"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 7 2001

оглавление

дискуссия

ПРОБЛЕМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЛНОВОДНЫХ МОД ПРИ НАЛИЧИИ ВХОДЯЩИХ РЕБЕР

На основе метода построения асимптотики решения эллиптических краевых задач вблизи угловой точки границы строится асимптотическое представление электромагнитного поля вблизи ребра в волноводе. Предлагаемый в настоящей работе подход к исследованию волноводных задач позволяет получить представление поля с точностью до членов произвольного порядка. На основе полученного представления доказывается сходимость приближенного решения, построенного методом конечных элементов, к точному решению и оценивается скорость этой сходимости.

Точные аналитические решения уравнений Максвелла для электромагнитного поля волновода могут быть получены лишь для некоторых простых профилей показателя преломления. Даже для относительно простого профиля получение выражения для векторных полей волноводных мод является весьма трудоемкой задачей, поэтому особенную актуальность приобретают численные методы моделирования данного класса волноведущих систем.

Наличие входящих углов в поперечном сечении волновода приводит к появлению особенностей в решениях краевых задач, что затрудняет применение численных методов, поскольку не удается получить высокий порядок аппроксимации решения. Одним из методов преодоления этой проблемы, как показано в §2 настоящей работы, является аддитивное выделение особенности вблизи ребра. При этом используется метод постоения асимптотики решения эллиптических краевых задач, впервые предложенный в работах В.А.Кондратьева [1].

§1 Асимптотическое представление электромагнитного поля волновода в окрестности ребра границы в случае поперечно неоднородного заполнения

Постановка задачи

При указанных условиях в работах [2,3] получена система уравнений для собственных векторов компонент поля {H_^,E_z} и собственных значений b² 

м  п  н  п  о    grad div H^ + k2eH^ + ikerot Ez = b2 H^    ik rot eH^ +div egrad Ez = b2 eEz    Hn |¶W = 0      Ez|¶W = 0,

(1)

где использованы обозначения

H^ = ixHx + iyHy = irHr + ijHj

 

div H^ =  ¶Hx  ¶x + ¶Hy  ¶y =  1  r   ¶  ¶r (rHr )+  1  r   ¶Hj  ¶j ,   rot H^ =  ¶Hy  ¶x - ¶Hx  ¶y =  1  r   ¶  ¶r (rHj )-  1  r   ¶Hr  ¶j ,   grad Ez = ix ¶Ez  ¶x + iy ¶Ez  ¶y = ir ¶Ez  ¶r + ij 1  r   ¶Ez  ¶j ,    rot Ez = ix ¶Ez  ¶y - iy ¶Ez  ¶x = ir 1  r   ¶Ez  ¶j - ij ¶Ez  ¶r .

В работе авторов [4] рассматривалась аналогичная задача при условии H_^ О (H¹(W))². Однако данное ограничение является слишком сильным и приводит к сужению класса решений [5]. Поскольку H_^О (H¹(W))², возникает вопрос о том, в каком смысле следует понимать граничное условие на H_^. Следуя [5], будем считать, что H_n|_¶W = 0 означает, что

(H^,Сy )L2(W) = -( div H^, y )L2(W)   "y О H1(W).

В работах [2,3] рассмотрен вопрос о поиске слабых решений задачи (1) в гильбертовом пространстве

W = H0(div)Е .  H    1    (W),

 

где H0(div) = {H^| H^ О (L2(W))2,  div H^ О L2(W),  Hn |¶W = 0 }

 

||H^||2H0(div) = ||H^||2(L2(W))2+||div H^||2L2(W)

С помощью слабой постановки задачи (1) показано, что данная задача порождает ограниченный оператор T: (L₂(W))³ ® W компактный в подпространстве V пространства W, выделяемом дополнительным условием 

rot H^ = -ikeEz

(2)

которое понимается в смысле обобщенных функций. Таким образом, спектр задачи (1), рассматриваемой в указанном пространстве, состоит из счетного множества возрастающих по модулю собственных значений.

Рассмотрим более общую задачу: систему уравнений (1) с произвольной правой частью f(x,y) = { f_^,f_z} О ( L₂(W) )³ в пространстве V. Используя вариационную постановку, на основании теоремы Лакса-Мильграма можно заключить, что при фиксированной правой части в пространстве W решение существует и единственно. Поскольку условие (2) является дополнительным условием, то для разрешимости задачи в пространстве V необходимо наложить некоторое ограничение на правую часть f(x,y) О ( L₂(W) )³ . Можно показать, что достаточным условием разрешимости задачи является условие 

rot f^(x,y) = -ik fz(x,y),

(3)

также понимаемое в смысле принадлежности H^-1(W). В дальнейшем будем предполагать, что условие (3) выполнено.

