Боголюбов А. Н. , Малых М. Д.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ВЛОЖЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВОЛНОВОДА.
УДК 517.958; 621.372.8
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ВЛОЖЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВОЛНОВОДА.
А. Н. Боголюбов, М. Д. Малых
119899 Москва, Воробьевы горы, МГУ, физич. ф-т, каф. математики;
malykham@mtu-net.ru
Задача о возбуждении колебаний током
в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом,
сведена к интегральному уравнению.
Доказано, что собственным и присоединенным функциям этого уравнения
соответствуют собственные и присоединенные функции исходной задачи.
Показано, что вложенные в непрерывный спектр cобственные значения
переходят в комплексные резонансы при малом
вещественном возмущении заполнения, хотя они в первом порядке теории
возмущений остаются вещественными.
Уравнение Du + lqu = f является модельным для
описания колебания электромагнитного
поля, возбужденные током f, в неограниченной области W,
например, волноводе, заполненном неоднородным веществом, характеризуемым
функцией q. Будем далее всюду предполагать, что носители f и q-1
ограничены.
Говорят, что значения l, для которых существует
нетривиальное решение
спектральной задачи
|
м п н
п о
|
Du + lq(x,y) u = 0, (x,y) О W, l = k2 |
|
|
|
|
| (1) |
принадлежит спектру. Если же, для этого решения
|
у х W
|
С2 u dt < Ґ и |
у х W
|
u2 qdt < Ґ, |
|
то есть u О W 21(W),
тогда энергия, связанная с колебаниями, ограничена, и говорят, что
l - точка точечного спектра или собственное значение. Число
независимых решений в случае,
когда l - собственное значение, называют кратностью. С
физической точки зрения такие поля u(x,y) представляют собой стоячие
волны, не переносящие энергию. Большая часть энергии таких волн
сосредоточена в конечной области, в ''ловушке'', поэтому их называют
еще ловушечными модами. Если же энергия
колебаний не ограничена так, что выписанные выше интегралы расходятся,
то говорят, что l - точка непрерывного спектра.
При возбуждении колебаний явление
резонанса имеет место в точках точечного спектра, а в точках
непрерывного спектра имеет место излучение и часто можно доказать, что
существует только одно решение, если добавить условия излучения.
Это обстоятельство придает особую важность исследованию точечного
спектра.
Хотя к настоящему моменту известны примеры волноведущих систем,
обладающих вложенными ловушечными модами (вложенными в непрерывный
спектр собственными значениями) [1]-[6],
необходимые условия появления вложенных мод
остается неясными. Поэтому, как отмечалось в [3],[6],
целесообразно
изучить малые возмущения параметров волноведущих систем, обладающих
ловушечными модами, и выяснить, сохраняются ли при этом эти моды или
уходят в комплексные резонансы.
К сожалению, для вложенных собственных
значений не создано столь исчерпывающей теории возмущений как для
изолированных, потому разрешение этого вопроса требует некоторых
усилий: так, например, для применения теории возмущений, развитой в
[7]-[9], требуется построить
резольвенту невозмущенной задачи, поскольку
в этих работах при помощи резольвенты невозмущенной задачи сводят
исходную задачу на собственные значения к виду
где A(l) - компактный оператор, а уже затем к этой задаче
применяют различные теоремы, связанные с теорией определителей
Фредгольма.
Однако при доказательстве существования решения у
задачи о возбуждении током колебаний в волноводе исходная задача уже
была сведена к виду, весьма схожему с (2) ([10] и
[11]). Поэтому вместо того, чтобы строить резольвенту
невозмущенной задачи, далее можно воспользоваться
этими результатами. Только их следует несколько уточнить, поскольку,
во-первых, в этих работах речь шла о бесконечно гладких решениях, а не об
обобщенных, и, во-вторых, поскольку не было доказано, что кратность
собственного значения исходной задачи совпадает с кратностью
собственного значения задачи (2).
В этой работе мы изучим поведение вложенных мод цилиндрического
волновода с локально неоднородным заполнением, поскольку в этом случае
формальное применение теории возмущений, как отмечалось в [6],
указывает на то, что вложенные собственные значения уходят в
комплексные резонансы.
1 Постановка задачи.
Рассмотрим волновод
сечения S, представляющего собой односвязную конечную область в
R1 или R2. Пусть он заполнен неоднородным веществом,
которое характеризуется кусочно-непрерывным заполнением q(x,y). Будем
считать, что эта неоднородность локальная, то есть, что
Suppq(x,y) М Wў = S Д[a, b] |
|
Задачу о возбуждении колебаний током f, локализованным в Wў,
можно поставить так
|
м п н
п о
|
Du + lq(x,y) u = f, Suppf М Wў |
|
|
|
|
| (3) |
(Решение этой задачи не единственно, так как пока на u не наложены
никакие условия излучения.)
За обобщенную постановку задачи (3) естественно принять
(Dw, u)L2(W)+ l(w, q u) L2(W) = (w, f)L2(W) "w О CҐ0(W) |
|
В [4] было показано, что если
и q0(x) -1 і 0, то у задачи (3) имеется собственная
функция u0 (x,y), отвечающая вложенному собственному значению
e0 .
Попытаемся выяснить, сохраниться ли оно, если мы возмутим это
заполнение
q(x,y) = q0(x) + eq1(x,y) |
|
где q1 - вещественная функция, а e характеризует
малость возмущения.
2 Резольвента регулярного волновода.
Так как резольвента данной задачи не единственна, то выясним сначала
ее поведение в простейшем случае полого волновода. В этом случае
методом разделения переменных ее можно явно построить, то есть
показать, что задача
([D+ l] w, u )L2(W) = (w, v)L2(W) "w О CҐ0(W) |
| (4) |
имеет единственное решение u = R0(l) v, удовлетворяющее
парциальным условиям излучения в соответствии с определением:
Определение 1
Пусть an2 - собственные значения задачи Дирихле на сечении S.
