"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 2, 2004

ВОЗБУЖДЕНИЕ ПЛАНАРНОЙ РЕШЕТКИ ЩЕЛЕВЫХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ

ВОЗБУДИТЕЛЕМ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

М.Д. Дупленкова

Московкий энергетический институт

Получена 16.02.2004 г.

Аннотация

Рассмотрена задача о возбуждении двумерным пучком Т-волн плоского волновода решетки щелевых излучателей, выполненных в экране плоского волновода. Пучок Т-волн моделирует поле, порождаемое возбудителем решетки конечных размеров. Решение задачи основано на полученном ранее решении задачи о возбуждении решетки одиночной Т-волной. Волновой пучок представляется в виде спектра Т-волн с разными волновыми векторами. Рассеянное поле в силу принципа суперпозиции также представляется в виде аналогичного спектрального разложения. Приводятся результаты численного исследования решеток, возбуждаемых пучками. Полученные результаты позволяют оценить влияние конечных размеров возбудителя на параметры решетки: диаграмму направленности, коэффициент усиления и т.д.

Введение

Работа посвящена методам анализа антенных решеток щелевых излучателей на основе плоского металлического волновода и является продолжением серии работ [1,2,3], посвященных антеннам данного типа. В работах [1,2] исследована бесконечная двумерно-периодическая решетка щелей. В работе [3] получено электродинамическое решение задачи о возбуждении решетки конечной длины, возбуждаемой собственной волной плоского волновода (ПВ), падающей под произвольным углом.

В работах [1,2,3] мы рассматривали решетку щелей, бесконечную вдоль оси 0y и считали, что решетка возбуждается основной Т-волной ПВ. То есть в качестве возбудителя рассматривалась волна с плоским фронтом. Однако реальный возбудитель имеет конечные размеры, а распределение возбуждающего поля может оказаться неравномерным. В данной работе мы продолжаем исследование антенных решеток такого типа, причем в первую очередь нас интересует влияние указанных выше факторов. Особенность возбудителя, имеющего конечные размеры заключается в том, что он порождает не одну плоскую волну, а целый спектр плоских волн, то есть волновой пучок. Этот волновой пучок затем распространяется в плоскости ПВ и возбуждает собственно решетку. Таким образом, единая задача о возбуждении решетки возбудителем конечных размеров разделяется на две более простые подзадачи. Первая из них – это задача о возбуждении волнового пучка, а вторая – это возбуждение решетки этим волновым пучком. Будем последовательно решить данные задачи.

1. Возбуждение волнового пучка

Рассмотрим излучение возбудителя, находящегося в ПВ, причем предполагаем, что ПВ одномодовый и в нем может распространяться только основная Т-волна. Отсюда, в частности, следует, что говоря о пучке в ПВ мы имеем ввиду двумерный волновой пучок, образованный спектром Т-волн.

Отметим, что конкретная конструкция возбудителя нас в данный момент не интересует. Вообще говоря, возбудитель представляет собой антенну, предназначенную для излучения не в свободное пространство, а в ПВ. Роль такой антенны может выполнять плоская рупорно-линзовая антенна, плоская рупорно-зеркальная антенна или многоканальный делитель мощности. Общим свойством всех перечисленных устройств является то, что они создают в некотором сечении ПВ амплитудно-фазовое распределение поля, имеющее постоянную фазу и медленно меняющуюся амплитуду. Поле, сформированное возбудителем, возбуждает ПВ. Для задачи возбуждения решетки существенным является только вид амплитудно-фазового распределения поля в раскрыве возбудителя. При этом способ его формирования значения не имеет. Поэтому далее будем рассматривать возбудитель как некоторое сечение ПВ, в котором существует заданное поле, являющееся первичным по отношению к ПВ и решетке и будем решать задачу возбуждения ПВ и решетки этим первичным полем.

Воспользуемся теоремой эквивалентных поверхностных электрических и магнитных токов [4]. Обозначим векторы электромагнитного поля порожденного возбудителем через и . Разделим все пространство замкнутой поверхностью S, охватывающей возбудитель, на две области 1 и 2 (рис. 1).

Рис. 1

Известно, что основная Т-волна ПВ имеет три компоненты электромагнитного поля: . Касательными к поверхности S являются компоненты и .

