"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 10, 2008 |
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТОК СО СЛУЧАЙНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ДЕЦИМАЦИЕЙ
Ф. В. Голик, Е. А. Порхунов
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого
Получена 25 сентября 2008 г
Анализируется поток точек, следующих с постоянным неизвестным периодом, содержащий конечное, но неизвестное число точек, каждая из которых может быть децимирована (потеряна) с неизвестной вероятностью. Предложена процедура преобразования потока, позволяющая обнаружить поток и оценить его параметры – период следования, вероятность децимации, число точек в исходном потоке и координату центра потока. Построены рабочие характеристики обнаружения и найдены характеристики оценок параметров потока. Исследуемый процесс может служить адекватной моделью обнаружения пачки импульсных радиосигналов на фоне некоррелированной помехи, принимаемых пассивным радиолокатором, реализующим критерий обнаружения Неймана-Пирсона при задании предельно низкой (практически нулевой) вероятности ложного обнаружения одиночного сигнала.
Ключевые слова: обнаружение сигналов, обработка сигналов, радиолокация.
Постановка задачи
Формально поток точек может быть представлен вектором
(1)
где - момент возникновения i-й точки, а N – количество точек или размер потока[1].
Положим, что отсчет времени ведется с момента начала наблюдения . Тогда поток с постоянным периодом T есть вектор
. (2)
Каждая точка потока может быть потеряна с вероятностью q и сохранена с вероятностью . Тогда децимированному потоку соответствует вектор
По условию задачи децимация точек взаимно независима, т. е.
.
Априори период следования T, размер N потока и вероятность q децимации неизвестны.
Цель настоящей работы состоит в разработке процедуры обнаружения децимированного потока и нахождения оценок его параметров.
Обнаружение периодичности
Периодический поток без потерь
В отличие от общеизвестных методов обнаружения пачки сигналов (потока точек) в настоящей работе предложен подход, основанный на обнаружении периодичности исследуемого процесса. Действительно, если удастся доказать, что наблюдаемый поток периодический, то можно утверждать, что он порожден некоторым источником детерминированного, а не случайного процесса. То есть обнаружение периодичности равносильно обнаружению цели.
Процедуры, предназначенные для выявления периодичности, базируются на общем подходе, заключающемся в таком преобразовании анализируемого процесса, при котором максимально усиливаются периодические составляющие и подавляются апериодические [1].
Поставим в соответствие каждой точке потока дельта-функцию и представим поток следующим образом:
Косинус-преобразование Фурье потока (4) равно:
Точки потока появляются в моменты , следовательно [2, 1.341.3]:
.
Совместив начало интервала наблюдения с моментом появления первой точки потока, т. е. приняв и, тем самым, компенсировав эпоху, получаем:
Следует подчеркнуть, что компенсация эпохи таким способом возможна далеко не всегда. Действительно, в случае анализа суперпозиции потоков можно компенсировать эпоху только одного потока (если вероятностью появления в момент точек, принадлежащих двум и более потока можно пренебречь). В настоящей работе исследуются потоки, для которых эпоха может быть компенсирована указанным способом, т. е. потоки с нулевой эпохой.
Функция (6) принимает максимальные значения, равные N, при Откуда следует, что найдя точку максимума и его номер k, определим и период потока: . Нетрудно убедиться, что производная функции (6) в точках равна нулю. Следовательно, оценка периода несмещенная.
Таким образом, признаком наличия периодичности является существование глобальных максимумов функции (6) в точках .
Периодический поток с независимой децимацией
Рассмотрим поток с потерей точек.
Выполнив для потока (3) преобразования, аналогичные (4, 5), получаем косинус-преобразование потока:
где n – количество точек, потерянных подряд в начале потока. Множитель позволяет исключить отклики от точек, потерянных в начале потока.
Функция (7) случайна. Для исследования ее свойства найдем ее математическое ожидание.
Поскольку по определению случайные множители взаимно независимы, то случайная величина n распределена по «ограниченному» геометрическому закону:
(8)
Выполнив необходимые преобразования с учетом (8) получаем, что среднее значение функции равно:
где
;
.
Полное аналитическое исследование функции (9) затруднено. Однако можно показать, что глобальные максимумы расположены в точках и оценка периода потока равна . Подставив в (9) , убеждаемся, что функция (9) принимает максимальное значение, равное Np. Это в точности соответствует математическому ожиданию распределения Бернулли, модель которого, по существу, и реализуется в потоке с независимой децимацией. Численные расчеты показывают, что производная по f среднего значения косинус-преобразования при равна нулю и не зависит от вероятности p. Следовательно, оценка периода T несмещенная. Точность измерения периода зависит только от шага дискретизации частоты f .