Следуя работе [6], покажем, что при достаточно гладкой диэлектрической проницаемости e(x,y) и правой части f(x,y) решение системы 

м  п  н  п  о    grad div H^ + k2eH^ + ikerot Ez = f^(x,y)    div egrad Ez-ik roteH^ = fz(x,y)

(4)

с дополнительным условием (2) является гладким вдали от угловой точки. Рассмотрим область Wў М W, ¶Wў О C^Ґ, граница ¶Wў может иметь непустое пересечение с ¶W. Для H_^ О L₂(W) внутри Wў справедливо представление [8]

H^ = grady+rotx, y О H1(Wў), x О  .  H    1    (Wў),

где

.  H    1    (Wў) = {h|  h О H1(Wў),  h|¶Wў = 0 }.

Из слабой формы уравнения (2)

ж  и  H^,rot ~  x    ц  ш  L2(W)  + ik ж  и  eEz, ~  x    ц  ш  L2(W)  = 0   " ~  x    О  .  H    1    (W)

следует

ж  и  rotx,rot ~  x    ц  ш  L2(Wў)  = -ik ж  и  eEz, ~  x    ц  ш  L2(Wў)     " ~  x    О  .  H    1    (Wў).

Поскольку E_z О H¹(Wў), то x О H³(Wў). Из слабой формы второго уравнения системы (4)

ж  и  egrad Ez,grad ~  E    z  ц  ш  L2(W)  = - ж  и  fz, ~  E    z  ц  ш  L2(W)  + ik ж  и  eH^,rot  ~  E    z  ц  ш  L2(W)  ,

примененной в Wў, вытекает, что E_z О H²(Wў). Рассмотрим также слабую форму первого уравнения системы (4)

ж  и  div H^,div  ~  H    ^  ц  ш  L2(W)  = - ж  и  f^, ~  H    ^  ц  ш  L2(W)  + ik ж  и  erot Ez, ~  H    ^  ц  ш  L2(W)  ,

отсюда вытекает

ж  и  div grad y,div  ~  H    ^  ц  ш  L2(Wў)  = - ж  и  f^, ~  H    ^  ц  ш  L2(Wў)  + ik ж  и  erot Ez, ~  H    ^  ц  ш  L2(Wў)  .

Следовательно y О H²(Wў), а H_^ О (H¹(Wў))². Повторяя несколько раз подобные рассуждения, можно получить (при условии f(x,y) О H^l-2(Wў)), что H_^ О (H^l(Wў))², E_z О H^l+1(Wў), то есть решение является гладким вдали от угловой точки.

Покажем, что rot eH_^ О L₂(W). Рассмотрим "x^~ О H^.1(W)
 

к  к  (roteH^, ~  x    ) к  к  =  к  к  (grade?H^+ erot H^, ~  x    ) к  к  Ј           Ј ||e||C1(W) м  н  о    к  к  (Hx, ~  x    ) к  к  + к  к  (Hy, ~  x    ) к  к  +  к  к  (rot H^, ~  x    ) к  к  ь  э  ю  Ј           Ј ||e||C1(W) м  н  о  ||H^||L2(W) ·|| ~  x    ||L2(W)+  к  к  k(eEz, ~  x    ) к  к  ь  э  ю  Ј           Ј ||e||C1(W){ ||H^||L2(W)+ |k| ·||e||C0(W) · ||Ez||L2(W)} || ~  x    ||L2(W)

Поскольку H^.1(W) плотно в L₂(W), а e О C¹(W), H_^ О (L₂(W))², E_z О H^.1(W), то отсюда вытекает, что rot eH_^ О L₂(W).

