УДК 519.234.2:621.391
Аппроксимация
эмпирических распределений вероятностей полиномами Бернштейна
Ф.
В. Голик
Новгородский
филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте
Российской Федерации
173003, г. Великий
Новгород, ул. Германа, 31
Статья поступила в
редакцию 28 июня 2018 г.
Аннотация.
Предмет
исследования: аппроксимация
полиномами Бернштейна (ПБ) выборочных распределений унимодального и
полимодального типа, заданных на конечных интервалах. Объектом исследования являются методы оптимизации параметров
аппроксимирующих ПБ. Цель работы состоит
в разработке конструктивных методов оптимизации параметров ПБ и реализация этих
методов средствами пакета прикладных программ MathCAD. Используемые
методы: метод условного нелинейного программирования, метод наименьших
квадратов, интервальное оценивание, численные расчеты в пакете прикладных
программ MathCAD и имитационное компьютерное
моделирование. Научная новизна работы
заключается в применении метода наименьших квадратов при оптимизации весовых
коэффициентов ПБ, что позволило упростить процедуру поиска решения: вместо
задачи квадратичного программирования решается линейная оптимизационная задача
с ограничениями. Результат:
разработаны и апробированы методы поиска оптимальных параметров ПБ: 1)
предложена конструктивная процедура оптимизации весовых коэффициентов; 2)
проанализированы и обоснованы методы поиска «практически» оптимальных значений
порядка ПБ. Практическая значимость: аппроксимация
эмпирических распределений полиномами Бернштейна может успешно применяться при
проектировании телекоммуникационных систем, моделировании стохастических систем
и систем управления, решения задач статистической радиофизики и радиотехники и
др., поскольку погрешность аппроксимации мала, а методы расчета оптимальных
параметров ПБ достаточно просто реализуются средствами пакета прикладных
программ MathCAD.
Ключевые слова:
эмпирическое распределение
вероятностей, аппроксимация, полиномы Бернштейна, метод наименьших квадратов,
компьютерное моделирование.
Abstract.
The present
paper is devoted to approximation of the empirical unimodal and multimodal
distributions defined on a finite interval. The nonparametric approximation by
Bernstein polynomials is studied. A comparative analysis of the optimality
criteria is carried out.
The criteria
minimizing the root-mean-square error of approximation (L2
metric), the uniform metric L∞, the sigma-metric, the Kullback–Leibler
divergence, the
Anderson and
Darling (AD)
criterion, and the sum of the error squares are considered.
Instead of
AD statistics,
which is used in a well-known work by Bradley C. Turnbull, Sujit K. Ghosh
(2014),
it is suggested
to apply the criterion of the least squares method. This allowed to do without
solving quadratic programming problems.
Optimization of
the weight coefficients of the Bernstein polynomial is reduced to solving a
linear optimization problem with constraints. Stable and reliable solutions to
this problem using the Mathcad software are obtained.
Methods
for choosing the order of Bernstein polynomial are considered.
Search for the optimal order of Bernstein polynomials is carried out according
to the generally accepted scheme comprising calculation of an optimal
coefficients vector and assessment of approximation error under consistently
increasing polynomial order values. The criteria for stopping computations are
proposed, under which the order of polynomial is considered optimal.
The issue
concerning the necessary and sufficient accuracy of the approximation of
empirical distributions is discussed. A statistical approach based on interval
estimates of the histogram is proposed.
The results of computer simulation are presented, which confirm the working
ability and high efficiency of the proposed methods of approximation.
The
results of the work can be applied in solving a wide range of scientific and
practical problems related to the analysis of the distribution of empirical
data.
Key words:
empirical
probability distribution; approximation; Bernstein polynomials; least square
method; computer simulation.
Для цитирования:
Ф. В. Голик. Аппроксимация
эмпирических распределений вероятностей полиномами Бернштейна. Журнал радиоэлектроники
[электронный журнал]. 2018. № 7. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jul18/5/text.pdf
DOI
10.30898/1684-1719.2018.7.5