Если при x > b имеет место представление
u = |
е
| |
Cmўў
2 gm (l)
|
ei gm (l) x, |
|
где gn(l) = Ц{l-an2},
и аналогичное при x < a, то есть при больших x поле u
представляет собой суперпозицию волн
бегущих от источника и к источнику, то говорят, что u удовлетворяет
(парциальным) условиям излучения. Поскольку с физической точки зрения
при возбуждении поля u током f волны должны бежать от источника,
говорят, что u удовлетворяет физическим или главным условиям
излучения, если в этой формуле стоят только главные значения корней
gn, то есть такие, что при l not О (a2n, +Ґ) верно
неравенство
а при l О (a2n, +Ґ) -
Если конечное число корней имеет побочное значение, то и условия
излучения называют побочными.
Предположим, что задача (4) имеет обобщенное
решение
u(x,y) О W 21(W) при данном l. Заметим, что его можно
разложить в сходящийся по норме ряд по собственным
функциям задачи
на сечении S, предварительно перенумеровав собственные значения этой
задачи
(так называемые квадраты частот отсечки) в порядке возрастания.
Подставим тогда в (4) ряд
и получим
Решение этого уравнения при помощи функции Грина можно представить в
виде:
um(x) = |
i
2 gm (l)
|
|
Ґ у х -Ґ
|
d xei gm (l) |x-x| vm(x) + Cm ei gm (l) x +Cmўe- i gm (l) x , |
| (7) |
где значение корня gn (l) 2 = l- a2n
может быть как главным так и побочным. [13]
При x > b имеет место представление
u = |
е
| |
Cmўў
2 gm (l)
|
ei gm (l) x + Cm ei gm (l) x +Cmўe- i gm (l) x |
| (8) |
и аналогично при x < a
u = |
е
| |
Cmўўў
2 gm (l)
|
e- i gm (l) x + Cm ei gm (l) x +Cmўe- i gm (l) x, |
| (9) |
то есть при больших x поле u представляет собой суперпозицию волн
бегущих от источника, к источнику и плоских волн, бегущих вдоль
волновода. С физической точки зрения при возбуждении поля u током v
волны должны бежать от источника. Это условие означает, что в формуле
(8), а значит и в (7), коэффициент Cm должен
быть равен нулю, корень gn принимает только главные значения,
то есть такие, что при l not О (a2n, +Ґ) верно
неравенство
а при l О (a2n, +Ґ) -
По тем же причинам, в формуле (9), а значит и в исходной
формуле (7), следует взять Cўm=0.
В дальнейшим, однако, возникнет необходимость рассматривать случаи,
когда конечное число из корней gn имеет побочное значение,
тогда условимся говорить, что определенная по формулам (6)-
(7) функция u удовлетворяет побочным условиям излучения.
Итак, удовлетворяющее главным или побочным условиям излучения решение
задачи (4), если оно вообще
существует, имеет вид
где
R0(l)= |
Ґ е
n=1
|
|
i
2 gn (l)
|
|
Ґ у х -Ґ
|
dxei gn (l) |x-x| (yn, . ) yn (y) |
| (10) |
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 1
Пусть v О L2(Wў) и в формуле (10) все корни
gn(l), начиная с
некоторого n, имеют главное значение. Тогда
ряд для R0(l)v
сходится по норме W 21(W) и является обобщенным решением задачи
(4).
Более того, в этом случае
в окрестности любой точки l0 not
= a2n, найдется такое N, что N-ый остаток R0N ряда для
R0(l) принадлежит L(L2(Wў), W 21(W)) и
регулярен там.
Замечание 1
Запись A О L(E, F) означает, что
оператор A является ограниченным оператором, переводящим банахово
пространство E в подмножество банахова пространства F.
[14]
Замечание 2
В [2], [11] разбирался случай, когда v О CҐ0(W). В работе [2] указано, что ряд для
R0 v при физическом выборе корней сходится равномерно в норме С,
если v О CҐ0(W) и поэтому является классическим
решением задачи (4).
Пусть l принадлежат достаточно малой окрестности l0.
По условию значения gn(l) становятся главными, начиная с
некоторого номера, тогда найдется столь большое N, что
Бgn(l) > 0 при n і N. Но любая функция v О L2(Wў) может быть
представлена в виде
v(x,y) = |
N-1 е
n=1
|
(yn, v)L2(S) yn (y) + vў, |
|
где vў - функция, ортогональная к y1, ... yN-1.
Подстановка
u = |
N-1 е
n=1
|
|
i
2 gn (l)
|
|
Ґ у х -Ґ
|
ei gn (l) |x-x| (yn, v(x, h)) yn (y) + uў, |
|
приводит к задаче
([D+ l] wў, uў)L2(W) = (wў, vў)L2
(W) "wў О CҐ0(W) |
| (11) |
У этой задачи существует решение из W 21(W).
В самом деле, в силу теоремы Рисса [15],[16] задача
(11)
в пространстве
{ u О W 21(W) : (u, yn) = 0, n=1, ..., N-1 } |
|
имеет вид
где A О L (W 21(W), W 21(W)) и
H О L(L2(W), W 21(W))
- ограниченные эрмитовы операторы, причем для любой w О W 21(W)
(w, H v)W21=(w,v)L2 Ј ||w||L2||v||L2 |
|
и поскольку ||w||2L2 Ј 4 (diam S)2 ||w||2W21
(см. [17]), получается, что
При неположительных l0 существует резольвента (E+lA)-1, регулярная в окрестности точки l0. Поэтому
справедлива оценка
(w, (E+lA)-1 H v)W21 Ј h ||(E+lA)-1||W21 ||v||L2 ||w||W21 |
|
Это означает, что в окрестности точки l0
(E+lA)-1 H О L (L2(Wў), W 21(W)) |
|
Поэтому в этой окрестности существует решение последней задачи, именно:
а значит, и решение задачи (4), которое, следовательно, имеет
вид
u = |
N-1 е
n=1
|
|
i
2 gn (l)
|
|
Ґ у х -Ґ
|
ei gn (l) |x-x| (yn, v(x, h)) yn (y) + (E+lA)-1 H vў. |
|
С другой стороны по доказанному оно представимо в виде R0 v, поэтому
и следовательно, этот остаток является регулярной в окрестности
l0 оператор функцией, принадлежащей L (L2(Wў), W 21(W)).