Перейдем к полярным координатам с центром в угловой точке. Перенося все неглавные члены в правую часть и обозначая их сумму через f, получим систему уравнений: 

м  п  п  п  п  п  п  п  п  н  п  п  п  п  п  п  п  п  о    ¶2 Hr  ¶r2 + 1  r   ¶Hr  ¶r +  1  r   ¶2 Hj  ¶r ¶j -  1  r2   ¶Hr  ¶j - 1  r2 Hr = fr(r,j)      1  r2   ¶2 Hj  ¶j2 +  1  r   ¶2 Hj  ¶j¶r +  1  r2   ¶Hr  ¶j = fj(r,j)      ¶2 Ez  ¶r2 + 1  r   ¶Ez  ¶r +  1  r2   ¶2 Ez  ¶j2 = fz(r,j)

(5)

с дополнительным условием

1  r   ¶  ¶r (rHj )-  1  r   ¶Hr  ¶j = -ikeEz є pz(r,j),

где f = {f_r,f_j,f_z} О (L₂(W))³, p_z О H^.1(W). При таком переобозначении правой части условие (3) перейдет в

rot f^ = 0,

которое также следует понимать в смысле обобщенных функций.

Решение задачи в бесконечном секторе

Рассмотрим систему (5) при правой части f = {f_r, f_j, f_z} О (V^l_g(K))³, p_z О V^l+1_g(K). Проведем замену переменных t = ln[1/r] и домножим каждое уравнение получившейся системы на e^-2t. Сектор K преобразуется в полосу Х = {t О (-Ґ,Ґ), 0 Ј j Ј w₀}. Система перейдет в следующую

м  п  п  п  п  п  п  п  п  н  п  п  п  п  п  п  п  п  о    ¶2 Hr  ¶t2 -  ¶2 Hj  ¶j¶r -  ¶Hj  ¶j2 -Hr = fr e-2t є Fr(t,j)     ¶2 Hj  ¶j2 -  ¶2 Hr  ¶j¶t +  ¶Hr  ¶j = fj e-2t є Fj(t,j)     ¶2 Ez  ¶t2 + ¶2 Ez  ¶j2 = fz e-2t є Fz(t,j)           - ¶Hj  ¶t +Hj- ¶Hr  ¶j = pz e-t є Pz(t,j)

Из принадлежности f = {f_r, f_j, f_z} О (V^l_g(K))³ вытекает ограниченность интегралов

у  х  Х    к  к  к  ¶i1+i2 Fi  ¶ti1 ¶ji2 к  к  к  2    e2(-g+l+1)tdtdj Ј C||fi||2Vlg(K),  i1+i2 Ј l,  i = {r,j,z}

 

у  х  Х    к  к  к  ¶i1+i2 Pz  ¶ti1 ¶ji2 к  к  к  2    e2(-g+l+1)tdtdj Ј C||pz||2Vl+1g(K),   i1+i2 Ј l+1

Сделаем преобразование Фурье по t

^  A    =  1    Ц 2p     Ґ  у  х  -Ґ  A(t,j)e-iltdt,  A = {Hr,Hj,Ez}

Тогда система и дополнительное условие примут вид 

м  п  п  п  п  п  п  п  п  п  п  п  п  н  п  п  п  п  п  п  п  п  п  п  п  п  о  -l2  ^  H    r  -il ¶ ^  H    j  ¶j -  ¶ ^  H    r  ¶j - ^  H    r  =  ^  F    r  (l,j)     ¶2  ^  H    j  ¶j2 - il ¶ ^  H    r  ¶j +  ¶ ^  H    r  ¶j =  ^  F    j  (l,j)   -l2  ^  E    z  + ¶2  ^  E    z  ¶j2 =  ^  F    z  (l,j)

(6)

(1-il) ^  H    j  - ¶ ^  H    r  ¶j =  ^  P    z  (l,j)

(7)

Для Фурье образов на основании свойств преобразования Фурье справедливы неравенства 

l  е  k = 0    Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih  |l|2k ||  ^  F    ||2Hl-k(0,w0)dl Ј C||f||2Vlg(K), h = -g+l+1

(8)

l+1  е  k = 0    Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih  |l|2k ||  ^  P    z  ||2Hl+1-k(0,w0)dl Ј C|| pz||2Vl+1g(K)

(9)

Домножим уравнения системы (6) на функции

yr = cos pn  w0 j,  yj = sin pn  w0 j,  yz = sin pn  w0 j, n = 0,1,2,...

