"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 9, 2007 |
РАСЧЕТ ЭВОЛЮЦИИ КЛАСТЕРОВ РАДИАЦИОННЫХ ДЕФЕКТОВ С УЧЕТОМ ДИФФУЗИИ И НЕКОТОРЫХ ВТОРИЧНЫХ ПРОЦЕССОВ
Е.Л. Панкратов
Институт физики микроструктур РАН, Нижний НовгородПолучена 26 мая 2007 г.
В настоящей работе проведен анализ эволюции концентрации точечных дефектов при ионном облучении твердых тел. Предложена приближенная аналитическая методика для ее описания с учетом диффузии и некоторых вторичных процессов (рекомбинация точечных дефектов и образование дивакансий). Расчеты произведены с учетом дискретного во времени и пространстве попадания ионов на поверхность образца. На примере облучения кремния ионами неона рассчитаны зависимости концентрации дефектов от глубины при различных дозах (временах облучения) и зависимость дозы аморфизации от плотности ионного тока.
Введение
Вопрос об образовании и эволюции концентрации точечных дефектов при ионном облучении является одним из ключевых в физике ионной имплантации и радиационной физике. Несмотря на то, что этому вопросу уделялось много внимания, в том числе в теоретических работах, существующие аналитические подходы в основном ограничиваются либо слишком грубыми, либо асимптотическими приближениями [1,2]. При этом обычно не учитываются реальные факторы, такие как плотность потока частиц (плотности тока в случае ионного облучения). Учет этих факторов приводит к математическим трудностям при получении аналитических решений, численные же методы обладают известными недостатками.
В настоящей работе сделана попытка развития приближенного аналитического подхода к этой проблеме с учетом представляющихся наиболее важными вторичных процессов [3,4].
В настоящей работе рассмотрена среда, в которой образовался кластер точечных радиационных дефектов (вакансий и междоузельных атомов) с эллипсоидальной симметрией и гауссовым распределением концентрации после попадания в нее быстрой частицы (например, иона). Дефекты диффундируют с постоянным коэффициентом диффузии и участвуют в образовании дивакансий (по бимолекулярному механизму). Одновременно происходит прямая рекомбинация дефектов друг с другом. В работе определялись концентрации междоузельных атомов, вакансий и дивакансий, как функции координат и времени, при наложении (в пространстве и времени) на кластер дефектов, сформированный одной радиационной частицей (ионом), кластеров, созданных другими частицами (ионами), в зависимости от дозы и плотности ионного тока. Такая модель позволяет моделировать процесс дефектообразования при различных скоростях набора дозы, в частности, прогнозировать дозы аморфизации. Этот анализ полезен при формировании наноструктур методом ионного облучения кремния [5,6] в зависимости от сорта ионов и плотности ионного тока. Данная задача решена методом осреднения функциональных поправок с улучшенной сходимостью. Особенностью данного подхода по сравнению с более распространенным, когда концентрация дефектов считается непрерывной и однородной по поверхности образца, является учет пространственно-временной дискретности падения ионов на образец. Следует также заметить, что в аналогичных работах (см., например, [1]) по моделированию стабилизации кластеров дефектов рассматривались предельные случаи медленной и быстрой диффузии (из рассмотрения динамики перераспределения дефектов исключались соответственно или диффузионная составляющая, или все остальные). Данная работа является обобщением этих предельных случаев.
Методика анализа
Рассмотрим эволюцию концентрации радиационных дефектов, образовавшихся в результате попадания в образец твердого тела радиационных частиц (ионов). В этом случае область распространения дефектов близка по форме к цилиндрической. В результате попадания одной частицы образуется кластер дефектов. Предполагается, что междоузельные атомы имеют существенно больший коэффициент диффузии и покидают поврежденную область образца быстрее вакансий. Распределение концентрации междоузельных атомов и вакансий по радиальной , угловой и осевой координатам в момент окончания динамической стадии эволюции каскада, принятый за начало отсчета по времени , имеет вид:
где - функция ошибок [7]; ; и – полное количество междоузельных атомов и вакансий в начальный момент времени; и – область распространения дефектов; – координата облучаемой поверхности образца. Здесь – толщина образца, которая считается большой по сравнению с пробегом ионов, а вводится таким образом, чтобы эта величина была большой по сравнению с поперечным радиусом кластера и поэтому выбор слабо влияет на результат. Плоскость совпадает с плоскостью, на которой расположен максимум начального распределения дефектов по оси ; угловая координата изменяется в интервале . С течением времени часть точечных дефектов продиффундирует за пределы исходного кластера, другая часть - образует комплексы (в данной работе ограничимся образованием дивакансий), третья часть – рекомбинирует при взаимодействии друг с другом. Во время эволюции данного кластера в образец в случайные моменты времени попадают другие частицы (будем считать, что попало N новых частиц с одинаковой энергией и одинаковым пробегом ), образуя при этом новые кластеры с количеством дефектов в каждом и и координатами максимума , и . Их начальное распределение:
, (1a)
где .