Если же a2N > l0 > 0, то отсюда следует, что у задачи
(4) имеются решения при l0 + 0i и l0 - 0i, и
они стремятся друг к другу. Поэтому непрерывный спектр A начинается с
a2N, а собственных значений у него нет. (Ср. [1])
Значит, и при таких l0 опять существует резольвента
(E+lA)-1, регулярная в окрестности точки l0.
Повторяя сказанное выше про комплексные l0, видим, что опять
R0N (l) = (E+lA)-1 H О L(L2(Wў), W 21(W)) |
|
3 Сведение исходной задачи к интегральному уравнению.
Предыдущая теорема означает, что резольвента полого волновода является
регулярной аналитической функцией на римановой поверхности F с
точками ветвления a2n. Весьма замечательно, что ту же риманову
поверхность можно взять и для резольвенты исходной задачи.
В самом деле, пусть v О L2(Wў) удовлетворяет задаче
v - A(l) v = f, где A(l)=- l(q-1) R0 (l) |
| (12) |
(здесь и далее под l подразумевается точка римановой
поверхности F, поэтому теперь не требуется указывать, что всюду
выбрана одна и та же ветвь R0(l)). Положим
тогда в силу теоремы 1
([D+ l] w, u) = ([D+ l] w, R0 (l) v) = (R0 (l)*[D+ l] w, v) = |
|
= (w, v) = (w, - l[q-1]u + f), |
|
то есть u есть обобщенное решение задачи (3). К тому же эта
функция удовлетворяет главным или побочным условиям излучения в
зависимости от выбора значения корней gn в R0(l).
Таким образом для построения решения задачи (3),
удовлетворяющего парциальным условиям излучения, достаточно разрешить
задачу (12). Преимущество же задачи (12) состоит в следующем.
Теорема 2
Оператор A(l) является компактной голоморфной
оператор-функцией на римановой поверхности F.
Пусть l0 - любая регулярная точка поверхности F. Из
теоремы 1 следует, что R0(l) является суммой конечного
числа интегральных операторов вида
|
i
2 gn (l)
|
|
Ґ у х -Ґ
|
d xei gn (l) |x-x| (yn, . ) yn (y) |
|
и остатка R0N (l) О L(L2, W 21(W)), регулярного в
окрестности l0. В силу компактности носителя q-1 операторы
[q(x,y)-1][ 1/2] |
i
2 gn (l)
|
|
Ґ у х -Ґ
|
d xei gn (l) |x-x| (yn, . ) yn (y) |
|
как и
принадлежат L(L2(Wў), L2(Wў)), являются
регулярными в окрестности l0 и, после домножения на компактный
оператор [q(x,y)-1][ 1/2], становятся компактными, а
следовательно то же верно и для их суммы A (l).
Из этой теоремы и мероморфной теоремы Фредгольма [18]
следует, что для задачи (12) верна альтернатива: или при данном
l задача
однозначно разрешима при любой f О L2(Wў), или l
является собственным значением оператора A(l), то есть
существует нетривиальное решение v О L2(Wў) уравнения
Прежде чем выяснить, как соотносятся эти собственные значения с
собственными значениями задачи (3), условимся о следующем.
Определение 2
Точка e римановой поверхности F называется
резонансом волновода, если существует решение u задачи
(Dw, u)L2(W)+ e(w, q u) L2(W) = 0 "w О CҐ0 (W) |
| (13) |
удовлетворяющее условиям излучения, соответствующим данному листу
f. Если эта точка принадлежит главному листу или его границе, то ее
называют собственным значением волновода, а соответствующую функцию u
- собственной функцией; функция u1 называют
присоединенный к u, если она является решением задачи
(Dw, u1)L2(W)+ e(w, q u1) L2(W) = -(w, q u) "w О CҐ0 (W) |
|
Если же резонанс e О F не принадлежит главному листу и его
границе, то его называют комплексным.
Замечание 3
Традиция называть резонансы, отличные от собственных значений,
комплексными связана с тем, что, как показано в [11], все
собственные значения волновода, лежащие
на главном листе вещественны (более того положительны), а
соответствующие им собственные функции
принадлежат L2(W).
Пусть u О L2(W) - собственная функция
волновода, отвечающая собственному значению e, лежащему на главном
листе, тогда эта функция является классическим решением задачи
(13), поэтому можно положить v = (D+ e) u є - e (q-1) u.
Значит,
v + e (q-1) R0 v = (D+ e) u + e (q-1) u = 0, |
|
то есть v - собственная функция оператора A.
Верно и обратное.
Теорема 3
Если e О F - собственное значение оператора A(l),
а v - соответствующая ему собственная функция, то собственное
значение e является резонансом волновода.
Если e лежит на главном листе F, то оно является собственным
значением волновода и его кратность как собственного значения оператора
A(l), совпадает с числом линейно независимых собственных
функция волновода.
Более того собственной функции v отвечает собственная функция
волновода u=R0(e) v , а функции v1,
присоединенному к собственной функции v оператора A(l),
отвечает функция
u1 = R0(e) v1 + R0ў(e) v , |
|
присоединенная к собственной функции волновода u=R0(e) v.
Заметим сначала, что если e - собственное значение оператора
A, то существует не только собственная функция v О L2(Wў), удовлетворяющая задаче
но и u = R0(e) v , являющееся обобщенным решением задачи (13).
По определению это означает, что e является резонансом волновода.
Если e лежит на главном листе, то построенная выше функция u
является собственная функция волновода, отвечающая собственному
значению e.