Пользуясь линейностью уравнений Максвелла, рассмотрим мысленно по отдельности:

1) компоненту вектора Н_Ву , полагая Е_В_z=0;

2) компоненту вектора Е_В_z , полагая Н_Ву=0.

В первом случае поверхность S представляется идеальным электрическим проводником, поскольку на ней вектор магнитного поля имеет только тангенциальную составляющую. По теореме эквивалентности по поверхности S течет поверхностный электрический ток, плотность которого определяется выражением

, (1)

где - тангенциальная к поверхности S компонента магнитного поля возбудителя, - нормаль к поверхности, внешняя относительно рассматриваемой области (область 2 см. рис.1).

Покажем, что для решения задачи о возбуждении решетки на основе ПВ можно воспользоваться двумерной функцией Грина. Рассмотрим возбуждение ПВ электрическим током

. (2)

Так как ПВ является структурой, ограниченной вдоль оси 0z, то задачу его возбуждения удобно решать методом собственных функций. Собственные функции для ПВ хорошо известны [4]: , это система взаимно ортогональных собственных функций. В силу ортогональности собственных функций , постоянный по оси 0z ток порождает лишь собственную волну с n=0, то есть и . Таким образом данная задача сводится к двумерной.

Векторный потенциал эквивалентного поверхностного электрического тока в некоторой точке Р области 2 может быть определен по формуле:

где в силу двумерности задачи

- волновое число свободного пространства, e - диэлектрическая проницаемость пластины, а электрический ток определяется выражением (2).

Введем следующее обозначение

. (3)

Тогда получаем для векторного потенциала новое представление:

, (4)

где .

Тогда при величина g является действительной и экспонента под интегралом в (4) описывает затухающие волны, амплитуда которых уменьшается по экспоненте при удалении в обе стороны от оси 0y. Если же , то получаем бегущие волны, распространяющиеся в обе стороны в направлении оси 0x.

Напряженности электрического и магнитного полей могут быть определены через векторный потенциал по формулам [4]:

Тогда в нашем случае компоненты поля выражаются следующими соотношениями:

. (5)

Во втором случае поверхность S представляется идеальным магнитным проводником, поскольку вектор электрического поля имеет только тангенциальную составляющую. На поверхности S во втором случае течет поверхностный магнитный ток, плотность которого численно равна тангенциальной составляющей напряженности электрического поля и определяется по формуле:

, (6)

где - тангенциальная к поверхности S компонента электрического поля возбудителя. Векторный потенциал эквивалентного поверхностного магнитного тока определяется по формуле:

, (7)

где , (8)

если , (9)

а электромагнитные поля определяются по формулам [4]:

Тогда в нашем случае компоненты поля выражаются следующими соотношениями:

(10)

Таким образом, компоненты поля в точке наблюдения Р определяются суммой:

(11)

Раскрывая векторные произведения (1) и (6), выражаем эквивалентные токи через поле возбудителя:

. (12)

Воспользуемся теперь тем обстоятельством, что возбудитель порождает волновой пучок:

где - проекция волнового вектора пучка на ось 0х.

Назовем функцию возбуждающей функцией.

Если размер возбудителя много больше длины волны , то соотношения между компонентами электромагнитного поля приближенно будут такими же, как для однородной плоской волны: , (13)

где b₀ – проекция волнового вектора пучка на ось 0у.

Тогда в силу (12) распределение возбуждающих токов (2) и (9) будут связаны соотношением:

. (14)

Переходя от векторных потенциалов (4), (7) к компонентам поля в соответствии с (5) и (10), получаем:

(15)

(16)

Тогда суммарное поле согласно (11) определяется следующими выражениями:

(17)

Рассмотрим далее возбуждение щелевой решетки волновыми пучками с разными амплитудными распределениями вдоль оси 0у.

2. Возбуждение решетки волновым пучком с равномерным амплитудным распределением

Пусть возбуждающая функция имеет следующий вид:

, (18)

где – размер возбудителя вдоль оси 0y.

Тогда согласно (3), (8) и (14):

. (19)

Подставляя полученные соотношения в (17), получаем:

(20)

Представим поле следующим образом:

(21)

Данная формула имеет следующий физический смысл: поле Е складывается из суммы плоских волн с амплитудами .

