Асимптотика электромагнитного поля в окрестности ребра в волноводе

А.Н. Боголюбов, А.Л. Делицын, И.Е. Могилевский, А.Г. Свешников

Получена 11 апреля 2000 г.

Исследуется вопрос о поведении электромагнитного поля в окрестности ребра в волноводе на основе метода, впервые предложенного В.А. Кондратьевым. Выписывается явный вид решения спектральной задачи в окрестности ребра, где поперечное сечение волновода совпадает с сектором.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ. Проект № 00-01-00111.

Как известно, при расчете электромагнитного поля в волноводах существенные трудности возникают при наличии ребер на граничной поверхности волновода. Существование угловых точек контура сечения волновода приводит к особенностям в решениях краевых задач. В частности, обобщенное решение задачи может не принадлежать классу H² даже при гладкой правой части. В работе [1] показано, что при наличии ребер у волновода в решении для магнитного вектора Герца появляется добавочный член, учитывающий влияние угловой линии и имеющий логарифмическую особенность на ребре. Применение численных методов для расчета подобных волноводов существенно осложнено. Использование проекционных методов, например метода конечных элементов, оказывается значительно менее эффективным в связи с резким уменьшением скорости сходимости по сравнению со случаем волноводов с гладкой границей [2-4]. Поскольку решение уже не обязательно является гладким, то не удается получить высокий порядок его аппроксимации (например, в классе полиномов высокого порядка). Одним из способов улучшения эффективности метода конечных элементов является выделение особенностей решения в явном виде. Вопрос об асимптотике решения эллиптических краевых задач в целом решен в работах [5,6]. Дифференциальные свойства точных решений краевых задач и оценки сходимости приближенных решений к точным для уравнений Лапласа и Пуассона на многоугольниках установлены в работах [7-10]. Настоящая работа посвящена применению метода, предложенного впервые в работе Кондратьева В.А., к спектральным задачам расчета электромагнитного поля в волноводах.

Пусть электромагнитное поле зависит от времени через множитель e^-iwt, а волновод представляет собой цилиндр Q = {(x,y) О W, z О (-Ґ,Ґ)}, граница области W содержит угловую точку O с углом произвольной величины. Дальнейшее изложение также применимо, если на границе W находится конечное число угловых точек. Предполагается, что вне некоторой окрестности угловой точки граница области W гладкая. Считаем, что магнитная проницемость внутри волновода m є 1, а диэлектрическая проницаемость e(x,y) вещественная и имеет ограниченные первые производные. Система уравнений Максвелла после сокращения на временной множитель e^-iwt примет вид:  

Будем искать однородные решения системы уравнений Максвелла с зависимостью от z вида:  

Аналогично тому, как это сделано в [11,12] при указанных условиях на e и m, получается система уравнений для собственных векторов компонент поля {H_^,E_z} и собственных значений b²   

где использованы обозначения  

или в случае цилиндрических координат  

Воспользуемся уравнением rot H = -ikeE для получения дополнительного граничного условия. Вблизи границы ¶W\O введем систему координат на векторах { n, t}. Тогда в этой системе  

так как H_n |_¶W\O = 0 и E_z |_¶W\O = 0 , то отсюда вытекает условие   

Для определения поля в угловой точке воспользуемся условием Мейкснера [13-14]: поток энергии через любую поверхность, охватывающую ребро, стремится к нулю при стягивании этой поверхности к ребру  

(интеграл по поверхности заменен интегралом по контуру в силу зависимости поля от координаты z через множитель e^ibz).

Рассмотрим обобщенную постановку задачи (1)-(3). Аналогично [11,12] введем билинейные формы  

Будем искать A = {H_x,H_y,E_z } О (H¹(W))³ и комплексные b², удовлетворяющие уравнению  

где l₀ > max_{(x,y) О W} e(x,y), C - константа.

По теореме Лакса-Мильграма существует единственное обобщенное решение A = {H_x, H_y, E_z } О (H¹(W))³ краевой задачи   

удовлетворяющее граничным условиям (2)-(3) для любого F = {f_x,f_y,f_z } О (L₂(W))³. Кроме того, при достаточно гладком e для декартовых компонент A и F справедлива
Теорема [15] Пусть A = {H_x,H_y,E_z } О (H¹(W))³ - обобщенное решение задачи (4), причем F = {f_x,f_y,f_z } О (H^l(W_d))³, l і 0, целое, W_d = W\B_d, B_d - шар радиуса d, d - любое положительное число. Тогда A = {H_x,H_y,E_z } О (H^l+2(W_2d))³ и выполнено неравенство

Если F = b²A, то применяя данную теорему многократно (при достаточно гладкой e), получим, что A О (H^l(W_d))³ для любого фиксированного l, то есть решение является гладким на удалении от угловой точки.