Покажем, что функция
является присоединенной к u. Для этого заметим, что при всех
w О CҐ0 (W) во-первых,
((D+e q) w, R0 v1) = ((D+e) w, R0 v) +(w, e (q-1) R0 v) = |
|
= (w, v1 + e(q-1)R0 v1) = (w, Aў(e) v) = |
|
= -(w, (q-1)R0 v + e (q-1)R0ўv), |
|
а во-вторых,
в силу
((D+ l) w, R0(l) v) = (w, v) |
|
верно соотношение
((D+ l) w, R0ўv) = - (w, R0 v) |
|
и поэтому
((D+ eq)w, R0ўv)=(w, e(q-1)R0ўv - R0 v). |
|
Складывая эти равенства, получим
((D+ eq) w, u1) = -(w, (q-1)R0v + R0v)=-(w, q u). |
|
Значит, u1 действительно является присоединенной функцией.
Однако, из самосопряженности оператора D+ lq при вещественных l следует, что у этих собственных
функций нет присоединенных. В самом деле, имеем
(u,(D+ e q) u1) = ((D+ e q)u, u1) = 0 = -(u, q u) not
= 0, |
|
что невозможно. Но лежащее на главном листе e неизбежно вещественно,
как отмечалось выше. Значит присоединенной к u функции не существует,
а следовательно, не существует и v1, поэтому кратность собственного
значения e оператора A равна количеству его линейно независимых
собственных функций. По предыдущему между этими функциями и
собственными функциями волновода существует взаимно однозначное
соответствие, поэтому кратность равна числу его линейно
независимых собственных функций.
4 Возмущения собственных значений волновода.
Пусть при заполнении типа вставки q(x,y) є q0(x) имеется
однократное вложенное собственное значение e0 О (a21, a22), тогда соответствующая ему собственная функция имеет вид
u(x) yM(y) при некотором M > 1 [4]. Возмутим заполнение
малой добавкой eq1(x,y), где параметр e
характеризует
малость, то есть рассмотрим волновод с заполнением q(x,y) = q0(x) + eq1(x,y). Тогда в силу двух последних теорем точка e0
главного листа римановой поверхности F является однократным
собственным значением оператора A(l, e) = - l(q0-1 + eq1) R0(l) при e = 0. В окрестности
точки (e0, 0) этот оператор регулярен. Поэтому при достаточно малых
e у этого оператора имеется собственное значение
e(e) = e0 + e1 e+ ... = P(e) |
|
и ему отвечает собственная функция v(e), разложимая в
равномерно по норме L2(Wў) сходящийся ряд
v(e) = v0 + v1 e+ ... = P(e) |
|
(Здесь и далее произвольный ряд по целым положительным степеням
e будем обозначать как P(e). )
Обоснование этого утверждения дано в приложении.
Поскольку точка l = e0 лежит на границе двух листов поверхности
F, то лишь ее часть с Бl і 0 принадлежит главному
листу. Поэтому собственное значение e(e) оператора A
является собственным значением волновода, если Бe(e) і 0,
в противном случае оно является комплексным резонансом. Так как на
главном листе все собственные значения вещественны, то
Бe(e) = 0.
Это равенство в частности означает, что e1 - вещественное число,
то есть что в первом порядке теории возмущений e(e) остается
вещественным. Несмотря на это, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4
Существуют такие кусочно-непрерывные вещественные возмущения q1(x,y)
исходного заполнения q0(x), что e(e) с ростом e
становится комплексным резонансом.
Для того, чтобы e(e) не было собственным значением волновода,
достаточно, чтобы оно не было вещественным. Предположим противное, что
именно, e(e) - вещественное число, тогда оно лежит на
границе главного листа и, следовательно, является собственным значением
волновода, которому в силу теоремы 2 соответствует собственная
функция
u(e) = R0(e(e)) v(e) О L2. |
|
Как и в доказательстве теоремы 1 в окрестности точки l = e0 резольвенту R0(l) можно представить в виде суммы
оператора
B = |
i
2 g1 (l)
|
|
Ґ у х -Ґ
|
dxei g1 (l) |x-x| (y1, . ) y1 (y) |
|
и R01(l) О L(L2(Wў), W 21(W)),
регулярного в окрестности l = e0.
По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда второй член
R01(e(e)) = P(e) О L(L2(Wў), W 21(W)) |
|
Относительно первого заметим, что поскольку u(e) -
собственная функция волновода, отвечающая собственному значению,
лежащему на главном листе, то
(u, y1)L2(S) = 0 "x not О Wў |
|
Поэтому если h(x) - CҐ0-ступенька, равная 1 на всем
Wў, то
h(x)B(e(e))v(e) = B(e(e))v(e) |
|
Но h(x)B(l) - интегральный оператор, ограниченный по норме
W21, и регулярный в рассматриваемой окрестности l = e0,
поэтому и h(x)B(e(e))v(e) = P(e). Значит,
собственная функция u(e) может быть разложена в ряд по
степеням e, сходящийся равномерно по норме W21.
Умножив (3) на y1(y) и проинтегрировав по y по всему
сечению S, получим
|
d2 (u, y1)
dx2
|
+ e (q u, y1) - a21 (u, y1) = 0 |
|
Подставим сюда ряды для e(e) и u(e), тогда в первом
порядке, обозначив
получим
|
d2 u1,1
dx2
|
+ [e0 q0(x) - a21 ] u1,1 = e0 (q1 u0, y1) |
|
Для того, чтобы u(x,y;e) принадлежало W 21(W) необходимо,
чтобы и u1,1(x) О L2( R1). Но у уравнения
|
d2 u1,1
dx2
|
+ [e0 - a21 ] u1,1 = e0 {(q1 u0, y1) - [q0(x)-1] u1,1} |
|
имеется решение из L2 не при любых q1. Но это не согласуется с
предположением о том, что u - собственная функция волновода.
Коротко доказанную теорему можно сформулировать так: вложенные
собственные значения волновода уходят в общем случае в комплексные
резонансы.
Отметим, что это - специфическое свойство вложенных собственных
значений,
поскольку изолированные собственные значения при таких возмущения
сохраняются в силу теоремы Реллиха-Като.