Динамика точечных радиационных дефектов на этапе стабилизации кластеров может быть описана с учетом их диффузии, а также их рекомбинации друг с другом и образования дивакансий. В цилиндрической системе координат можно записать:
где и – концентрации междоузельных атомов и вакансий образованных всеми каскадами; , , и – соответственно коэффициенты диффузии междоузельных атомов и вакансий, кинетические коэффициенты захвата вакансии вакансией (при образовании дивакансий) и рекомбинации [8], ) – односторонняя дельта-функция Дирака [7]. Содержащие дельта-функцию слагаемые системы уравнений (2) соответствуют генерации новых кластеров дефектов при попадании в образец новых ионов. Данная система должна быть дополнена описывающим перераспределение дивакансий уравнением, которое может быть записано в следующем виде:
,
где и – соответственно концентрация и коэффициент диффузии дивакансий, - кинетический коэффициент распада дивакансий. Однако, параметры и обычно существенно меньше соответственно и , а также KVV. По этой причине концентрация дивакансий может быть определена с помощью следующего соотношения [1]:
Систему уравнений (2) необходимо дополнить граничными условиями. Формально радиальная составляющая ее общего решения является суперпозицией функций Бесселя первого порядка первого и второго рода соответственно. Однако, функции Бесселя второго рода являются физически нереализуемыми, что приводит к необходимости приравнивания нулю соответствующей постоянной интегрирования. Ввиду того, что дефекты фактически не достигают границ и (значение выбиралось так, чтобы процессы, происходящие при , не оказывали заметного влияния), концентрация дефектов непрерывна, отсутствуют отрицательные значения угловых координат, и считается равным нулю поток дефектов в область значений осевой координаты (отражающая поверхность), можно использовать следующие граничные условия:
, , , , , .
В общем случае на перераспределение междоузельных атомов и вакансий, описываемое системами уравнений (2) или (4), оказывают влияние диффузия точечных дефектов, комплексообразование (образование дивакансий) и взаимодействие вакансий с междоузельными атомами. Для оценки относительного влияния тех или иных процессов на накопление дефектов и дозу аморфизации рассчитаем так называемые функции влияния [9]. Обычно для качественных и некоторых количественных оценок достаточно расчета линейных функций влияния. В нашем случае соответствующие функции имеют вид: , , , и . Иногда требуется учет квадратичных функций влияния, соответственно равных , , , и . Функции влияния могут быть вычислены следующим образом. Запишем исходное уравнение (2) в безразмерных переменных:
где , , , , , , , , , .
Для определения функций влияния запишем решение системы уравнений (2а) в виде степенных рядов: и . Можно показать (см., например, [10]), что функция совпадает с линейной функцией влияния образования дивакансий, а функции и совпадают с линейными функциями влияния рекомбинации на перераспределение радиационных дефектов. Функции , и совпадают с аналогичными квадратичными функциями влияния. Для определения функций влияния диффузионного “расплывания” точечных радиационных дефектов целесообразно ввести другие безразмерные величины: , , , , , , , , . В этом случае уравнения (2) преобразуются к следующему виду:
Решение данного уравнения может быть получено по аналогии с решением уравнения (2а), т.е. в виде ряда: . Функции и совпадают соответственно с линейной и квадратичной функциями влияния диффузии точечных дефектов на эволюцию их распределения (см., например, [10]). Анализ функций влияния показал, что для параметров, принятых в наших расчетах, преобладающий вклад в эволюцию распределения дефектов дает их диффузионное “расплывание”. Рекомбинация дефектов является следующим по значимости эффектом. Процесс образования дивакансий оказывает минимальное влияние на распределение дефектов.
Представляет интерес также влияние диффузии дефектов и их комплексообразования на дозу аморфизации. Расчет соответствующих функций влияния показывает, что и ускорение диффузии, и замедление комплексообразования дефектов приводят к увеличению дозы, необходимой для достижения аморфизации.
Преобразуем систему уравнений (2) к следующей системе интегро-дифференциальных уравнений:
где – переменная интегрирования по времени, временная единичная функция определяется следующим соотношением [7]: .
Решение системы уравнений (4) производится приближенно с помощью метода осреднения функциональных поправок (см., например, [11,12]). В рамках данного метода функции и , а также их производные в правой части системы уравнений (4) в первом приближении заменяются на пока не известные постоянные: и и т.д. Далее полученное решение уточняется следующим образом. Концентрация вакансий в m-ом приближении определяется из системы уравнений (4) через концентрации дефектов в (m-1)-ом приближении путем замены в правых частях уравнений: , , т.е.