Рис. 1. Математическое ожидание косинус-преобразования и косинус-преобразование случайной реализации при p=0.5 и N=20. Период следования точек T=1
Таким образом, и в случае децимированного потока существует возможность обнаружения периодичности по наличию глобальных максимумов косинус-преобразования (7) в точках .
Обнаружение потока
В отличие от общепринятых понятий обнаружения сигнала в рассматриваемом случае под правильным обнаружением потока понимается фиксация двух событий: 1) поток содержит больше z точек и 2) глобальные максимумы косинус-преобразования (7) находятся в точках . Первое условие не требует пояснений. Выполнение второго требования связано с тем, что существуют такие комбинации точек децимированного потока, при которых глобальные максимумы функции (7) возникают не только на частотах , но и на кратных частотах , где d – произведение наименьших общих делителей номеров точек, сохранившихся в потоке. В принципе не важно, на какой именно частоте появился ложный глобальный максимум. Достаточно убедиться, что он есть (d > 1) или его нет (d = 1). При d = 1 частота следования точек оценивается по положению первого глобального максимума и равна 1/T. Таким образом, будем считать, что:
- поток обнаружен правильно, если число точек r потока больше z и d = 1 (поток обнаружен и частота оценена верно);
- произошло ложное обнаружение, если r > z и d > 1 (поток обнаружен, но частота оценена неверно);
- поток не обнаружен, если .
Характеристики обнаружения
При расчете вероятностей обнаружения основная сложность состоит в определении вероятности того, что произведение общих делителей номеров сохранившихся точек, равно 1. Нам не удалось получить решение в общем виде. Поэтому вероятностные характеристики найдены с путем статистического моделирования. Оценки вероятностей получены по 104 реализациям, что гарантирует их высокую надежность. При моделировании параметры потока изменялись в следующих пределах: вероятность сохранения точки p = 0.1, 0.2,…0.9; размер потока N = 10, 15,…50. Порог обнаружения z принимался равным z =2, 3, 4. Шаг квантования функции меньше . Ограничения на дискретизацию частоты f не накладывались.
После обработки статистических данных оказалось, что вероятность D правильного обнаружения хорошо аппроксимируется функцией (10) при коэффициенте детерминации не менее 0.9998.
(10)
где .
Значения коэффициентов функции X приведены в табл. 1
Таблица 1
z
a
b
2
1.0147
-0.0485
3
1.0241
-0.0247
4
1.0221
-0.0099
На рис. 2 приведен график зависимости вероятности правильного обнаружения D от вероятности p при N =30, рассчитанной по формуле (10) и ее статистические оценки при пороге обнаружения z = 2.
Рис. 2. Вероятность D правильного обнаружения потока в зависимости от вероятности p при N=30 и пороге z=2
Вероятность пропуска, очевидно, равна
, (11)
а вероятность ложного обнаружения определяется из условия вероятности полной группы событий:
(12)
Вероятность ошибки равна сумме вероятностей пропуска и ложного обнаружения или:
(13)
На рис. 3…6 приведены зависимости вероятностей (10)…(13) от p при разных значениях N.
Рис. 3. Вероятность F ложного обнаружения потока в зависимости от вероятности p при разных размерах N и пороге z=2
Рис. 4. Вероятность D правильного обнаружения потока в зависимости от вероятности p при разных размерах N и пороге z=2
Рис. 5. Вероятность пропуска потока в зависимости от вероятности p при разных размерах N и пороге z=2
Рис. 6. Вероятность суммарной вероятности E ошибки обнаружения потока в зависимости от вероятности p при разных размерах N и пороге z=2
Рабочие характеристики по вероятностям правильного и ложного обнаружения можно найти из (10), (12), решая уравнения
(14)
относительно параметров потока p и N. Здесь - заданные значения соответствующих вероятностей.
На основании численного решения уравнений (14) построены рабочие характеристики для значений порога обнаружения z =2, 3, 4 при = 0.95, 0.99, 0.999, 0.9999 и при = 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, графики которых при z =2 приведены на рис. 7 и 8.
Рис. 7. Зависимость вероятности p от размера N потока при заданных вероятностях F0 ложного обнаружения и пороге z=2
Рис. 8. Зависимость вероятности p от размера N потока при заданных вероятностях D0 правильного обнаружения и пороге z=2
Из графиков следует, что с увеличением размера потока N требования по величине вероятности p существенно снижаются. Так при N = 30 и p = 0.5 вероятность правильного обнаружения больше 0.9999, а вероятность ложного обнаружения равна 10-5. При N = 60 те же характеристики можно получить уже при вероятности p = 0.2.
Рабочие характеристики хорошо аппроксимируются функцией вида
Значения коэффициентов c, d, e, g приведены в Приложении.
