УДК 621.391
УВЕЛИЧЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
С. А. Останин
Алтайский государственный университет, г. Барнаул
Получена 30 ноября 2011 г.
Аннотация. В работе предложен метод увеличения отношения сигнал/шум сигнала основанный на последовательном вычислении автокорреляционной функции. Метод позволяет повысить отношение сигнал/шум гармонических и периодических негармонических сигналов. Приведены результаты работы обнаружителя сигнала построенного с использованием LabVIEW.
Ключевые слова: обнаружение слабых сигналов, автокорреляционный анализ.
Abstract. In this paper we propose a method of increasing the signal / noise signal based on the sequential calculation of the autocorrelation function. The method allows to improve the signal / noise ratio of harmonic and periodic non-harmonic signals. The results of the detector signal is constructed using LabVIEW.
Keywords: detection of low signals, autocorrelation analysis.
Для обнаружения слабых сигналов в аддитивной смеси с шумом используют, например, корреляционные методы анализа сигнала [1]. В частности, при измерении частоты доплеровских сигналов лазерных анемометров, для оценки скорости движения частиц аэрозоля, с целью увеличения отношения сигнал/шум вычисляют автокорреляционную функцию сигнала [2-3]. Поступающий с фотоприемного устройства сигнал проходит через фильтр высоких частот и при этом теряет постоянную составляющую. Частоту среза выбирают заведомо ниже минимально возможной частоты доплеровского сигнала с тем, чтобы не потерять информацию о скорости движения отражающих объектов. Процессор вычисляет автокорреляционную функцию доплеровского сигнала и по периоду этой функции судят о частоте доплеровского сигнала. Увеличение отношения сигнал/шум зависит, в том числе от длительности сигнала. В тех случаях, когда длительности сигнала увеличить не представляется возможным (например, доплеровские сигналы лазерных анемометров), возникает проблема поиска альтернативных методов повышения отношения сигнал/шум.
Для обнаружения и анализа сигналов такого рода предлагается использовать метод последовательного вычисления автокорреляционной функции, заключающийся в том, что после вычисления автокорреляционной функции исходного сигнала вычисляется автокорреляционная функция от автокорреляционной функции и так далее. При этом отношение с/ш растет от итерации к итерации. Процесс повторяется до тех пор, пока отношение с/ш становится достаточным для определения частоты доплеровского сигнала.
Рассмотрим применение метода для повышения отношения с/ш для гармонического сигнала. Пусть исходный сигнал x(t) представляет собой аддитивную смесь периодического детерминированного сигнала s(t) и шума n(t), являющегося стационарным процессом второго порядка:
Дополнительно предположим, что функции s(t) и n(t) – центрированы. Автокорреляционная функция для сигнала x(t), по определению, вычисляется следующим образом:
.
Отсюда, оценка автокорреляционной функции, в силу дистрибутивности корреляционного оператора, есть
.
При условии независимости сигнала s(t) от шума n(t),
корреляционные функции 
и 
тождественно
равны нулю с точностью до погрешностей оценок, обусловленных конечным временем
интегрирования. Автокорреляционная функция шума 
стремится к нулю с возрастанием
задержки 
и для достаточно больших значений,
больших по модулю некоторого времени задержки 
, =0. Значение 
,
начиная с которого автокорреляционную функцию 
можно
положить равной нулю, зависит от характеристик шума, в частности, от его
спектральной плотности: чем шире полоса частот шума при заданной полной
мощности, тем быстрее убывает автокорреляционная функция. И так,
, (2)
где ошибка 
тем
меньше, чем больше время интегрирования Т. Фурье-образ
автокорреляционной функции 
представляет собой спектр мощности и поэтому равен квадрату
Фурье-образа самой функции s(t). А это значит, что автокорреляционная функция содержит все
частоты функции s(t), и только эти частоты. Если, например, x(t) –
сигнал фотоприемника доплеровского анемометра, то частота сигнала равна частоте
его автокорреляционной функции . Если обозначить
отношение с/ш до вычисления автокорреляции Rе,
а после вычисления – Rs , то увеличение отношения с/ш по
мощности, для гармонического сигнала s(t) определяется [2] формулой:
G = Rs / Rе ≈ 2ТВ / (2+1/Rе) .
Если Rе<< 1 , то
G = Rs / Rе ≈ 2ТВRе , (3)
Rs ≈ 2ТВR2е . (4)
Далее, введем обозначения
(5)
поскольку периодическая составляющая
содержится в функции 
, а шум – в функции 
. Функция ,
также как и 
, является центрированной случайной
стационарной функцией, отличающейся от тем,
что имеет меньшую дисперсию. Следовательно, можно вычислить автокорреляционную
функцию еще раз, теперь уже от функции 
. В
результате получим функцию 
, которая содержит все
частоты исходной функции 
, но имеет более
высокое отношение с/ш. Определим увеличение отношения с/ш для второй
автокорреляционной функции . С учетом обозначений
(5), соотношение (4) описывающее новое отношение с/ш, вычисленное в
соответствии с методикой, изложенной в [4], примет вид
.