и проинтегрируем их от 0 до w₀. Получившаяся система допускает явное построение решения (для нахождения H^{^}_^(l,j) используем дополнительное условие (7)) 

^  H    r  (l,j) = - 2  w0   Ґ  е  n = 0    1  1+dn0   (l+i) ^  F    c  rn  (l) - pn  w0 (l-i)  ^  P    s  z n  (l) (l-i) й  к  л  (l+i)2+  ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2    щ  ъ  ы    cos pn  w0 j     ^  H    j  (l,j) = - 2  w0   Ґ  е  n = 1    ^  F    s  jn  (l)- i(l+i) ^  P    s  z n  (l) (l+i)2+  ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2      sin pn  w0 j     ^  E    z  (l,j) = - 2  w0   Ґ  е  n = 1    ^  F    s  zn  (l) l2+  ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2      sin pn  w0 j,

(10)

где 

^  F    s  jn  (l) =  w0  у  х  0    ^  F    j  (l,j) sin pn  w0 jdj,  ^  F    c  rn  (l) =  w0  у  х  0    ^  F    r  (l,j) cos pn  w0 jdj,     ^  P    s  z n  (l) =  w0  у  х  0    ^  P    z  (l,j) sin pn  w0 jdj,  ^  F    s  z n  (l) =  w0  у  х  0    ^  F    z  (l,j) sin pn  w0 jdj.

(11)

Полюсы решения:

l1,2 = ±i pn  w0 , n = 1,2,...  для  ^  E    z  (l,j),   l3,4 = -i±i pn  w0 , n = 0,1,2,...,  l = i  для  ^  H    ^  (l,j)

Если на прямой Iml = -g+l+1 нет полюсов функции E^{^}_z(l,j), то справедливо неравенство

l+2  е  k = 0    Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih  |l|2k ||  ^  E    z  (l,j) ||2Hl+2-k(0,w0)dl Ј C|| fz(r,j)||2Vlg(K),

интеграл
 

Ez(t,j) =  1    Ц 2p     Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih    ^  E    z  (l,j)eiltdl

сходится и определяет функцию E_z(t,j) для которой справедлива оценка

у  х  Х    к  к  к  ¶i1+i2 Ez  ¶ti1 ¶ji2 к  к  к  2    e2(-g+l+1)tdtdj Ј C||fz(r,j)||2Vl+1g(K),   i1+i2 Ј l+2

Возвращаясь к переменным (r,j), получим функцию E_z(r,j) О V^l+2_g(K) такую, что 

||Ez(r,j)||Vl+2g(K) Ј C||fz||Vlg(K)

(12)

Получим теперь оценку для H^{^}_^(l,j) 

l+2  е  k = 0    Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih  |l|2k ||  ^  H    r  (l,j) ||2Hl+2-k(0,w0)dl Ј    Ј C  Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih    м  п  п  н  п  п  о  l+2  е  k = 0    Ґ  е  n = 1    |l|2k ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2(l+2-k)    |l+i|2  к  к  ^  F    c  rn  (l) к  к  2      |l-i|2 |(l+i)2+ ([(pn)/(w0)])2|2 +           + |l|2(l+2)· к  к  ^  F    c  r0  (l) к  к  2    |l-i|2|l+i|2 +          + l+2  е  k = 0    Ґ  е  n = 1    |l|2k ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2      ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2(l+2-k)    |(l+i)2+ ([(pn)/(w0)])2|2   к  к  ^  P    s  zn  (l) к  к  2    ь  п  п  э  п  п  ю  dl Ј    Ј C  Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih    м  н  о  l  е  k = 0  |l|2k Ґ  е  n = 1    ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2(l-k)      к  к  ^  F    c  rn  (l) к  к  2    +|l|2l  к  к  ^  F    c  r0  (l) к  к  2    ь  э  ю  dl+           + C  l+1  е  k = 0    Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih  |l|2k Ґ  е  n = 1    ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2(l+1-k)      к  к  ^  P    s  zn  (l) к  к  2    dl Ј    Ј C{||fr(r,j)||2Vlg(K)+ ||pz(r,j)||2Vl+1g(K)}

(13)

Аналогично для H^{^}_j(l,j) можно получить

l+2  е  k = 0    Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih  |l|2k ||  ^  H    j  (l,j) ||2Hl+2-k(0,w0) dl Ј C{||fj(r,j)||2Vlg(K)+ ||pz(r,j)||2Vl+1g(K)}.

Отсюда следует, что оценка для H^{^}_^(l,j) имеет вид

l+2  е  k = 0    Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih  |l|2k ||  ^  H    ^  (l,j) ||2Hl+2-k(0,w0) dl Ј C{||f^(r,j)||2Vlg(K)+ ||pz(r,j)||2Vl+1g(K)}.