Это свойство довольно интересно, поскольку более привычно когда
собственное значение уходит в резонанс лишь при возмущении q0
комплексной добавкой, то есть при введении затухания. Однако в
[19] это свойство вложенных собственных значений было
проиллюстрировано простым примером.
К сожалению сделать на основании этой теорему вывод о существовании или
несуществовании вложенных собственных значений при заполнениях, близких
к q0(x), нельзя, поскольку при построенном q1 исчезает лишь
одно вложенное собственное значение, а не все, и на вещественную ось
могут выходить комплексные резонансы. Оба эти возражения могли бы быть
легко отброшены, если бы A был конечномерный и его спектр имел бы
простой вид. Поэтому можно лишь утверждать, что структуры совокупности
вложенных собственных значений при заполнении типа вставки и при
заполнении другого вида совсем не похожи, и поэтому многочисленные
примеры мало что проясняют относительно устройства точечного спектра
волновода.
A
Приложение: теория возмущений для собственных значений компактной оператор-функции.
Систематическое исследование аналитических свойств компактной
оператор-функции (операторного пучка) A(l), регулярной (голоморфной)
в некоторой области B, и его резольвенты было предпринято в
[18] (см. также [20]). Развитие теории возмущений для
квантово-механических задач, заставило изучить зависимость полюсов
резольвенты A(l, e) от параметра возмущения
e [7],[8],[9]. Однако в этих
работах рассматривался случай, когда A(l, e) = V(e)R0(l) и R0(l) имеет в области B полюс первого
порядка конечного ранга.
Позже задачи теории дифракции привели к
необходимости изучения зависимости полюсов резольвенты регулярной в B
функции A(l, e) от параметра e [12]-
[11]. В [11] было показано, что в окрестности полюса
резольвенты A(l, 0) лежит полюс резольвенты A(l, e), однако до настоящего момента оставалось неясным зависит ли
этот полюс от e аналитически и сохраняется ли его кратность.
Неразрешенность этого вопроса не давала возможности применять теорию
возмущений. Поэтому, в частности, хотя и построены многочисленные
примеры волноведущих систем, обладающих вложенными собственными
значениями, [1]-[5], пока не ясно, сохраняться ли
эти собственные значения
при малых изменениях параметров систем [3], [6].
Для изучения зависимости полюсов от e обычно строят
модифицированный определитель Фредгольма d(l,e) для
оператора A(l,e) и затем на
основании подготовительной теоремы Вейерштрасса доказывют, что решение
l(e) уравнения
d(l,e)=0
может быть разложено в ряд по дробным степеням e
[7].
Однако подавляющее большинство
теорем теории аналитических функций, как и их доказательства
переносится и на теорию оператор-функций A(l, e)
[14]. Поэтому естественно ожидать, что тоже верно и для
подготовительной теоремы Вейерштрасса. Чтобы понять, как следует
изменить ее формулировку разберем сначала случай конечномерного
гильбертова пространства, то есть случай, когда A является
матрицей.
Итак, рассмотрим в гильбертовом пространстве H оператор
A(l,e), голоморфный в области B l-плоскости и
в области e < e0. Его резольвента
R(l,e), заданная соотношением
[E - A(l,e)][E + R(l,e)] = E |
|
согласно [18] является компактным оператором,
мероморфным в указываемых областях, причем ее полюса являются
собственными значениями оператора A(l,e).
Предположим, что при e = 0 в области B имелось только одно
собственное значение e0 кратности N. Обозначим далее лежащие в B
полюса при заданном e как { e(n)(e)} и
попытаемся изучит их как функции от e.
A.1 Теория возмущений для собственных значений оператора
A(l,e) в конечномерном пространстве.
Если гильбертово пространство H является конечномерным, то
{ e(n)(e)} являются нулями определителя
очевидно голоморфного в рассматриваемых областях. Следуя
доказательству A. Картана
подготовительной теоремы Вейерштрасса [21], [22],
заметим сначала,
что в силу теоремы о логарифмическом вычете интеграл
s0 (e) = |
1
2 pi
|
|
у х C
|
d l |
¶ a
¶l
|
(l,e) a-1 (l,e); |
|
по контуру C, проведенному в близи границы B, всегда равен
натуральному числу N(e), которое означает число нулей a (l,e), лежащих внутри C. (Каждый нуль считается столько
раз, какова его кратность.)
C другой стороны s0 (e) - аналитическая функция от
e, регулярная в нуле, поскольку
при l О C найдется такое eў0, что для всех
e Ј eў0 оператор A(l, e) не имеет собственных значений и следовательно
Но такая функция может принимать только целые
значения тогда и только тогда, когда она тождественно равна некоторой
константе N(0)=N. Поэтому в области B при всех достаточно малых
e имеется ровно N собственных значений.
Чтобы выразить
{ en(e)} как функции e, образуем
аналитические функции
sn (e) = |
1
2 pi
|
|
у х C
|
ln d l |
¶ a
¶l
|
(l,e) a-1 (l,e) n=1, ... N; |
|
При фиксированном e функция
внутри C имеет простые полюса в нулях определителя
e(m)(e) c вычетами, равными кратности этих нулей, поэтому
sn (e) = |
N е
m=1
|
[ e(m)(e) ]n |
|
Поэтому по формулам Ньютона можно образовать уравнение
eN + a1(e) eN-1 + ... + aN (e) = 0 |
|
коэффициенты которого являются рациональными функциями от sn, а
корни - нулями a, лежащими внутри C.
Остается заметить, что функции sn(e) можно рассчитать и не
вычисляя определитель. Именно, поскольку
|
¶ R
¶l
|
= [E+ R] |
¶ A
¶l
|
[E+ R] |
|
в силу формулы Якоби определитель
|
¶|E+ R|
¶l
|
= Sp |
ж и
|
¶ A
¶l
|
[E+ R] |
ц ш
|
|E+ R| |
|
и поэтому в силу a = |E+ R|-1
|
¶ a
¶l
|
= - Sp |
ж и
|
¶ A
¶l
|
[E+ R] |
ц ш
|
a |
|
откуда
sn (e) = - |
1
2 pi
|
|
у х C
|
ln dl Sp |
ж и
|
¶ A
¶l
|
[E+ R] |
ц ш
|
n=1, ... N |
| (14) |
Таким образом для конечномерного гильбертова пространства H
доказана следующая теорема.