В силу линейности задачи можно воспользоваться принципом суперпозиции. Тогда распределение токов на щелях будет складываться из бесконечной суммы амплитуд токов на щелях, порожденных каждой плоской волной с амплитудой .

Решение задачи о возбуждении решетки одной плоской волной получено нами в работе [3]. Для амплитуд магнитных токов оно имеет следующий вид:

, (22)

где - амплитуда падающей волны, - волновое число вдоль оси 0y, - амплитуды магнитных токов на щелях.

Тогда из принципа суперпозиции следует, что при возбуждении решетки спектром плоских волн, решение будет выражаться интегралом:

, (23)

где - амплитуды магнитных токов на щелях решетки, возбуждаемой волновым пучком.

Учитывая (21), окончательное выражение для для случая равномерного возбуждения имеет следующий вид:

(24)

Введем энергетические характеристики – обобщенные коэффициенты отражения S_11об и прохождения S_21об, которые определим через отношение соответственно отраженной Р_отр и прошедшей Р_прош мощности к падающей Р_пад следующим образом:

(25)

Выражение для падающей мощности запишем в соответствии с [5]:

и используя двумерность задачи, получаем следующее выражение:

(26)

Учитывая (17) и (21) преобразуем выражение (26) к следующему виду для случая x=0:

(27)

Отметим, что при подынтегральная функция является мнимой, поэтому (27) можно преобразовать следующим образом:

(28)

Выражение для отраженной мощности имеет следующий вид:

(29)

где (30)

так как в силу принципа суперпозиции отраженная волна будет складываться из бесконечной суммы отраженных волн порожденных каждой плоской волной с амплитудой и коэффициентом отражения каждой плоской волны S₁₁(b).

В соответствии с (17) выражение для Н_y.отр можно записать следующим образом:

(31)

Повторяя все этапы вывода выражения для падающей мощности и учитывая (30), (31), получаем следующее выражение для отраженной мощности:

(32)

Аналогично можно получить и выражение для прошедшей мощности. Опуская промежуточные выкладки, запишем лишь окончательный результат:

(33)

Определим диаграмму направленности решетки как ДН излучающего плоского раскрыва [5]. Воспользуемся полученным в [3] выражением для ДН решетки конечной длины. Нормированная ДН по мощности определяется как: , (34)

где

где q - угол поворота щели относительно оси 0у, L – длина щели, W - ширина щели, - функция Бесселя нулевого порядка.

Подчеркнем, что сомножитель SUM1 должен быть записан для произвольного распределения токов по оси 0y:

3. Возбуждение решетки волновым пучком с косинусоидальным амплитудным распределением

Пусть возбуждающая функция имеет следующий вид:

(35)

Тогда согласно (3), (8) и (14):

, (36)

. (37)

Подставляя полученные соотношения в (17), получаем:

(38)

Так же, как и в предыдущем разделе, переходим к распределению токов на щелях и для амплитуд магнитных токов получаем выражение (23), при этом имея в виду, что подынтегральный множитель С(b), соответствующий косинусоидальному распределению, определяется формулой (38). Определяем обобщенные коэффициенты отражения S_11об и прохождения S_21об и диаграмму направленности решетки, возбуждаемой волновым пучком, при условии косинусоидального возбуждения, используя выражения (25), (29), (32)-(34), но имея в виду, что подынтегральный множитель С(b), соответствующий косинусоидальному распределению, определяется формулой (38).

4. Численные результаты

В данном разделе приведены некоторые численные результаты, полученные в случае возбуждения решетки волновым пучком для случаев равномерного и косинусоидального распределений возбуждающего поля вдоль оси 0y.

Результаты, представленные ниже приводятся для антенной решетки со следующими параметрами: h=4 мм, P_x=14 мм, P_y=10 мм, W=1 мм, L=10 мм, e= 2.25, AX=160 мм, a=300 мм. Решетка возбуждается волновым пучком, падающим под углом j=0°.

На рис. 2(а) и (б) приведены соответственно для равномерного и косинусоидального распределения возбуждения распределение модулей амплитуд магнитных токов на щелях вдоль оси 0у при фиксированных значениях х (х=0, х=100 мм, х=150 мм).

