Поверхностные волны над трапециевидно гофрированной поверхностью
Е .М. Арсеньева, В. А. Калошин
Институт
радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН
Получена 18 июня 2008 г.
В импедансном приближении получена формула для постоянной распространения поверхностной волны над трапециевидной гофрированной поверхностью. Проведено сопоставление результатов расчетов на основе полученной формулы с результатами численного эксперимента.
Известны работы, посвященные исследованию поверхностных волн в
гофрированных структурах с прямоугольной формой гофра [1,2]. Такие
гофрированные структуры применяются в электронике, волноводной и антенной
технике. Так, например, в круглом волноводе гофрировка стенок с глубиной гофра,
равные или несколько больше четверти длины волны позволяет уменьшить потери при
работе на основной волне 
или снять нежелательное вырождение
(совпадение фазовых скоростей) волн 
и 
в многомодовом волноводе. При глубине
гофра меньше, чем четверть длины волны над поверхностью распространяются
замедленные электромагнитных волны, которые эффективно взаимодействуют с
электронным потоком [2]. Гофрированные структуры используются также для
формирования узконаправленного излучения в антеннах поверхностной волны [3].
В данной работе исследуется гофрированная поверхность с трапециевидной формой гофра (рис.1). Цель - исследование влияния на дисперсионную характеристику поверхностной волны формы гофра, его периода и глубины. Для нахождения постоянной распространения поверхностной волны применяются два метода. Одним из них является аналитический подход, основанный на импедансном приближении, другим – численное моделирование на основе метода конечных элементов. В последнем методе весь объем решаемой задачи разбивается на множество малых конечных элементов в виде тетраэдров. В результате задача сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Продольное сечение двумерной трапециевидной гофры изображено на рис.1.
Период гофры 
, ширина открытой части периода
равна 
при 
,
высота гофры 
.
Обозначим 
.
Рис.1 Трапециевидная гофрированная поверхность
Представим поле над
гофрой ( x> )в виде поверхностной волны:
,
(1)
,
где 
,
- продольное и поперечное волновые числа, а 
- волновой
вектор в свободном пространстве.
Проекция
электрического поля на ось 
пропорциональна проекции магнитного поля
на ось 
с коэффициентом
пропорциональности 
(равным
величине импеданса), который не зависит от структуры внешнего поля:
(2)
Далее будем полагать, что
внутри каждого периода гофры (при 
) образуется основная стоячая волна
секториального рупора, поле которой в цилиндрических координатах можно записать
следующим образом:
|
|
(3) |
,
где 
и 
- функции Ханкеля первого и
второго порядка, соответственно, 
- радиальная компонента в цилиндрической
системе координат (рис.2). Отношение коэффициентов 
к 
можно определить из условия равенства нулю
тангенциальной компоненты поля 
на металлической стенке при 
, которое мы приближенно
заменим тем же условием (предполагая, что угол раствора рупора 
является малым) на
поверхности, образованной дугой окружности 
, как показано на рис.2.
Рассмотрим
один период этой гофры (рис.2). Используя граничное условие для
тангенциальной компоненты поля: 
при 
, находим связь между постоянными и :
(4)
Из уравнения (4) следует:
И формула (3) c учетом формулы (4) приобретает следующий вид:
(5)
Рис.2 Один период трапециевидной гофры. Цилиндрические
координаты 
,
,
.
Запишем компоненты
электрического поля 
в цилиндрических координатах - ,
, (рис.2) через комплексные амплитуды
:
(6)
Для
нахождения проекции используем
уравнение Максвелла для комплексных амплитуд:
(7)
В
цилиндрических координатах выражение для ротора электрического поля 
имеет следующий вид:
(8)
Учитывая (7) и (2), для проекции получаем следующее уравнение:
и, следовательно, зависимость
импеданса ,
который определяется из соотношения (2), от угла :
(9)
Переходя к пределу 
и учитывая, что
а также соотношение:
,
получим для зависимости импеданса 
от угла для треугольной гофры:
В декартовых координатах выражение
для импеданса на
поверхности выражение
для импеданса будет
следующим:
Далее введем
понятие среднего импеданса 
на открытой части гофры и понятие среднего
импеданса 
на
периоде гофры .