Теорема 5
Пусть в конечномерном гильбертовом пространстве H компактный
оператор A(l,e), голоморфный в области B l- плоскости и
в области e < e0, имеет при e = 0 в области
B только одно
собственное значение e0 кратности N. Тогда его собственные
значения { e(n)(e)} удовлетворяют алгебраическому
уравнению
eN + a1(e) eN-1 + ... + aN (e) = 0 |
|
где
a1 = - s1, an = |
(-1)n
n!
|
|
к к к к к к
к к к к к
|
|
к к к к к к
к к к к к
|
|
|
а sn определяются по формуле (14),
причем функции sn(e) = P(e).
(Здесь и далее, как это принято в вейерштрассовской теории функций,
P(e) означает произвольный ряд по целым неотрицательным
степеням e [23], [24].)
Весьма замечательно, однако, что и в случае бесконечномерного
гильбертова пространства, когда определителя a вообще не
существует, функции sn (e) существуют и являются
аналитическими и теорема 5 остается в силе.
A.2 Теория возмущений для собственных значений оператора
A(l,e) в бесконечномерном пространстве.
Основные понятия теории аналитических функций прямо переносятся на
случай оператор-функций, если понимать всюду модуль как норму
[14]. Рассмотрим оператор-функцию F(l, e),
равномерно ограниченную константой M и регулярную в области e Ј r при всех l О C. Ясно, что можно определить функцию
Покажем, что эта функция регулярна в нуле. В силу теоремы Коши
[14]
F(l, e) = |
Ґ е
n=0
|
Fn(l) en |
|
где
Fn(l) = |
у х |e|=r
|
|
F(l, e)
en+1
|
d e |
|
Поэтому
а значит ряд
мажоруется геометрическим рядом
|
Ґ е
n=0
|
|C| |
M
rn
|
|e|n = |C| M |
1
1-|e|/r
|
|
|
и является равномерно и безусловно сходящимся при |e| < r.
Наконец,
|| f(e) - |
N е
n=0
|
|
у х C
|
Fn(l) en dl|| = || |
у х C
|
d l |
Ґ е
n=N+1
|
Fn(l) en || Ј |C|M( |
|e|
r
|
)N |
1
1-|e|/r
|
, |
|
поэтому ряд
стремиться к f(e) равномерно и безусловно при |e| < r, то есть эта последняя функция действительно является регулярной в
нуле.
С тем, чтобы распространить теорему 5 на бесконечномерный
случай, рассмотрим оператор-функцию
P (e) = - |
1
2 pi
|
|
у х C
|
d l |
ж и
|
¶ A
¶l
|
[E+ R] |
ц ш
|
|
| (15) |
и изучим некоторые ее свойства.
Теорема 6
Оператор P(e) является ортопроектором, зависящим аналитически
от e в окрестности нуля. Его след s0(e) есть число
собственных значений оператора A(l, e), лежащих
внутри C, которое не зависит от e.
Покажем сначала, что P(e) зависит аналитически
от e в окрестности нуля. Заметим, что при l О C и
e Ј e0/2 функции
равномерно ограничены. Из соотношения Гильберта
(E+ R (l,e)) (E- ( A(l,e)- A(l,0)) (E+ R (l,0))) = (E+ R (l,0)) |
|
видно, что и
||E+ R (l,e)|| Ј || E+ R (l,0)|| ||(E- ( A(l,e)- A(l,0)) (E+ R (l,0)))-1|| |
|
Но можно взять столь малое r, что при всех e < r
||( A(l,e)- A(l,0)) (E+ R (l,0))|| Ј |
1
2
|
|
|
тогда
||(E- ( A(l,e)- A(l,0)) (E+ R (l,0)))-1|| Ј |
1
1-1/2
|
=2 |
|
Значит, подынтегральное выражение в (15) равномерно
ограничено и регулярно при
e Ј r, поэтому как и утверждалось, P(e) регулярна
в нуле.
Замети теперь, что P не изменится, если в качестве круга C взять
другой
Cў, отличающийся от первого достаточно мало и вложенный в него. Тогда
P2 (e) = |
ж и
|
1
2 pi
|
ц ш
|
2
|
|
у х C
|
d l |
у х Cў
|
d m |
¶ A
¶l
|
[E+ R(l, e)] |
¶ A
¶m
|
[E+ R(m, e)] |
|
Но
R(l, e) - R(m, e) = [E + R(l, e)][(E - A (l, e))- (E - A (m, e))] [E + R(m, e)] = |
|
= [E + R(l, e)] |
¶ A
¶m
|
[E + R(m, e)] (m-l) + (m-l)P(m-l) |
|
и поэтому
[E + R(l, e)] |
¶ A
¶m
|
[E + R(m, e)] = |
E + R(l, e)
m-l
|
- |
E + R(m, e)
m-l
|
+P(m-l) |
|
а значит,
P2 (e) = |
ж и
|
1
2 pi
|
ц ш
|
2
|
|
у х C
|
d l |
у х Cў
|
d m |
¶ A
¶l
|
|
ж и
|
E + R(l, e)
m-l
|
- |
E + R(m, e)
m-l
|
+P(m-l) |
ц ш
|
|
|
Однако поскольку l О C не лежит внутри Cў
|
у х Cў
|
d m |
¶ A
¶l
|
|
ж и
|
E + R(l, e)
m-l
|
+P(m-l) |
ц ш
|
= 0 |
|
а
|
ж и
|
1
2 pi
|
ц ш
|
2
|
|
у х C
|
d l |
у х Cў
|
d m |
¶ A
¶l
|
|
E + R(m, e)
l-m
|
= - |
1
2 pi
|
|
у х Cў
|
d m |
¶ A
¶m
|
[E + R(m, e)] = P(e) |
|
Поэтому P2 = P.