Рис.2. Распределение модулей амплитуд магнитных токов на щелях

На рис. 3(а) и (б) приведены соответственно для равномерного и косинусоидального распределения возбуждения распределение модулей амплитуд магнитных токов на щелях вдоль оси 0х при фиксированных значениях у (у=0, у=50, у=100).

Рис.3. Распределение модулей амплитуд магнитных токов

Для наглядности на рис.4 приведено трехмерное изображение распределения на плоскости Х0Y.

Рис. 4. Трехмерное изображение амплитудного распределения на плоскости Х0Y.

На рис.5 (а) и (б) приведены соответственно для равномерного и косинусоидального распределения возбуждения фазовое распределение амплитуд магнитных токов на щелях вдоль оси 0у при фиксированных значениях х (х=0, х=85, х=150, которым соответствуют номера m=0,6,11). Сравнивая указанные два графика, можно отметить, что в области возбудителя (-150<у<150) неравномерность фазовой характеристики меньше для равномерного распределения, чем для косинусоидального при х>0.

Рис.5. Распределение фаз магнитных токов на щелях

На рис.6 (а) и (б) приведены соответственно для равномерного и косинусоидального распределения возбуждения распределение фаз магнитных токов на щелях вдоль оси 0х при фиксированных значениях у (у=0, у=50, у=150, которым соответствуют номера n=50,55,65).

Рис.6. Распределение фаз магнитных токов на щелях

На рис.7 и рис.8 приведены соответственно частотные зависимости обобщенных коэффициентов отражения S_11об и прохождения S_21об. Обращает на себя внимание, что частотная зависимость обобщенного коэффициента прохождения имеет две точки минимума в отличие от одной точки минимума в случае возбуждения решетки падающей под углом плоской волной.

Рис.7. Частотная зависимость обобщенного коэффициента отражения

Рис.8. Частотная зависимость обобщенного коэффициента прохождения

На рис.9 представлены диаграммы направленности в плоскости ХОZ: 1 – ДН решетки, возбуждаемой волновым пучком при условии равномерного распределения возбуждения, 2 – ДН решетки, возбуждаемой волновым пучком при условии косинусоидального распределения возбуждения, 3 – ДН решетки, возбуждаемой падающей под углом волной. Видно что все три графика совершенно идентичны, то есть зависимости, приведенные на рис.9 доказывают, что конечность размеров возбудителя, а также неравномерность распределения возбуждающего поля не имеют существенного влияния на диаграмму направленности в плоскости ХОZ.

Рис.9. Диаграммы направленности в плоскости ХОZ

На рис.10 представлены ДН в плоскости YOZ: 1 - ДН решетки, возбуждаемой волновым пучком при условии равномерного распределения возбуждения, 2 – ДН решетки, возбуждаемой падающей под углом плоской волной. Можно отметить, что в области главного лепестка графики совпадают, имеется лишь отличие в одном из боковых лепестков.

Рис.10. Диаграммы направленности в плоскости YOZ

На рис.11 и рис.12 приведены распределения модулей магнитных токов для решетки, со следующими параметрами: h=4 мм, P_x=13.7 мм, P_y=10 мм, W=1 мм, L=10 мм, e= 2.25, AX=274 мм, a=300 мм, возбуждаемой волновым пучком, падающим под углом j=7°. На рис.11 приведены для однородного возбуждения модули амплитудного распределения магнитных токов на щелях вдоль оси 0у для различных номеров щелей вдоль оси 0х (m=0, 7, 11). На рис.12 приведены для равномерного распределения возбуждения модули амплитудного распределения магнитных токов на щелях вдоль оси 0х для различных номеров щелей вдоль оси 0у (n=50, 55, 60).

Рис.11. Распределение модулей амплитудного магнитных токов на щелях вдоль оси 0у

Рис.12. Распределение модулей магнитных токов на щелях вдоль оси 0х

Литература

1. Банков С.Е.// РЭ. 2001. т. 46. № 4.с.441

2. Банков С.Е, Дупленкова М.Д.// РЭ.2003. №3.

3. Банков С.Е, Бодров В.В, Дупленкова М.Д.//РЭ 2003. №6.

4. Марков Г.Т, Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.:-Л., Энергия, 1967.

5. Бодров В.В, Сурков В.И. Математическое моделирование устройств СВЧ и антенн. М.: Изд-во МЭИ, 1994.

оглавление

дискуссия