Перейдем в системе (1) к полярным координатам с центром в угловой точке. При использовании полярных координат норма || ·||_H1_(W) для скалярной функции принимает вид  

а для вектор-функции

 Поэтому из принадлежности A_^ = { H_x,H_y } О (H¹(W))², вообще говоря, не следует A_^ = {H_r,H_j} О (H¹(W))². Поскольку A = {H_x,H_y,E_z } О (H¹(W))³, то каждая из компонент A в полярных координатах {H_r,H_j,E_z } принадлежит L₂(W). Кроме того, rot eH_^ О L₂(W), поскольку это скалярная величина. Так как E_z О H¹(W), то |СE_z|² = |¶E_z/¶r|²+[1/r²]|¶E_z/¶j|² - интегрируемая функция, отсюда вытекает, что |rot E_z |² = |¶E_z/¶r|²+[1/r²]|¶E_z/¶j|² - также интегрируемая функция, то есть rot E_z О (L₂(W))². Перенося в правую часть все неглавные члены и обозначая их сумму опять F, получим систему уравнений:   

Рассмотрим сначала эту систему в случае, когда W = K - бесконечный сектор угла w₀. Тогда граничные условия примут вид:  

Следуя [5,6], введем пространство V^l_g(K) с нормой  

l і 0 целое, g - любое число. Рассмотрим систему (5) при правой части F = {f_r, f_j, f_z} О (V^l_g(K))³. Случаю F = {f_x, f_y, f_z} О (L₂(K))³ соответствует {f_r, f_j, f_z} О (V⁰₀(K))³. Следуя [5,6], сделаем замену переменных t = ln[1/r]. Сектор K перейдет в полосу Х = {t О (-Ґ,Ґ), 0 Ј j Ј w₀}. Система (5) примет вид:  

Сделаем преобразование Фурье по t  

Система преобразуется в следующую   

Принадлежность f_i О V^l_g(K) (i = {r,j,z }) означает ограниченность интегралов   

Для Фурье образа на основании теоремы Планшереля вытекает неравенство   

Фурье образ определен на R+ih, поскольку квадраты производных F_i интегрируемы с весом e^-2(g-l-1)t. Домножим уравнения системы (6) на функции  

и проинтегрируем по j от 0 до w₀. Построим резольвенту

Полюсы резольвенты  

неравенство  

интеграл  

сходится и определяет вектор-функцию A(t,j), для которой справедлива оценка (8) с i₁+i₂ Ј l+2. Возвращаясь к переменным (r,j), получим решение системы (5), принадлежащее пространству V^l+2_g(K). Таким образом, справедлива следующая

Теорема 1 Пусть f = {f_r, f_j, f_z} О (V^l_g(K))³, l+1-g № ±[pn/w₀], l+1-g № ±([pn/w₀]±1). Тогда существует единственное решение {H_r,H_j,E_z} О (V^l+2_g(K))³, при этом ||{H_r,H_j,E_z}||_(Vl+2_g(K))3 Ј С ||{f_r,f_j,f_z}||_(Vl_g(K))3. 

Поскольку уравнения системы (5) для H_^ и E_z не связаны в главной части, то H_^ и E_z могут принадлежать пространствам V_g^l(K) с разными индексами g.

Пусть теперь f(r,j) = {f_r,f_j,f_z} О (V^l_g1(K)ЗV^l_g2(K))³, g₁ > g₂, на прямых h₁ = -g₁+l+1,

мероморфная вектор-функция.

Применяя теорему о вычетах для прямоугольного контура, ограниченного прямыми Iml = h₁, Iml = h₂ и Re l = ±N, и переходя к пределу при N®Ґ, получаем представление  

Выпишем значения вычетов в точках h₁ < Im l_n < h₂  

Отсюда вытекает справедливость следующей теоремы

Теорема 2 Пусть f(r,j) = {f_r,f_j,f_z} О (V^l_g1(K)ЗV^l_g2(K))³, g₁ > g₂, на прямых h₁ = -g₁+l+1, h₂ = -g₂+l+1 нет полюсов резольвенты. Тогда для решения в любой конечной окрестности угловой точки справедливо следующее представление   

где A_n⁽¹⁾, A_n⁽²⁾, A_n^(z) - постоянные, определяемые равенствами  

W_^(r,j) О (V_g2^l+2(K))², W_z(r,j) О V_g2^l+2(K).

Рассмотрим задачу (5) с правой частью вида  

  где 

Прямой проверкой можно убедиться, что вектора