В дальнейшем нам понадобится подобная оценка при h = 1 и h = -1. Покажем, что при l = i полюс в решении (10) отсутствует. Как уже упоминалось, мы рассматриваем задачу с правой частью, удовлетворяющей условию rot f_^ = 0. После замены переменных t = ln[1/r], переобозначения F_^ = e^-2tf_^, преобразования Фурье по t, разложения по тригонометрическим функциям данное условие примет вид 

(1+il) ^  F    s  jn  (l) =  pn  w0   ^  F    c  rn  (l),

(14)

где F^{^s}_jn(l), F^{^c}_rn(l) введены формулами (11). Отсюда вытекает, что если F^{^s}_jn(l) достаточно гладкая, то F^{^c}_rn(i) = 0 при n№0, поэтому в слагаемых n і 1 полюс при l = i отсутствует. Для обоснования отсутствия полюса при n = 0 наложим на функцию f_^(r,j) условие 

у  х  K    ж  з  и  f^(r,j),  м  н  о  1  r ,0 ь  э  ю  ц  ч  ш  dx = 0.

(15)

Рассмотрим

у  х  K    ж  з  и  f^(r,j),  м  н  о  1  r ,0 ь  э  ю  ц  ч  ш  dx =  у  х  K  fr(r,j) 1  r dx =  w0  у  х  0  dj Ґ  у  х  0  fr(r,j) dr =           =  w0  у  х  0  dj Ґ  у  х  -Ґ  Fr(t,j) et dt =  w0  у  х  0  dj Ґ  у  х  -Ґ  Fr(t,j) e-i lt dt к  к  l = i  =           =  Ц    2p      w0  у  х  0    ^  F    r  (i,j) dj =  Ц    2p      ^  F    c  r0  (i) = 0,

откуда и вытекает отсутствие полюса при l = i, n = 0.

Аналогично, для отсутствия полюса l = -i при n = 0 потребуем 

у  х  K  (f^(r,j), {r,0} )dx = 0.

(16)

(Для сходимости данного интеграла достаточно, чтобы f_^(r,j) О (V^l_l+2(K))²). В дальнейшем нас будут главным образом интересовать функции в правой части, для которых условия (15-16) являются естественными. Легко видеть, что

у  х  K  (f^(r,j), {r,0})dx =  у  х  K  fr(r,j)·r dx =  w0  у  х  0  dj  Ґ  у  х  0  fr(r,j)·r2 dr =           =  w0  у  х  0  dj  Ґ  у  х  -Ґ  Fr(t,j) e-t dt =  w0  у  х  0  dj  Ґ  у  х  -Ґ  Fr(t,j) e-ilt dt к  к  l = -i  =           =  Ц    2p      w0  у  х  0    ^  F    r  (-i,j)dj =  Ц    2p      ^  F    c  r0  (-i) = 0,

и полюс l = -i при n = 0 отсутствует. Оценим слагаемое (|l|^2(l+2)·|F^{^c}_r0(l)|²)/(|l-i|²|l+i|²) в сумме (13). При Re l® Ґ оно оценивается через

|l|2(l+2)· к  к  ^  F    c  r0  (l) к  к  2    |l-i|2|l+i|2 Ј C |l|2l к  к  ^  F    c  r0  (l) к  к  2    .

Покажем, что оно ограничено при l = -i при условии

f^ О (Vlg1(K))2З (Vlg2(K))2, g1 > l+2, g2 < l+2.

Пусть g₁ = l+2+d, g₂ = l+2-d. Из определения пространств V^l_g(K) следует

у  х  Х    к  к  к  ¶i1+i2 F^  ¶ti1 ¶ji2 к  к  к  2    e-2(1+d)tdtdj Ј C||f^||2Vll+2+d(K),  i1+i2 Ј l,      у  х  Х    к  к  к  ¶i1+i2 F^  ¶ti1 ¶ji2 к  к  к  2    e-2(1-d)tdtdj Ј C||f^||2Vll+2-d(K).

Из ограниченности данных интегралов на основании свойств преобразования Фурье вытекает, что F^{^}_^(l,j) аналитическая по l при -g₁+l+1 < Iml < -g₂+l+1, то есть в полосе -1-d < Im l < -1+d. В силу аналитичности F^{^c}_r0(l) представима в виде степенного ряда в окрестности точки l = -i. Из условия F^{^c}_r0(-i) = 0 вытекает равенство нулю нулевого члена ряда, поэтому выражение (|l|^2(l+2)·|F^{^c}_r0(l)|²)/(|l-i|²|l+i|²) ограничено при l = -i.

