Процессы в полупроводниковом диоде при гармоническом воздействии

УДК 621.382.2

Процессы в полупроводниковом диоде при гармоническом воздействии

Д. В. Лосев, Д. С. Бардашов, А. Г. Быков

Томский государственный университет

Статья поступила в редакцию 21 апреля 2016 г.

Аннотация. В статье на основе применения методов теории функций комплексной переменной получено решение задачи об отклике полупроводникового p-n перехода на воздействие гармонического сигнала высокой частоты. Предложенное решение демонстрирует более точное описание переходных процессов (в частности уровней кратных гармоник исходного сигнала) по сравнению с классическим рассмотрением.

Ключевые слова: полупроводниковый p-n переход, переходные процессы, диффузионное приближение.

Abstract. The solution of the problem of the response of semiconductor p-n junction on the impact of the harmonic signal of high frequency is obtained in the work. The proposed solution was created by methods of complex variable functions theory. It demonstrates a more accurate description of transient processes (in particular, levels of multiple harmonics of the original signal) in comparison with classical consideration.

Key words: semiconductor p-n junction, transient processes, diffusion approximation.

Введение

Существующая теория взаимодействия полупроводникового p-n перехода с электромагнитным полем разработана, в основном, для случая приложенного постоянного напряжения после того, как переходные процессы завершились. В случае же быстро изменяющегося сигнала, когда влияние переходных процессов является определяющим, теория развита существенно слабее и ограничивается случаями гармонического сигнала в приближении его малой амплитуды и бесконечной длительности [1] и исследованием процессов включения/ выключения или переключения диода при изменении полярности напряжения на противоположную [2].

Математическое описание переходных процессов состоит в решении дифференциальных уравнений классическим или операционным методом. Это сложная проблема, которая допускает решение только для простейших электрических цепей, в основном линейных. В случаях же цепей, содержащих большое количество элементов (особенно нелинейных), точный расчет становится невозможным, и поведение системы определяется лишь опытным путем.

В предлагаемой работе делается попытка более точного учета переходных процессов при воздействии на p-n переход гармонического сигнала высокой частоты.

Решение дифференциального уравнения

Для исследования процессов в диоде необходимо решать уравнение непрерывности в диффузионном приближении [1]

Здесь рассматривается случай плоскостного несимметричного p-n перехода с полуограниченной базой, где – избыточная концентрация дырок в базе, превышающая равновесную концентрацию за счет приложенного электрического поля, – коэффициент диффузии дырок, – время жизни дырок, определяющее среднюю длительность рекомбинационных процессов в базе. Используем условие на границе p-n перехода [1]

(1)

где – воздействующее на диод напряжение.

Решение поставленной краевой задачи легко получается с помощью метода интегральных преобразований:

В диффузионном приближении плотность тока через p-n переход определяется его диффузионной составляющей [1]

т.е.

(2)

Случай гармонического воздействующего сигнала

Исследуем теперь зависимость плотности тока от времени при воздействии на p-n переход гармонического сигнала

(3)

период колебаний которого много меньше постоянной релаксации среды, роль которой играет время жизни дырок. Для этого случая непосредственное вычисление интеграла (2) численными методами приводит к неверному результату. Это связано со сложной структурой подынтегральной функции – быстрые осцилляции в показателе экспоненты соседствуют с особенностью в знаменателе на верхнем пределе, наличие больших () и малых () параметров не позволяет воспользоваться простыми асимптотическими приближениями. Непосредственное аналитическое вычисление интеграла наталкивается на отсутствие известных интегралов, хотя бы как-то соответствующих (2). Поэтому используем метод вычисления, основанный на применении интегрального преобразования Лапласа к интегралу (2), рассматриваемому как свертка оригиналов.

Применение прямого преобразования Лапласа к

(4)

дает

где [3]

где – функции Бесселя порядка . Обратное преобразование Лапласа приводит к выражению

(5)

Рис. 1. Контур для вычисления интеграла (5).

Вычисление этого интеграла производится с помощью теории вычетов [4]. Замкнем контур так, как показано на рис. 1, и учтем, что интеграл по дуге бесконечно большого радиуса вследствие леммы Жордана равен нулю [4], а интегралы вдоль верхнего и нижнего берегов разреза, соединяющего точки ветвления и многозначной функции , проходятся в противоположных направлениях, и значения квадратного корня отличаются знаком. Тогда, согласно теореме о вычетах, равен сумме вычетов в полюсах первого порядка

(6)

в существенно особой точке и удвоенного интеграла вдоль верхнего берега разреза, на котором принято арифметическое значение корня,

Последний интеграл с помощью замены приводится к удобной для численного интегрирования форме

Подчеркнем, что в отличие от интеграла (2) данный интеграл не содержит особенности на промежутке интегрирования и, благодаря быстро убывающей экспоненциальной функции, допускает быстрое и устойчивое к погрешностям численное интегрирование.