Оптимизация порога обнаружения
Постановка задачи обнаружения потока, рассматриваемая в настоящей работе, отличается от классической задачи обнаружения сигнала. Во-первых, в нашем случае под правильным обнаружением понимается выполнение двух условий одновременно: число точек потока больше z и период потока оценен верно. То есть, совмещены две процедуры – обнаружения и оценки. Во-вторых, предполагается, что поток присутствует всегда, то есть априорная вероятность «наличия цели» равна единице.
Тогда критерий идеального наблюдателя сводится к минимизации вероятности суммарной ошибки, равной
(16)
Вероятность E является неубывающей функцией порога z. Следовательно, вероятность ошибки будет минимальна при наименьшем значении порога, при котором в принципе возможно получение однозначной оценки периода следования точек. Таким значением является z = 2.
Вероятность E зависит и от параметров потока N и p, которые априори неизвестны. Полагая, что вероятность p равномерно распределена на интервале (0,1], а размер потока так же равномерно распределен на интервале [N0, N1], можно найти средние значения вероятностей ошибки при разных z. Численные расчеты дают следующие значения средних вероятностей суммарной ошибки при :
Таблица 2
N1
Порог z
2
3
4
50
0.140
0.170
0.202
100
0.095
0.114
0.134
Наименьшее значение средней вероятности ошибки оказываются при минимально допустимом пороге. Таким образом, оптимальным порогом обнаружения можно считать z0 = 2.
Оценка параметров потока
Оценки размера потока и вероятности децимации
При идентификации источника, порождающего поток, в качестве дополнительной информации полезно использовать оценки параметров потока. Так, если известно примерное число импульсов в пачке радиолокационного сигнала и обнаруженным импульсам пачки соответствуют точки потока, то после обнаружения потока можно найти оценку его размера. Если окажется, что , то это может служить дополнительным подтверждением правильности принятого решения об обнаружении цели.
Обозначим моменты появления первой и последней точки соответственно . Между этими крайними точками имеется n позиций. Очевидно , где - ближайшее меньшее целое , - оценка периода.
На n позициях может оказаться k точек. Поток можно обнаружить, если общее число точек k + 2 больше порога z. Откуда следует, что k = z-1…n.
Допустим, что наблюдатель имеет возможность регистрировать только две величины – r=k+2 и n. На основании этих данных найдем максимально правдоподобные оценки вероятности сохранения точки потока и размера исходного потока.
Функция правдоподобия равна
(17)
Полагая N непрерывной величиной, можно показать, что функция (17) почти при всех допустимых значениях n и k имеет единственный максимум, в точке которого производные по p и N равны нулю. Исключение составляет случай, когда При этом функция правдоподобия достигает максимума в точке , координаты которой являются максимально правдоподобными оценками для рассматриваемого частного случая.
При для нахождения оценок параметров p и N применимы стандартные процедуры метода максимального правдоподобия.
Найдем логарифм функции правдоподобия
и вычислим его частные производные по p и N:
Приравняв производные нулю, получаем систему уравнений:
К сожалению, система уравнений (18), (19) не имеет решения в замкнутой форме. Для приближенного решения представим первыми членами ряда [2, 1.512]
(20)
Используя приближение первым членом ряда (20), получаем уравнение:
,
корень которого равен:
(21)
При приближении двумя членами ряда (20) получаем
(22)
При аппроксимации тремя членами ряда формула для оценки размера потока слишком громоздка и не дает заметного выигрыша по точности.
Строго говоря, для оценки не существует точного решения, поскольку N - целочисленная величина, а выражения (18, 19) и связанные с ними получены в предположении ее непрерывности. Поэтому оценки приходится округлять. Приведем расчетные формулы для максимально правдоподобных оценок длины потока и вероятности сохранения точки в потоке:
, .
Здесь - функция округления числа x до ближайшего целого.
С помощью статистического имитационного моделирования найдены средние значения и дисперсии оценок и при следующих параметрах исходного потока: . Порог обнаружения z = 2. Число реализаций 104. На основании результатов моделирования можно утверждать, что оценки и смещенные и состоятельные по размеру N потока – с увеличением N смещение и дисперсия монотонно убывают и стремятся к нулю.
Зависимость вероятности p, при которой модуль относительной ошибки не превышает заданного значения %, хорошо аппроксимируется функцией (23) при коэффициенте детерминации больше 0.995.
. (23)
Значения коэффициентов приведены в табл. 3, а графики на рис. 9.
Таблица 3
Относительная ошибка %
Оценка вероятности p
Оценка размера N
a
b
a
b
5
-0.2706
1.3723
-0.2367
1.2117
10
-0.2392
1.1299
-0.1661
0.8115
Рис. 9. Зависимость вероятности p от размера N потока при заданных относительных ошибках оценок вероятности p и размера N
Из графиков рис. 9 видно, что уже при сравнительно небольших размерах N потока можно получить достаточно точные оценки его параметров. Так при N = 30 и вероятности p = 0.4 относительные погрешности не превышают 5%.