Из свойств преобразования Фурье, пространств V^l_g(K) и полученных оценок вытекает, что обратное преобразование

H^(t,j) =  1    Ц 2p     Ґ+ih  у  х  -Ґ+ih    ^  H    ^  (l,j)eiltdl

определяет вектор-функцию, для которой справедлива оценка

у  х  Х    к  к  к  ¶i1+i2 H^  ¶ti1 ¶ji2 к  к  к  2    e2(-g+l+1)tdtdj Ј C{||f^||2(Vlg(K))2+ ||pz||2Vl+1g(K)} ,  i1+i2 Ј l+2

Возвращаясь к исходным переменным, получим функцию H_^(r,j) О V^l+2_g(K) такую, что 

||H^(r,j)||(Vl+2g(K))2 Ј C{||f^||(Vlg(K))2+ ||pz||Vl+1g(K)}

(17)

Таким образом, справедлива следующая
 

Теорема 1 Пусть f = {f_r, f_j, f_z} О (V^l_g(K))³, p_z О V^l_g(K), на прямой Im l = h = l+1-g нет полюсов решения (10). Тогда существует единственное (в данном пространстве (V^l+2_g(K))³) решение {H_r,H_j,E_z} О (V^l+2_g(K))³, при этом справедливы оценки (12), (17). 

Построение асимптотики решения в бесконечном секторе

Применив теорему о вычетах для прямоугольного контура, ограниченного прямыми

Iml = hў1, Iml = hў2, Rel = ±N для  ^  H    ^  (l,j)    Iml = h1, Iml = h2, Rel = ±N для  ^  E    z  (l,j),

и, переходя к пределу при N ®Ґ, получим следующее представление решения:

H^(t,j) =  1    Ц 2p     Ґ+ihў1  у  х  -Ґ+ihў1  eilt  ^  H    ^  (l,j)dl =           =  1    Ц 2p     Ґ+ihў2  у  х  -Ґ+ihў2  eilt  ^  H    ^  (l,j)dl+  Ц    2p    i е  hў1 < Imln < hў2  Res  eilnt  ^  H    ^  (l,j) =           = В^(t,j)+  Ц    2p    i е  hў1 < Imln < hў2  Res  eilnt  ^  H    ^  (l,j)    Ez(t,j) =  1    Ц 2p     Ґ+ih2  у  х  -Ґ+ih2  eilt  ^  E    z  (l,j)dl+  Ц    2p    i е  h1 < Imln < h2  Res  eilnt  ^  E    z  (l,j) =           = Вz(t,j)+  Ц    2p    i е  h1 < Imln < h2  Res  eilnt  ^  E    z  (l,j)

Определим значения вычетов в точках l_n = -i+i[(pn)/(w₀)], n = 1,2,... , hў₁ < Im  l_n < hў₂

Hrn = - Ц    2p    ieilt 2  w0   (l+i) ^  F    c  rn  (l) - pn  w0 (l-i)  ^  P    s  z n  (l) (l-i) й  к  л  (l+i)+ i pn  w0 щ  ъ  ы    cos pn  w0 j  к  к  к  к  к  к  к  к  к  к          l = -i+i[(pn)/(w0)]  =    = - Ц    2p    ie(1-[(pn)/(w0)])t  м  п  п  н  п  п  о  ^  F    c  rn    ж  з  и  -i+i pn  w0 ц  ч  ш  pn-2w0 -  1  w0   ^  P    s  z n    ж  з  и  -i+i pn  w0 ц  ч  ш  ь  п  п  э  п  п  ю  cos pn  w0 j =    = r[(pn)/(w0)]-1 м  н  о  1  pn-2w0   Ґ  у  х  -Ґ  e([(pn)/(w0)]-1)tўdtў  w0  у  х  0  Fr(tў,x)cos pn  w0 x dx-          - 1  w0   Ґ  у  х  -Ґ  e([(pn)/(w0)]-1)tўdtў  w0  у  х  0  Pz(tў,x)sin pn  w0 x dx ь  э  ю  cos pn  w0 j =    = -r[(pn)/(w0)]-1 м  н  о  1  pn-2w0   Ґ  у  х  0  x1-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  fr(x,x)cos pn  w0 xdx-          - 1  w0   Ґ  у  х  0  x-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  pz(x,x)sin pn  w0 xdx  ь  э  ю  cos pn  w0 j