Значит, собственные значения этого оператора равны нулю или единицы. В
силу того, что R имеет в качестве своего вычета лишь конечномерные
операторы, то таков и P. Поэтому при любом e < e0
след SpP(e) равен натуральному числу N(e) или
нулю. В [18] показано, что это число совпадет с кратностью
собственных значений, лежащих внутри C, и с размерностью
P(e).
Остается доказать, что и SpP(e)
является аналитической функцией от e, регулярной в нуле.
Воспользуемся с этой целью леммой Фань Цуй [25]: для любой
ортогональной
системы {fj }1n и любого компактного оператора A верна
оценка
|
n е
j=1
|
|(A fj, fj)| Ј |
n е
j=1
|
sj(A) |
|
Из нее следует, что
|
Ґ е
j=1
|
|(P fj, fj)| Ј |
Ґ е
j=1
|
sj(P) |
|
Поскольку при любом e размерность корневого пространства
конечна, N(e) < N0 при всех e < e0. Норму
||P(e)|| тоже можно оценить равномерно. В самом деле, в силу
теоремы Шура можно найти такой ортонормированный базис, в котором
конечномерный P имеет
на главной диагонали 1 и нули. Тогда
поэтому для любого f О H
откуда ||P|| Ј 4 [16].
Поскольку P - конечномерной оператор размерности < N0, то
существует не более N0 чисел sj (P) not
= 0 и все эти числа
меньше || P(e)|| < P0. Поэтому
|
Ґ е
j=1
|
|(P fj, fj)| Ј 4 N0 |
|
По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда из этой оценки следует, что
ряд
s0(e) = |
Ґ е
j=1
|
(P fj, fj) = P (e) |
|
Но это значит, что s0(e) непрерывна и в тоже время принимает
только целые значения, это возможно только если s0(e) є N. Но с другой стороны при фиксированном e подынтегральная
функция в выражении для P имеет полюса только в точках
e(m)(e) и с вычетами P(m), поэтому
По доказанному выше SpP(m) = Nm (e) - кратность
собственного значения e(m)(e), поэтому
то есть число собственных значений, лежащих внутри C остается
неизменным.
Изучим теперь некоторые свойства оператора
Pn (e) = - |
1
2 pi
|
|
у х C
|
d l ln |
¶ A
¶l
|
[E+ R] |
| (16) |
При фиксированном e подынтегральная функция имеет полюса
только в точках e(m)(e) и с вычетами P(m), поэтому
Pn (e) = |
е
| (e(m)(e))n P(m) |
|
По теореме 6 SpP(m) = Nm (e) - кратность
собственного значения e(m)(e), поэтому как и в
конечномерном случае
SpPn (e) = |
N е
m=1
|
(e(m)(e))n |
|
Для доказательства теоремы 5 остается заметить, что в силу леммы
Фань Цуй верно
|
Ґ е
j=1
|
|(Pn fj, fj)| Ј |
Ґ е
j=1
|
sj(Pn) |
|
Поскольку оператор Pn конечномерный, то существует не более N0
чисел sj (P) not
= 0 и все эти числа меньше || Pn(e)|| .
Оценить эту норму равномерно можно, воспользовавшись тем, что по
доказанному в теореме 6
ибо тогда
||Pn (e)|| Ј |
е
| |e(m)(e)|n ||P(m)|| Ј 4 N0 (e0 + dist B)n |
|
Значит ряд SpPn (e) сходится равномерно и по теореме
Вейерштрасса о суммировании ряда Pn(e) = P (e), что
и завершает доказательство теоремы 5, которая теперь
формулируется так:
Теорема 7
Пусть в гильбертовом пространстве H компактный оператор
A(l,e), голоморфный в области B l- плоскости и
в области e < e0, имеет при e = 0 в области
B только одно
собственное значение e0 кратности N. Тогда его собственные
значения { e(n)(e)} при заданном
e < e0 удовлетворяют алгебраическому уравнению
eN + a1(e) eN-1 + ... + aN (e) = 0 |
|
где
a1 = - s1, an = |
(-1)n
n!
|
|
к к к к к к
к к к к к
|
|
к к к к к к
к к к к к
|
|
|
а функции sn(e) определяются формулами
sn (e) = - |
1
2 pi
|
|
у х C
|
ln d l Sp |
ж и
|
¶ A
¶l
|
[E+ R] |
ц ш
|
n=1, ... N. |
|
и являются аналитическими функциями от e, регулярными в нуле.
Замечание 4
Тот факт, что в окрестности невозмущенного собственного значения
имеется хотя бы одно собственное значение, был указан в [12].
Отметим, что формулы для sn удобны для непосредственного вычисления
поправок теории возмущений, если известна R(l, 0) є
R0(l). В самом деле, коль скоро
|
¶ R
¶e
|
= [E+ R] |
¶ A
¶e
|
[E+ R] |
|
верно
snў(0) = - |
1
2 pi
|
|
у х C
|
ln d l Sp |
ж и
|
¶2 A
¶l¶e
|
[E+ R] + |
¶ A
¶l
|
[E+ R] |
¶
A
¶e
|
[E+ R] |
к к
|
e = 0
|
ц ш
|
|
|
и так далее.
A.3 Первый порядок теории возмущений.
Из теоремы 7 следует, что все собственные значения, лежащие в
области B можно представить в виде одного или нескольких рядов
e(m) (e) = e0+ e1(m) e[ 1/(pm)]+... = P (e[ 1/(pm)]), m = 1, ... M |
|
причем еm=1Mpm = N. (Подробное и полное
доказательство этого факта содержится в [23].)
