Проведен сравнительный анализ приближённых выражений (приближений) для оценки качества оптимального по критерию Неймана-Пирсона обнаружения радиолокационных сигналов на фоне гауссова шума. Получены значения относительной погрешности приближений для трёх статистических моделей сигналов и шумов, используемых при синтезе РЛС, и различных уровней вероятности ложной тревоги. Приближения рекомендуется применять в случаях, когда не удаётся получить точные аналитические выражения для вероятности правильного обнаружения из-за невозможности отыскания законов распределения достаточной статистики.

При статистическом синтезе радиотехнических систем в качестве критерия эффективности используется, как правило, вероятность ошибки при принятии решения. Аналитические выражения для вероятности ошибки известны только в частных случаях [1,2,3], поэтому на практике для её вычисления часто применяют численные и экспериментальные методы [1]. Если, например, функция распределения вероятностей достаточной статистики (ДС) неизвестна, но есть возможность определить её характеристическую функцию, вероятность ошибки может быть определена численным методом [1]. Если же нет возможности определить характеристическую функцию ДС, прибегают к имитационному моделированию методом Монте-Карло. Численное решение и имитационное моделирование позволяют, в принципе, обеспечить сколь угодно высокую точность вычислений. Но применение этих методов затрудняет решение задачи оптимизации при синтезе радиотехнических систем, когда представляют интерес выражения для вероятности ошибки в замкнутой форме. В случае отсутствия последних отыскивают аналитические выражения для приближённой оценки вероятности ошибки [1,2].

Одним из методов построения приближений для вероятности ошибки является использование метрик (расстояний) пространства функций распределения вероятностей принимаемых сигналов. Поскольку для совокупности функций распределения вероятностей можно определить множество различных расстояний между ними [1,2,4,5], то и приближений для вероятности ошибки может быть множество. В [4] предложено приближение для вероятности правильного обнаружения (ВПО) на основе метрики вида:

где и – математические ожидания ДС (логарифма отношения правдоподобия) по гипотезам наличия сигнала и его отсутствия – . Значение ВПО для заданного уровня вероятности ложной тревоги (ВЛТ) оценивается величиной:

где определяется исходя из заданного уровня ВЛТ:

Это приближение отличается о других известных [1,2,5] простотой, совпадением с точными значениями ВПО в некоторых частных случаях и наличием оценки погрешности для общего случая. Однако, полученная в [4] оценка погрешности этого приближения свидетельствует лишь о соизмеримости точного и приближённого значений вероятности обнаружения сигнала, то есть является достаточно грубой. Установленная там же численными методами высокая точность приближения для частных статистических моделей сигналов и помех при обнаружении пространственно-протяжённых объектов (изображений) может объясняться "нормализацией" функций распределения вероятностей ДС при большом числе независимых отсчётов изображений.

В настоящей работе проведён сравнительный анализ свойств приближения (2) и других используемых на практике приближений для случая оптимальрого по критерию Неймана-Пирсона обнаружения одномерных случайных сигналов на фоне независимого аддитивного шума для типовых моделей радиолокационных сигналов и шумов [2]. Рассмотрены следующие модели сигналов и шумов, используемые при статистическом синтезе РЛС.

1. Гармонический сигнал со случайной начальной фазой и амплитудой, распределёнными соответственно по равномерному в интервале и релеевскому законам. Гауссов шум имеет диагональную ковариационную матрицу с одинаковыми значениями.
2. Гауссовы сигнал и шум имеют диагональные ковариационные матрицы с соответственно неодинаковыми и одинаковыми значениями и совпадающие векторы математических ожиданий.
3. Гауссовы сигнал и шум с экспоненциально коррелированными значениями и несовпадающими ковариационными матрицами и векторами математических ожиданий.

Для первой модели ДС (модульное значение корреляционного интеграла) имеет релеевскую плотность распределения, поэтому значение ВПО определялось аналитически [3]:

где – средняя энергия сигнала;

– спектральная плотность мощности шума.

Для второй модели известна характеристическая функция ДС [2], поэтому рассчитывалось численным методом по формуле [1]:

где – характеристическая функция по гипотезе ,

– пороговое значение , зависящее от :

где – характеристическая функция по гипотезе .

Для третьей модели затруднено определение как закона распределения ДС, так и её характеристической функции. Поэтому для расчёта применялось имитационное моделирование.

Приближение (2) сравнивалось с приближениями на основе аппроксимации законов распределения ДС нормальными законами, на основе расстояния Бхаттачария [1,2] и границами Чернова [2].

В случае аппроксимации законов распределения ДС нормальными законами требуются значения её математических ожиданий, а также среднеквадратических отклонений по обеим гипотезам – и . ВПО оценивалась величиной:

Оценка ВПО с применением расстояния Бхаттачария осуществлялась по формуле [5]:

где определяется в соответствии с (3), а определяется выражением [1,2]:

где и – функции правдоподобия входной реализации (колебания) по гипотезам и .