Аналогично для H_j

Hjn = - Ц    2p    ieilt 2  w0   ^  F    s  jn  (l) -i(l+i)  ^  P    s  z n  (l) (l+i)+ i pn  w0   sin pn  w0 j  к  к  к  к  к  к  к  к        l = -i+i[(pn)/(w0)]  =    = -r[(pn)/(w0)]-1 м  н  о  1  pn   Ґ  у  х  0  x1-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  fj(x,x) sin pn  w0 xdx+           + 1  w0   Ґ  у  х  0  x-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  pz(x,x)sin pn  w0 xdx  ь  э  ю  sin pn  w0 j

и для E_zn l_n = i[(pn)/(w₀)], n = 1,2,... , h₁ < Im  l_n < h₂
 

Ez n = - Ц    2p    ieilnt 2  w0   ^  F    s  z n  (ln) ln+i pn  w0   sin pn  w0 j  к  к  к  к  к  к  к  к        ln = i[(pn)/(w0)]  =    = -r[(pn)/(w0)] 1  pn   Ґ  у  х  0  x-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  fz(x,x) sin pn  w0 xdxsin pn  w0 j

Итак, мы получили, что справедлива

Теорема 2 Пусть f_^(r,j) О (V^l_gў1(K)ЗV^l_gў2(K))², rot f_^ = 0 , p_z О V^l+1_gў1(K)ЗV^l+1_gў2(K) , f_z О V^l_g1(K)ЗV^l_g2(K) , gў₁ > gў₂, g₁ > g₂, на прямых Im l = hў₁ = -gў₁+l+1, hў₂ = -gў₂+l+1 нет полюсов вектор-функции H_^(l,j) из (10), на прямых Im l = h₁ = -g₁+l+1, h₂ = -g₂+l+1 нет полюсов функции E_z(l,j) из (10). Тогда для решения задачи (5) в любой конечной окрестности угловой точки справедливо следующее представление

Hr (r,j) =  е  hў1 < [(pn)/(w0)]-1 < hў2  A(r)n r[(pn)/(w0)]-1 cos pn  w0 j+Вr(r,j)    Hj (r,j) =  е  hў1 < [(pn)/(w0)]-1 < hў2  A(j)n r[(pn)/(w0)]-1 sin pn  w0 j+Вj (r,j)    Ez(r,j) =  е  h1 < [(pn)/(w0)] < h2  An(z) r[(pn)/(w0)] sin pn  w0 j+Вz(r,j)    где В^ О (Vl+2gў2(K))2,  Вz О Vl+2g2(K),

коэффициенты A_n определяются по формулам

A(r)n = - м  н  о  1  pn-2w0   Ґ  у  х  0  x1-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  fr(x,x)cos pn  w0 xdx-           - 1  w0   Ґ  у  х  0  x-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  pz(x,x)sin pn  w0 xdx  ь  э  ю      A(j)n = - м  н  о  1  pn   Ґ  у  х  0  x1-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  fj(x,x)sin pn  w0 xdx+          + 1  w0   Ґ  у  х  0  x-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  pz(x,x)sin pn  w0 xdx  ь  э  ю      A(z)n = - 1  pn   Ґ  у  х  0  x-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  fz(x,x)sin pn  w0 xdx.

 
 

Получим теперь оценку построенного решения через правую часть системы (5). Используя выражение (14) при l = -i+i[(pn)/(w₀)], найдем
 

(2w0-pn) ^  F    s  jn  = pn  ^  F    c  r n  .

Отсюда вытекает, что

1  pn-2w0   Ґ  у  х  0  x1-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  fr(x,x)cos pn  w0 xdx =           = - 1  pn   Ґ  у  х  0  x1-[(pn)/(w0)]xdx  w0  у  х  0  fj(x,x)sin pn  w0 xdx,

откуда следует A^(j)_n = -A^(r)_n.

Оценим ||div H_^||²_Vl+1_g(K) при g№ l. Обозначим D(r,j) = div H_^. Из первых двух уравнений системы (5) вытекает
 

м  п  п  п  п  п  н  п  п  п  п  п  о    ¶  ¶r D(r,j) = fr      1  r   ¶  ¶j D(r,j) = fj

Проведя замену переменных t = [1/r], домножая на e^-t, вводя функции Fў_^(t,j) = f_^e^-t, получим

м  п  п  п  п  п  н  п  п  п  п  п  о    ¶  ¶t D(t,j) = Fўr      ¶  ¶j D(t,j) = Fўj

Для Fў_^(t,j) справедлива оценка

у  х  Х    к  к  к  ¶i1+i2 Fў^  ¶ti1 ¶ji2 к  к  к  2    e2(-g+l)tdtdj Ј C||f^||2(Vlg(K))2,  i1+i2 Ј l

