расстояние между s-ым
и (s+1)-ым
рассеивателями,
- волновое число на данном участке линии.
Рекуррентные соотношения (2)
представляют самостоятельный интерес и
могут быть использованы при численном
моделировании описанной линии. Вместе с тем,
для качественного анализа необходимо иметь
непосредственное выражение для ,
,
,
через
параметры неоднородностей
,
.
Рассмотрим, например, изменение напряжения
в такой линии передач.
Пусть на неоднородность с номером n
слева падает волна с единичными амплитудой
и напряжением. Обозначим через
напряжение сигнала, прошедшего через s+1
неоднородность. Если единичная волна
падает на рассеиватель с номером n справа,
то напряжение сигнала за (s+1)-ым
рассеивателем обозначим через
.
Аналогично вводятся
и
.
Для введенных величин ,
,
,
можно написать рекуррентные соотношения из
следующих соображений: единичная волна,
упавшая слева на n-ый рассеиватель,
разделяется на две: одна волна слева падает
на (n+1)-ый рассеиватель, другая падает
справа на (n-1)-ый рассеиватель. Обе эти
волны дают свой вклад в
(
).
При
Аналогично, единичная волна, упавшая справа на n-ый рассеиватель, разделяется на волну, падающую справа на (n-1)-ый рассеиватель, и волну, падающую слева на (n+1)-ый рассеиватель. Таким образом, при тех же значениях n
Граничные условия к уравнениям (3) , (4) имеют вид:
В терминах переменных
и
нас
интересуют величины
,
.
Теорема. Решение уравнений (3),
(4) с граничными условиями (5)
относительно ,
имеет
вид:
где при
.
Решение для
получается для
при значениях параметров
,
,
а решение для
- при значениях
и
.
Доказательство теоремы проведем,
например, для
.
Можно считать, что
,
при
.
Из (3) и (4) имеем:
Исключим из (7)
переменные ,
Переходя в (8) от индекса n-1 к индексу n, получаем
Подставив соотношения (8) и (9) в (7), имеем
или
.
Введя величины
,
,
получим уравнение в виде
На решении уравнений (10)
с граничным условием
мы и сосредоточимся. Докажем, что решение
уравнений (10) относительно
дается соотношением
Для доказательства соотношения (11)
воспользуемся индукцией по переменной s.
Пусть (11) верно при всех .
Рассмотрим случай
.
Покажем, что
Из (11) следует, что
,
.
Тогда
Мы
воспользовались тем, что .
Таким образом, (12) доказано, а
значит и (11) установлено для всех
четных s.
Доказательство для нечетных s
проводится аналогично.
Результат
теоремы получается их (11) и того,
что .
В качестве
частного случая рассмотрим решение (6)
при ,
.
Тогда
,
при
и
где
- число таких разбиений s-множества
,
,
что
Из (14)
следует, что .
Тогда
,
где
- полином Белла (см., например, [1]).
Используя установленное тождество, запишем
(13) в виде
Из (15), в частности,
следует, что в первом приближении ,
т.е. имеет место экспоненциальное затухание
волны как по U, так и
по I, а следовательно,
и по мощности
.
Поскольку
(см. [1]
), то
при больших значениях k,
т.е. соответствующие слагаемые в (15)
очень быстро убывают и экспоненциальное
затухание имеет место не только в первом
приближении.
Рекуррентные соотношения (2)
замечательны тем, что учитывают
бесконечное число отражений в линии с s+1
неоднородностями. В этом
смысле выражения (2) являются
строгими. В тоже время во многих типичных
ситуациях необходимо иметь представление
об асимптотическом поведении
характеристик при увеличении количества
параметров (т.е. при росте s).
В этом смысле недостатком соотношений (2)
является отсутствие «наглядности»
предельного поведения характеристик, что в
ряде задач заставляет переходить к
приближенным выражениям. Например, при
изучении волноводов со случайными
неоднородностями ограничиваются условиями
и учитывают лишь однократные отражения [2].
Результат доказанной теоремы (соотношения (6))
учитывает все отражения без каких-либо
ограничений на параметры
неоднородностей и позволяет проводить
более точный анализ как при фиксированном
количестве неоднородностей, так и в
различных предельных случаях, например, при
увеличении числа неоднородностей в
одномодовой линии и/или при изменении их
параметров.
Литература
Авторы:
Меркулов Всеволод Владимирович, д.т.н.,
профессор
Синева Ирина Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент, e-mail:
irina.sineva@mtu-net.ru
![]() |
![]() |