Очевидно, что средний импеданс на периоде будет отличаться множителем 
от среднего импеданса
на открытой части гофры :
(10)
(11)
Тогда, учитывая уравнение (8) для среднего импеданса на периоде треугольной гофры получим следующее уравнение:
(12)
Общей формулой для среднего импеданса на периоде трапециевидной гофры будет следующее выражение, согласно формулам (10) и (11):
(13)
Рис.3
Треугольная гофра при 
Далее будем рассматривать
треугольную гофру при 
(рис.3).
Приравнивая
средний импеданс на периоде внутри гофры (формула (12)) импедансу поля вне
гофры (формула (2)) на границе гофры , получаем для величины 
в случае, когда :
(14)
Тогда коэффициент замедления 
равен:
,
или, учитывая (9):
(15)
В общем виде, когда 
:
(16)
Рассмотрим узкий треугольный профиль, когда период l мал по сравнению с глубиной гофры δ:
Для среднего значения импеданса получаем следующую формулу:
(17)
Или, переходя к пределу, 
, и учитывая, что
,
получим для среднего импеданса выражение:
(18)
Тогда для коэффициента замедления 
в
случае треугольной гофры получается следующая упрощенная формула:
(19)
Условием существования
поверхностной волны является требование 
. Следовательно, при 
вдоль гофры
может распространяться замедленная волна.
Для получения характеристик
медленной волны в прямоугольной бесконечной гофре на перейдем к пределу 
, 
при 
для импеданса на поверхности 
, получаем следующее
выражение:
Коэффициент замедления прямоугольной
гофрированной поверхности будет равен:
(20)
Отметим, что формула (20) совпадает с формулой, приведенной в [1].
Из формул (19) и (20) видно, что при одинаковых параметрах глубины 
,
параметра 
коэффициент замедления в
прямоугольной гофре больше. Коэффициент
замедления больше 1, т.е. гофра обладает
замедляющими свойствами.
Численное моделирование было основано на методе конечных элементов. Далее приведено сравнение численных и аналитических результатов для двумерных треугольной и прямоугольной гофрированных поверхностей.
На рис.4 и рис. 5 показано сравнение численных и аналитических значений коэффициента замедления, полученных для треугольной и прямоугольной гофры. Как видно, эти значения хорошо совпадают в большом диапазоне частот. На рис.4 штриховой линией показаны значения численного эксперимента, полученные для гофрированной поверхности конечной проводимости (медь).
Рис.4 Сравнение
результатов, полученных численным экспериментом в программе HFSS 8 и использованием аналитической формулы (17). Глубина
гофры 
, период
, .
Рис.5 Сравнение
результатов, полученных численным экспериментом в программе HFSS 8 и использованием аналитической формулы (22). Глубина
гофры , период
, 
.
В итоге,
· В работе получены аналитические формулы для расчета коэффициента замедления в трапециевидной гофрированной поверхности. В частном случае- случае прямоугольной гофрированной поверхности, полученные формулы совпадают с известными формулами, приведенными в литературе.
· Аналитически показано, что коэффициент замедления U для прямоугольного профиля гофра больше, чем для треугольного.
· Показано, что результаты расчета коэффициента замедления для двумерной гофрированной поверхности треугольного и прямоугольного профиля по аналитическим формулам хорошо совпадают с результатами численного исследования в большом диапазоне частот.
Список литературы
[1.] W. Rotman, “A study of Single-Surface Corrugated Guides,” Proc. IRE, 1951, vol. 39, Aug.,pp. 952-959.
[2.] Р.А.Силин, В.П. Сазонов ”Замедляющие системы”. Издательство “Советское радио”, 1966г.
[3.] Г.З. Айзенберг, В. Г. Ямпольский, О.Н.Терешин “Антенны УКВ”. ”Связь”, 1977 г.