Сделаем преобразование Фурье по t. Система примет вид

м  п  п  п  п  н  п  п  п  п  о  -il ^  D    (l,j) =  ^  F    ўr(l,j)      ¶  ¶j   ^  D    (l,j) =  ^  F    ўj(l,j),

для F^{^}ў_^(l,j) справедлива оценка 

l  е  k = 0    Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў  |l|2k ||  ^  Fў    ^  (l,j) ||2Hl-k(0,w0) dl Ј C||f^(r,j)||2Vlg(K),    hўў = -g+l

(18)

Домножим уравнения на функции y_r = cos[(pn)/(w₀)]j, y_j = sin[(pn)/(w₀)]j, n = 0,1,... и, интегрируя по j от нуля до w₀, получим

м  п  п  п  п  н  п  п  п  п  о  -il ^  D    c  n  (l) =  ^  F    ўcrn(l)    - pn  w0   ^  D    c  n  (l) =  ^  F    ўsjn(l),

где D^{^c}_n(l) = т₀^w0D^{^}(l,j) cos[(pn)/(w₀)]jdj, F^{^}ў^c_rn(l) , F^{^}ў^s_jn(l) определяются аналогично F^{^c}_rn(l) , F^{^s}_jn(l). Складывая уравнения полученной системы, получаем для D^{^}(l,j) следующее представление

^  D    (l,j) = - 2  w0(1+dn0)   Ґ  е  n = 0    ^  F    ўcrn(l)+ ^  F    ўsjn(l) il+ pn  w0 j   cos pn  w0 j

Отсюда, используя оценку (18), получаем

l+1  е  k = 0    Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў  |l|2k ||  ^  D    ^  (l,j) ||2Hl+1-k(0,w0) dl Ј    Ј  l+1  е  k = 0    Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў    Ґ  е  n = 1    |l|2k ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2(l+1-k)      к  к  ^  F    ўcrn(l)+ ^  F    ўsjn(l) к  к  2        к  к  к  il+ pn  w0 к  к  к  2      dl+           +  Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў    |l|2(l+1) к  к  ^  F    ўcr0(l) к  к  2    |l|2 dl Ј    Ј  l  е  k = 0    Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў    Ґ  е  n = 1    |l|2k ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2(l+1-k)      к  к  ^  F    ўcrn(l)+ ^  F    ўsjn(l) к  к  2        к  к  к  il+ pn  w0 к  к  к  2      dl+    +  Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў    Ґ  е  n = 1    |l|2(l+1)  к  к  ^  F    ўcrn(l)+ ^  F    ўsjn(l) к  к  2      к  к  к  il+ pn  w0 к  к  к  2      dl+  Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў    |l|2(l+1) к  к  ^  F    ўcr0(l) к  к  2    |l|2 dl Ј    Ј C l  е  k = 0    Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў    Ґ  е  n = 1  |l|2k  ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2(l-k)      м  н  о  к  к  ^  F    ўcrn(l) к  к  2    +  к  к  ^  F    ўsjn(l) к  к  2    ь  э  ю  dl+    + C Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў    Ґ  е  n = 1  |l|2l  м  н  о  к  к  ^  F    ўcrn(l) к  к  2    +  к  к  ^  F    ўsjn(l) к  к  2    ь  э  ю  dl+  Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў  |l|2l  к  к  ^  F    ўcr0(l) к  к  2    dl Ј    Ј C l  е  k = 0    Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў    Ґ  е  n = 1  |l|2k  ж  з  и  pn  w0 ц  ч  ш  2(l-k)      м  н  о  к  к  ^  F    ўcrn(l) к  к  2    +  к  к  ^  F    ўsjn(l) к  к  2    ь  э  ю  dl+          + Ґ+ihўў  у  х  -Ґ+ihўў  |l|2l  к  к  ^  F    ўcr0(l) к  к  2    dl Ј C||f^(r,j)||2(Vlg(K))2.

Поэтому

у  х  Х    к  к  к  ¶i1+i2 D  ¶ti1 ¶ji2 к  к  к  2    e2(-g+l)tdtdj Ј C||f^||2(Vlg(K))2,  i1+i2 Ј l+1.

Возвращаясь к переменным (r,j), получаем окончательную оценку 

||div H^||2Vl+1g(K) Ј C||f^||2(Vlg(K))2.

(19)