Границы Чернова рассчитывались по формуле [2]:

Параметр определялся из условия:

где – пороговое значение .

Результаты расчётов точных значений ВПО по формулам (4,5), приближений – по формулам (2,7,9,11) и результаты имитационного моделирования представлены на рис.1,2 и 3 (для первой, второй и третьей моделей) в виде зависимостей от параметра для различных уровней ВЛТ: а) , б) , в) . Зависимость изображена жирной сплошной, – штриховой, – пунктирной, – штрих-пунктирной, – тонкой сплошной линией. Параметр для первой модели определялся по формуле:

Для второй модели значение определялось из условия равенства вектора дисперсий входной реализации по гипотезе величине:

где и – векторы дисперсий сигнала с минимальным уровнем и шума.

Для третьей модели значение определялось из условия равенства вектора математических ожиданий входной реализации по гипотезе величине:

где и – векторы математических ожиданий сигнала с минимальным уровнем и шума.

Как следует из результатов расчётов приближение при для первой модели имеет значение относительной погрешности в зависимости от уровня ВЛТ. Аналогичные значения для второй модели – , для третьей – . С ростом погрешность приближения снижается и его значение совпадает с точным значением ВПО при для первой модели, – для второй и в зависимости от уровня ВЛТ – для третьей. При дальнейшем увеличении в рассматриваемых пределах погрешность не превышает для первой модели и – для второй и третьей моделей. Из представленных на рис. 1–3 зависимостей следует, что приближение имеет в целом более высокую точность в случае третьей модели. Это объясняется, в частности, тем, что в этом случае ДС может принимать любые действительные значения. Следовательно, её плотность распределения отлична от нуля также на всей действительной оси. Аналогичным свойством характеризуется принятая для приближённых расчётов нормальная плотность распределения. В моделях первой и второй ДС не обладает таким свойством. Её плотность определена только для неотрицательных значений ДС.

Погрешность приближения при для всех рассматриваемых случаев составляет , так как для указанного значение мало, а . Оценка оказывается завышенной, в частности, из-за того, что определённые для неотрицательных значений законы распределения ДС, имеющие место в случае первой и вторй моделей, характеризуются зависимостью математического ожидания от дисперсии, а в приближении математическое ожидание и дисперсия учитываются независимо друг от друга. С ростом погрешность снижается и на верхней границе рассматриваемого диапазона значений не превышает .

Сравнительный анализ приближений и показывает, что обладает большей точностью при , а – при в зависимости от модели и уровня ВЛТ, поэтому приближение может быть использовано, например, при оценке качества радиолокационного наблюдения на дальней границе зоны обнаружения, а – на ближней.

Приближение при и имеет погрешность для первой модели и – для второй. Для и величина в рассматриваемом диапазоне значений , а относительная погрешность на верхней границе этого диапазона составляет в зависимости от модели и уровня ВЛТ.

Как следует из анализа результатов расчётов, точность приближений с уменьшением в целом ухудшается.

Для третьей модели , и не рассмотрены, поскольку в этом случае аналитически определить дисперсии и производящие функции ДС, как правило, невозможно, следовательно, ценность этих приближений утрачивается.

Таким образом, для представленных моделей сигналов и шумов приближение обеспечивает точность оценки ВПО не хуже в зависимости от модели, уровня ВЛТ и отношения сигнал/шум и не уступает по точности другим рассмотренным приближениям, а в ряде случаев является более точным. При этом его простота позволяет проводить оценки в случаях, когда использование других приближений невозможно. Если точность приближения недостаточна, то для оценки характеристик качества приёмника должны применяться более точные методы исследований.

Авторы выражают благодарность ДТН В.Н. Поветко за критические замечания и рекомендации, способствовавшие выполнению работы и улучшению её содержания.

1. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979.
2. Ван Трис Г. Теория обнаружения оценок и модуляции. Пер. с англ. в 3-х томах, М.: Советское радио, 1972 (т.1).
3. Теоретические основы радиолокации. Под. ред. Ширмана Я. Д. М.: Советское радио, 1970.
4. Поветко В.Н. Приближённые характеристики качества обнаружения и различения сигналов на основе первых моментов логарифма отношения правдоподобия. Радиотехника, 2000, № 8.
5. Бычков А.А., Поветко В.Н., Понькин В.А. Эффективность обнаружения изображений пространственно-протяжённых объектов на фонах пятнистой структуры. Оптика атмосферы и океана, 1992, № 8.

Авторы:
Аносов Роман Сергеевич,
Аносов Сергей Сергеевич, e-mail: , serg-anosov@vmail.ru