УДК 517.9

ВЫРОЖДЕНИЕ КНОИДАЛЬНЫХ ВОЛН В НЕОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА

 

А. П. Черняев¹, С. А. Черняева²

¹ Московский физико-технический институт (государственный университет), 141700, г. Долгопрудный Московской области, Институтский пер., д. 9

² Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана, 105082, Москва, ул. Рубцовская Набережная, 2/18

 

Статья поступила в редакцию 26 мая 2018 г.

 

Аннотация.  Уравнение Кортевега ­– де Фриза (КдФ) нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее весьма важную роль в теории нелинейных волн. Оно было получено Буссинеском в 1877 году, но подробный анализ был проведен уже Кортевегом и де Фризом в 1895 году. Первоначально КдФ возникло из потребностей гидродинамики, однако, со временем оно проникло не только в различные разделы математической физики, но и в многочисленные области научного знания. Для уравнения КдФ найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. Однако существуют и неограниченные решения этого уравнения, физический смысл которых пока не ясен. В настоящей работе мы рассматриваем процесс перерождения кноидальных волн в неограниченные периодические решения уравнения КдФ. Математически кноидальные волны описываются эллиптическими интегралами с параметрами, определяющими амплитуды и периоды. Они получаются благодаря процедуре поиска решений уравнения КдФ типа бегущей волны. Благодаря этому, уравнение КдФ приводится сначала к обыкновенному уравнению третьего порядка, а затем порядок обыкновенного дифференциального уравнения понижается до первого. Это обыкновенное уравнение интегрируется в эллиптических функциях и, поэтому кноидальные волны через эти эллиптические функции и выражаются. Интересно, что в случае перерождения кноидальных волн в неограниченные периодические решения, последние уже выражаются в элементарных функциях.

Ключевые слова: уравнение Кортевега – де Фриза, кноидальная волна, неограниченные периодические решения, эллиптические функции.

Abstract. The Korteweg – de Vries equation (KdV equation) is a third-order nonlinear partial differential equation that plays a very important role in the theory of nonlinear waves. It was obtained by Boussinesq in 1877, but a detailed analysis was done by Korteweg and de Vries in 1895. Firstly, the KdV equation was initiated by the needs of hydrodynamics, however, over time, it has penetrated not only into various branches of mathematical physics, but also in numerous fields of scientific knowledge. For the KdV equation, a large number of exact solutions, representing stationary nonlinear waves, are found. However, there are unbounded solutions of this equation, the physical content of that is not yet clear. In the present paper, we consider the process of transformation of cnoidal waves in unbounded periodic solution of the KdV equation. Cnoidal waves are mathematically described by elliptic integrals with parameters defining the amplitudes and periods. They are obtained by the procedure for search KdV equation solutions of traveling wave type. Through this, the KdV equation is reduced firstly to the third order ordinary equation, and then the order of the ordinary differential equation is reduced up to the first order. This ordinary equation is integrated in elliptic functions and, therefore, the cnoidal waves through these elliptic functions are expressed. It is worth to note that in the case of transformation of cnoidal waves into unbounded periodic solutions, the last are expressed through elementary functions.

Key words: Korteweg – de Vries, cnoidal wave, unbounded periodic solutions, elliptic functions.

 

Для цитирования:

А. П. Черняев, С. А.Черняева. Вырождение кноидальных волн в неограниченные решения для уравнения Кортевега - Де Фриза. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2018. № 6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun18/5/text.pdf

DOI 10.30898/1684-1719.2018.6.5