Увеличение отношения с/ш по мощности будет равно
при сравнении функций и . Если
сравнивать отношение с/ш 
функции и отношение с/ш 
исходной
функции x(t), то
увеличение отношения с/ш по мощности будет равно
Если процедуру последовательного
переобозначения и вычисления автокорреляционной функции осуществлять N раз, то отношение с/ш возрастет
соответственно в 
раз по мощности
, (6)
где R0 º Re , RN – отношение с/ш, вычисленное для автокорреляционной функции, имеющей номер N в ряду последовательно вычисленных автокорреляционных функций, а отношение с/ш для итерации с номером N
. (7)
На рисунке 1 представлена зависимость отношения с/ш (RN) от количества процедур вычисления автокорреляционных функций N для произвольно выбранных исходных отношений с/ш (Re), Т, В. Численные эксперименты по определению зависимости RN от количества процедур, выполненные в среде LabVIEW и выражение (7) дают практически одинаковый результат (коэффициент вариации составляет величину 0,01).
Рис. 1. Зависимость отношения с/ш RN от количества процедур вычисления автокорреляционных функций N.
На рисунке 2а представлен фрагмент
исходного сигнала вида (1) с отношением сигнал/шум 
, нормированная
автокорреляционная функция сигнала (2б), спектр сигнала (2в) и
спектр автокорреляционной функции (2г).
а б
в г
д е
ж з
Рис. 2. а – исходный сигнал с
отношением 
,
б – автокорреляционная функция сигнала, в – спектр сигнала, г – спектр автокорреляционной функции сигнала, д, е – вторая и пятая автокорреляционная функция, ж, з – их спектры.
Численно моделированный в среде LabVIEW
сигнал содержал 105 дискретных значений, 
,
длительность – 1с. Как видно из рисунка, при таком низком отношении с/ш
обнаружить детерминированную компоненту сигнала s(t) в смеси с шумом по автокорреляционной
функции практически невозможно. Спектры второй (рисунок 2ж) и пятой
(рисунок 2з) автокорреляционных функций содержат указанную гармонику,
причем наблюдается рост отношения с/ш в каждой последующей автокорреляционной
функции.
Рассмотрим другой случай, когда исходный сигнал x(t) представляет собой аддитивную смесь периодического, но не гармонического детерминированного сигнала s(t) и шума n(t), являющегося стационарным процессом второго порядка:
,
где k – количество гармоник сигнала s(t).
Оценка автокорреляционной функции, как и прежде, имеет вид
,
здесь
,
Сделаем ее оценку 
:
. (8)
Выражение (8) содержит слагаемые
,
а б
в г
д е
ж з
Рис. 3. а – исходный сигнал с
отношением 
,
б – автокорреляционная функция сигнала, в – спектр сигнала, г – спектр автокорреляционной функции сигнала, д, е – вторая и пятая автокорреляционная функция, ж, з – их спектры.
,
,
которые стремятся с нулю, с ростом Т и
. (9)
При 
(
), слагаемые в (9) стремятся к нулю, а при
(
,
) 
. Это
означает, что спектры всех вычисляемых автокорреляционных функций от
периодических негармонических сигналов содержат только гармоники сигнала 
.
На рисунке 3 проиллюстрированы результаты
использования предложенного метода полученные с использованием LabVIEW. Сигнал
представлял собой суперпозицию трех
гармоник с частотами 2кГц, 6кГц, 8кГц. Отношение сигнал/шум модельного сигнала,
для гармоники 2кГц 
. Из рисунка видно, что с
увеличением количества вычисляемых автокорреляционных функций отношение
сигнал/шум увеличивается. На рисунке 3е (пятая автокорреляционная
функция) визуально можно обнаружить только низшую гармонику сигнала, однако
спектр автокорреляционной функции (рисунок 3з) позволяет надежно
обнаруживать все гармоники исходного сигнала .
Таким образом, показана возможность повышения отношения сигнал/шум слабых гармонических и негармонических периодических сигналов в случае, если для исследования предоставлена только одна реализация сигнала и не существует возможности увеличить длительность сигнала каким-либо образом.
Литература
1. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. / Пер.с англ. - М., Советское радио, 1972. - Т.1.
2. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. – М.: Мир, 1983 – Т.1,2.
3. С.Д. Бураков, А.П. Годлевский, С.А. Останин Определение микрофизических параметров аэрозоля приемопередатчиком на основе твердотельного лазера // Оптика атмосферы.– 1989.– №2.– С. 206-210