Характерной особенностью операторов A, возникающих в задачах
математической физики, состоит в том, что e0 - число вещественное и
Отсюда следует, что ряды для e(m) (e) должный иметь весьма
специальный вид
e(m)(e) = e0 + epm e+ ... + e2Mm pme2Mm+e2Mm pm+1e2Mm+[ 1/(pm)]+ ... |
|
где e0 , epm, ..., e(2Mm-1)pm - все вещественные и Бe2Mm pm < 0 или pm = 1 и все коэффициенты вещественны, где Mm -
некоторое натуральное
число. [8]. Поэтому верна теорема.
Теорема 8
Пусть в гильбертовом пространстве H задан компактный оператор
A(l,e), голоморфный в области B l- плоскости и
в области e < e0, и пусть все его собственные значения
в указанных областях удовлетворяют условию
Пусть, далее, при e = 0 в области B
имелось только одно
вещественное собственное значение e0 произвольной кратности N.
Тогда при всех достаточно малых
e все собственные значения этого оператора, лежащие в B,
представимы в виде рядов
e0 + ep e+ ... + e2M p e2M+e2M P (e[ 1/p])+ ... |
|
где M - некоторое натуральное число, e0 , ep, ..., e(2M-1)p -
все вещественные и Бe2Mp < 0 или p = 1 и все коэффициенты вещественны.
Для оправдания формального применения теории возмущений в
первом порядке (не зависимо от кратности невозмущенного собственного
значения) остается заметить следующее. Пусть v0 О H - собственная
функция сопряженного оператора A* (l, 0), отвечающая e0 и
имеющая максимальный порядок присоединения m, то в силу выражения для
главной части резольвенты из [18] функция
u(e) = |
1
2 pi
|
|
у х C
|
d l (l-e0)m R (l, e) v0 |
|
является собственной функцией оператора A (l, 0), отличной
тождественно от нуля и зависящей от e аналитически.
Теорема 9
В предположениях теоремы 8 в
окрестности e0 не только одно из собственных значений
A(l, e) допускает разложение
e(e)=e0 + e1 e+ O(e1+[ 1/p]), |
|
но и соответствующая ему собственная функция представима в виде
Замечание 5
Особо следует отметить случай, когда при e = 0
оператор A имеет ровно N собственных функций u(n)0. В этом
случае по
каждой собственной функции сопряженного оператора можно построить N
функций
u(n) = P(e) v(n)0 = u(n)0 + u(n)1 e+ ... |
|
являющихся собственными функциями A. Каждой из них отвечает
собственное значение представимое в виде
e(n) (e)=e0 + e1(n) e+ O(e1+[ 1/p]). |
|
Эта теорема полностью оправдывает формальное применение теории
возмущений в первом порядке.
Работа выполнена при финансовой поддержке
РФФИ
(грант 00-01-00111)
и программы "Университеты России" (код 015.03.02.001)
Литеpатуpа
- [1]
- Jones D.S.
The eigenvalues of С2 u + lu
when the boundary conditions are on semi-infinite domains.
// Proc. Camb. Phil. Soc., 49 (1954), p. 668-684.
- [2]
- Werner P.
Resonanzphänomene in akustischen und elektromagnetischen Wellenleitern.
// Z. angew. Math. Mech. 67 (1987), N 4, p. 43-54.
- [3]
- Davies E.B., Parnovski L.
Trapped modes in acoustic waveguides.
// Quart. J. Mech. Appl. Math. 51 (1998), p. 477-492.
- [4]
- Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д.
О вещественных резонансах в волноводе с неоднородным заполнением.
// Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2001, N 5. C. 23-25.
- [5]
- Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д.
О ловушечных модах волноведущих систем. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2001, N 6. C. 69-70.
- [6]
- Малых М.Д.
О поведении вложенных в непрерывный спректр собственных значений
при изменении заполнения волновода.
// Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2002, N 1. C. 61-62.
- [7]
- Howland J.S.
Puiseux series for resonances at an embedded eigenvalue.
// Pacific J. Math., 55 (1974), N 1, p. 157-176.
- [8]
-
Howland J.S. On the Weinstein-Aronszajn Formula.
// Arch. Rational Mech. Anal., 39 (1970), p. 323-339.
- [9]
- Albeverio S., Hoegh-Korn R.
Perturbation of resonances in quantum mechanics.
// J. Math. An. Appl., 101 (1984), p. 491-513.
- [10]
- Goldstein C.I.
The singularities of the S-matrix and Green's function associated with
perturbation of -D acting in a cylinder.
// Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1973), p. 1303-1307.
- [11]
- Шестопалов В.П.
Спектральная теория и возбуждение открытых структур. М.: Наука, 1987.
- [12]
- Санчес-Паленсия Э.
Неоднородные среды и теория колебаний. М: Мир, 1984.
- [13]
- Гильберт Д., Курант Р.
Методы математической физики. Т.1. М-Л.: ГИТТЛ, 1951, Т.2. М.: ГИТТЛ, 1945.
- [14]
- Heuser H. Funktionalanalisis. Stuttgart:
B.G. Teubner, 1975.
- [15]
- Ладыженская О.А. Краевые задачи матемтической физики.
М.: Наука, 1973.
- [16]
- Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben
in Sobolewschen Räumen. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1969.
- [17]
-
Hellwig G. Differentialoperatiren der mathematischen Physik.
Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer, 1964.
- [18]
- Келдыш М.В. Избранные труды.
Математика. М.: Наука, 1985.
- [19]
- Малых М.Д.
Поведение вложенных собственных значений при малых возмущениях.
// Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2002, N 3.
- [20]
- Рид М., Саймон Б.
Методы современной математической физики. T.4. М.: Мир, 1982.
- [21]
- Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических
функций многих комплексных переменных. М.: ГИФМЛ, 1962.
- [22]
- Гауерт Г., Реммерт Р. Аналитические локальные алгебры.
М.: Наука, 1988.
- [23]
- Weierstrass K. Mathematische Werke. Bd. 4.
Vorlesungen über die Theorie der Abelschen Transcendenten.
Bearb. von G. Hettner und J. Knoblauch.
Berlin: Mayer&Müller, 1902.
- [24]
- Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических
функций. М.-Л.: ГТТИ, 1933.
- [25]
- Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию
линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.