где
t=T – момент окончания наблюдения за эволюцией концентрации дефектов (после попадания N ионов).
Подстановка (5) в (6) позволяет получить соотношения для функций и , а также параметров и в окончательном виде. Они не приводятся из-за громоздкости. Практическое применение данного метода затруднено медленной сходимостью. Для ускорения сходимости функции и в правой части (4) в первом приближении заменим не на постоянную величину, а на более точную аппроксимацию, например, на решение уравнения (2) в чисто диффузионном приближении. В результате такой замены из (4) получаем первое приближение для концентрации радиационных дефектов в модифицированном методе осреднения:
где , , , , , . Здесь - функция Бесселя первого рода первого порядка, – корень уравнения , , , , , .
Подстановка пространственно-временного распределения вакансий в соотношение (3) позволяет найти пространственно-временное распределение концентрации дивакансий. В данной работе получено первое приближение пространственно-временного распределения дивакансий. Приближения более высоких порядков пространственно-временного распределения концентрации вакансий вычисляются аналогично, используя (5)-(6), а затем из (3) определяются соответствующие приближения пространственно-временного распределения дивакансий.
Результаты анализа
Расчет проводился для случая облучения кремния ионами Ne+ с энергией 100 кэВ. Параметры распределения дефектов в каскаде, согласно [13], следующие: нм; нм; нм. Для параметров , , и приняты значения [3,4,8]: см2/с, см2/с, см-3с-1 и см-3с-1. В общем случае данный метод требует выбора радиуса R и числа N падающих на площадку частиц. Так как число при определенном и дозе фиксировано, то фактически выбирается только параметр . Очевидно, что чем большее значение , тем лучше статистика и точнее будет результат, но более длителен расчет. Для определения минимально приемлемых значений были выполнены расчеты , и при различных значениях . Результаты расчета приведены на рис. 1, из которого видно, что , и при становятся слабо зависящими от величины . При этом имеет место достаточно хорошее сглаживание флуктуаций, связанных со статистическим разбросом распределения дефектов от разных каскадов.
На рис. 2а и 2б приведены временные зависимости концентрации междоузельных атомов и вакансий в начале координат (при R=4Dr) при различных плотностях потока частиц J (плотность тока варьировалась от 1,6´10-3 до 16 мкА/см2). Видно, что при заданных параметрах и выходят на квазистационарный уровень примерно за ~5´10-4с и ~6´10-4с практически независимо от плотности ионного тока. С ростом J этот уровень, естественно, увеличивается. Скачки концентраций точечных дефектов, связанные с дискретностью падения ионов, в выбранном масштабе не заметны.
Рис.1. Зависимость расчетных значений концентрации вакансий и междоузельных атомов (в единицах 1019 см-3), а также дивакансий (в единицах 1020 см-3) в точке (,,) при с от выбора радиуса R облучаемой площадки. Выбор с соответствует времени падения 17-ой частицы при см-2с-1 (доза см-2)
Рис.2а. Зависимость концентрации междоузельных атомов I(r=0,j =0,z=0) от времени при R=4Dr для различных значений J
Рис.2б. Зависимость концентрации вакансий V(r=0,j =0,z=0) от времени при R=4Dr для различных значений J
На рис. 3 представлена временная зависимость концентрации дивакансий в начале координат при тех же значениях J, что и на рис. 2. Видно, что F(r,j,z,t) растет со временем (т.е. с дозой) сначала с возрастающей скоростью (вследствие роста концентрации вакансий, из которых дивакансии образуются по бимолекулярному механизму), а затем – практически линейно (в области времен, при которых V(r,j,z,t) выходит на квазистационарное значение).
На рис. 4а, 4б и 5 приведены распределения междоузельных атомов, вакансий и дивакансий к моменту попадания частицы с k=17, что соответствует дозе F»1,2´1011 см-2. Плотность потока взята равной J=2´1013 см-2с-1 (3 мкА/см2). Получено, что при дальнейшем увеличении числа ионов профиль меняется слабо. Как видно из рис. 4, для принятых нами параметров за времена, сравнимые со временем выхода V на уровень насыщения, происходит расплывание кластера вакансий. Размер кластера дивакансий (рис. 5) меньше размера кластера вакансий. Последнее связано с бимолекулярным механизмом образования дивакансий. Угловые распределения I, V и F, как и следовало ожидать, практически однородны вследствие симметрии задачи.