Оценка координаты центра потока
Положим, что поток обнаружен, следовательно, известен его период T. Тогда координату центра достаточно выразить через номера точек, т. е. получить нормированную по T координату.
Отметим, что задача оценки координаты центра потока эквивалентна задаче оценки азимута цели по пачке двоично-квантованных сигналов при воздействии некоррелированной помехи. Известны эвристические и оптимальные алгоритмы оценки азимута [3].
Рассмотрим простейший алгоритм оценки по номерам первой и последней точек:
. (24)
Характеристики оценки можно найти, используя распределение общего числа v точек, потерянных в начале и конце потока, при условии, что в потоке сохранилось больше z точек:
.
Математическое ожидание оценки координаты центра потока вычисляется по формуле
,
которая преобразуется к виду:
Откуда следует, что оценка координаты центра потока несмещенная.
Дисперсия оценки равна:
Можно показать, что дисперсия уменьшается с ростом N, следовательно, оценка (24) состоятельная по размеру потока.
Рис. 10. Зависимость коэффициента вариации оценки координаты центра потока от вероятности p при различных размерах N
На рис. 10 приведены графики зависимости коэффициента вариации оценки от вероятности p при различных значениях размера потока N.
Распределение координаты центра можно найти с помощью расчетной формулы:
где ,
- матрица количества точек, сохранившихся в потоке.
Распределение координаты центра потока симметричное, эксцесс положительный.
Заключение
Полученные результаты могут служить основой для построения алгоритма обнаружения пачки радиоимпульсов, поступающей на вход пассивного радиолокатора, а также оценки параметров – периода следования радиоимпульсов, длительности пачки, координаты ее центра. При этом предполагается, что вероятность ложного обнаружения одиночного сигнала пренебрежимо мала и отсутствует многолучевое распространение сигнала от источника излучения. Кроме того, принято, что погрешность оценки временного положения радиоимпульсов мала. Перечисленные ограничения достаточно строги и редко выполняются на практике в полном объеме. Однако, на наш взгляд, развитие предложенного подхода может оказаться продуктивным для решения и более сложных задач.
Литература
1. Серебренников М. Г., Первозванский А. А. Выявление скрытых периодичностей. - М.: Наука, 1965. - 244 с.: ил.
2. Градштейн И. С., Рыжик И. М.: Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.: ил.
3. Кузьмин С. З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. – М.: Радио и связь, 1986.- 352 с.: ил.
Приложение. Коэффициенты функции (15), аппроксимирующей рабочие характеристики обнаружения децимированного потока
Таблица П1
Порог обнаружения z = 2
Вероятность D0
c
d
e
g
0.95
7.12608
-0.97329
-8.51202
-1.63158
0.99
14.04819
-1.02771
-17.50963
-1.43442
0.999
19.44982
-1.02910
-27.58727
-1.42917
0.9999
54.78414
-1.09737
-65.26045
-1.27006
Вероятность F0
c
d
e
g
0.001
14.80789
-0.99159
-22.64423
-1.49599
0.0001
443.51862
-1.16250
-453.31324
-1.18459
0.00001
923.70361
-1.15916
-937.07397
-1.17178
0.000001
1327.69522
-1.14839
-1344.02532
-1.15821
Таблица П2
Порог обнаружения z = 3
Вероятность D0
c
d
e
g
0.95
7.90419
-0.98229
-13.11693
-1.82490
0.99
11.51148
-1.00015
-20.00618
-1.67354
0.999
24.33768
-1.06213
-35.20249
-1.43689
0.9999
614.75939
-1.19346
-628.09420
-1.21266
Вероятность F0
c
d
e
g
0.001
24.73151
-1.06081
-31.94967
-1.37412
0.0001
379.96994
-1.17930
-391.42719
-1.20766
0.00001
900.82214
-1.18103
-916.72380
-1.19546
0.000001
1517.70456
-1.16913
-1536.56843
-1.17855
Таблица П3
Порог обнаружения z = 4
Вероятность D0
c
d
e
g
0.95
7.90419
-0.98229
-13.11693
-1.82490
0.99
13.21021
-1.01376
-25.60585
-1.71160
0.999
22.30745
-1.05049
-38.23678
-1.53057
0.9999
805.86559
-1.21268
-822.75440
-1.22974
Вероятность F0
c
d
e
g
0.001
9.76386
-0.93933
-39.61348
-1.95658
0.0001
13.42641
-0.95394
-46.00445
-1.82916
0.00001
612.19299
-1.19246
-630.49297
-1.21522
0.000001
1339.90551
-1.18148
-1360.64605
-1.19277
xx |