Для вычисления вычета в существенно особой точке необходимо разложить подынтегральную функцию в (5) в ряд Тейлора и выделить коэффициенты при степени . В приближении последовательно получаем:

Продолжая этот процесс, приходим к выражению для вычета в форме

где

Полученные ряды слишком сложны для точного вычисления, поэтому сделаем небольшое приближение

(для ),

(для ).

Тогда, используя очевидное тождество , можно представить вычет в виде

Меняя порядки суммирования и интегрирования и используя формулу [3]

получаем

Не совершая большой погрешности, заменим верхний предел интегралов на бесконечный, и воспользуемся формулой [5]

Тогда

Производя замену индекса суммирования , используя основное свойство гамма-функции и выражение для ряда [3]

а также значения , [6], окончательно получаем

Численный расчет показывает [7], что при выполнении условия преимущественный вклад в дает сумма вычетов (6), и

где – модифицированная функция Бесселя [6].

Пренебрегая малым слагаемым в последнем выражении и учитывая, что , ,

его можно представить как

а плотность тока (2), протекающего через диод –

(7)

Численное моделирование и анализ результатов

На рис. 2 представлена рассчитанная с помощью пакета Mathcad зависимость для сигнала (3). При этом использованы значения , ГГц, , , . Также для сравнения штриховой линией указана статическая характеристика диода, пропорциональная (1), в которой напряжение заменено на сигнал (3). Для удобства восприятия она умножена на масштабный множитель .

Отметим прежде всего существенную роль переходных процессов при быстром переключении диода, за счет чего зависимость приобретает сложный функциональный вид. При изменении полярности приложенного сигнала с положительной на отрицательную в начале имеет место резкий отрицательный выброс тока, который затем стремится к значению тока насыщения. Этот эффект давно известен, и ему дается следующее объяснение [2]: при быстром переключении дырки не успевают рекомбинировать, и поэтому обратный ток, который обычно мал за счет незначительного количества неосновных для -области носителей заряда, в этом случае имеет существенную величину. Постепенно избыток дырок в -области уменьшается за счет рекомбинации и вытекания в -область, и обратный ток приходит к своему статическому, малому значению. Поскольку в момент прохождения импульса переход пропускает ток в обе стороны практически одинаково и фактически не обладает выпрямляющими свойствами, то площади под кривыми в верхней и нижней полуплоскостями приблизительно равны.

Также интерес вызывает существенное увеличение значения тока по сравнению с низкочастотным сигналом (на величину порядка , при используемых параметрах приблизительно в 200 раз). Здесь имеет место похожая трактовка [2]: за счет наличия большого количества носителей заряда, не успевающих рекомбинировать, повышается удельная проводимость полупроводника , (, – подвижности электронов и дырок), и, согласно закону Ома, плотность тока.

Рис. 2. Зависимость j_p(t) для сигнала (3).

В заключение сравним представленное решение (7) с классическим решением, изложенным, например, в [1]. Оно получено методом комплексных амплитуд в предположении малости амплитуды воздействующего сигнала, в результате чего можно ограничиться линейными членами ряда Тейлора для экспоненты

Приведем результат для сигнала (3) при условии :

(8)

что совпадает с решением (7) при достаточно малых , для которых можно считать . При этом учтено соотношение Эйнштейна . Таким образом, классическое решение (8) справедливо только при очень малых величинах входного сигнала (при этом ). При более высоких уровнях сигнала проявляются гармоники на кратных частотах, благодаря чему зависимость обостряется и теряет гармоническую форму.

Результат расчета по формуле (8), умноженный на , также показан на рис. 2 пунктирной линией.

Таким образом, применение методов теории функции комплексной переменной позволяет точнее описывать характеристики полупроводниковых приборов при различных видах воздействующего сигнала.

Литература

1. Гаман В.И. Физика полупроводниковых приборов: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2000. – 426 с.

2. Носов Ю.Р. Полупроводниковые импульсные диоды. – М.: Сов. радио, 1965.–224 с.

3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-лит., 1981. – 800 с.

4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. 1973. – 749 с.

5. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. – 753 с.

6. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.

7. Быков А.Г., Лосев Д.В., Бардашов Д.С. Нелинейные свойства полупроводникового диода в импульсном режиме // Сборник статей IV Всероссийской научно-технической конференции «Электроника и микроэлектроника СВЧ». СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2015, Т. 2. – С.16-20.