Рис.3. Зависимость концентрации дивакансий от времени при для различных значений J
Рис. 4а. Зависимость концентрации междоузельных атомов осевой (z), радиальной (r) и угловой координат () после попадания 17-ой частицы (доза см-2) на площадку с радиусом при см-2с-1 (кривые 1-3) и распределения междоузельных атомов от одной частицы (кривые 4-6). Для кривых 4-6 значение концентрации I увеличено в 10 раз
Рис.4б. Зависимость концентрации вакансий осевой (z), радиальной (r) и угловой координат () после попадания 17-ой частицы (доза см-2) на площадку с радиусом при см-2с-1 (кривые 1-3) и распределения вакансий от одной частицы (кривые 4-6). Для кривых 4-6 значение концентрации V увеличено в 10 раз
Рис.5. Зависимость концентрации дивакансий от радиальной, осевой и угловой координат при дозе см-2, см-2с-1 (3 мкА/см2)
Были получены дозы аморфизации как функции J. За дозу аморфизации принималась доза, при которой концентрация дивакансий достигала 10% от числа атомов кремния Si в 1 см3. Из рис. 6 видно, что при малых J дозах аморфизации , при больших значениях J она падает приблизительно по закону , затем снова стремится к постоянному значению. При малых значениях J зависимость Fам от плотности тока при постоянной дозе слабая из-за того, что свободные вакансии в кластере от каждой частицы почти успевают исчезнуть к моменту попадания в его область следующих частиц, так что кластеры от отдельных частиц эволюционируют квазинезависимо друг от друга. При очень больших J практически все вакансии, генерированные каждой падающей частицей, к моменту удара следующей частицы выживают в свободном виде, поэтому концентрация дивакансий определяется только дозой, и зависимость от J должна исчезать. Полученные нами дозы аморфизации при плотности тока 1¸10 мкА/ см2 по порядку величины согласуются с экспериментальными значениями [16], что свидетельствует об адекватном выборе параметров задачи.
Сравнение полученных аналитических результатов для первого приближения с результатами прямого численного решения системы уравнений (2) показывает различие в 5¸7 %. Это свидетельствует о быстрой сходимости используемого нами метода.
Рис.6. Зависимость дозы аморфизации Fам от плотности потока частиц (за Fам принята доза, при которой V составляет 10% от числа атомов Si в 1 см-3)
Заключение
В настоящей работе проведен анализ эволюции кластеров точечных радиационных дефектов при ионном облучении с учетом диффузии и наиболее важных вторичных эффектов (рекомбинация и образование дивакансий). Получена зависимость дозы аморфизации (на примере Ne+ с энергией 100 кэВ) от плотности ионного тока. Проведен анализ относительного влияния изменений параметров эволюции дефектов на их концентрацию. Данный метод расчета применим не только к ионному, но и к другим видам дефектообразования под действием “надпороговой” радиации.
Литература
[1] В.Л. Винецкий, Г.А. Холодарь. Радиационая физика полупроводников. Киев: "Наукова думка", 1979.
[2] L. Pelaz, L. Marques and J. Barbolla // J. Appl. Phys. 2004. V.96. №11. P. 5947.
[3] N.P. Morozov, D.I. Tetelbaum, P.V. Pavlov, and E.I. Zorin. // Phys. Stat. Sol. 1976. V.37. №1. P.57.
[4] Н.П. Морозов, Д.И. Тетельбаум // ФТП. 1980. Т.14. №5. С. 934.
[5] Д.И. Тетельбаум, С.А. Трушин, А.В. Питиримов // Известия академии инженерных наук им. А.М. Прохорова. Технология материалов и компонентов электронной техники. 2004. Т.7. №11. С. 17.
[6] А.А. Ежевский, Д.И. Тетельбаум, А.Н. Михайлов А.А. Ежевский, Д.И. Тетельбаум, А.Н. Михайлов, М.Ю. Лебедев, Ю.А. Менделеева, С.В. Морозов, Д.В. Гусейнов.// Optical Materials. 2001. V.17. №1-2. P. 57.
[7] Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974.
[8] P.M. Fahey, P.B. Griffin, J.D. Plummer // Rev. Mod. Phys. 1989. V.61. №2. P. 289.
[10] E.L. Pankratov // Phys. Rev. B. 2005. V.72. №7. P. 075201.
[11] Ю.Д. Соколов // Прикладная механика. 1955. Т.1. С. 23.
[12] А.Ю. Лучка. Теория и применение метода осреднения функциональных поправок. Киев: Издательство АН УССР. 1963.
[13] А.Ф. Буренков, Ф.Ф. Комаров, М.А. Кумахов, М.М. Темкин. Пространственные распределения энергии, выделенной в каскадах атомных столкновений в твердых телах. М.: Энергоатомиздат, 1985. 248 с.
[14] Е.И. Зорин, П.В. Павлов, Д.И. Тетельбаум. Ионное легирование полупроводников. М.: Энергия, 1975. 130 с.
xxx |