Оценка вероятности обнаружения сигнала в многоканальной радиотехнической системе

Для вычисления вероятности обнаружения сигнала в n каналах радиотехнической системы из m предложена аппроксимация многомерной плотности распределения огибающих аддитивной смеси сигнала и помехи. Эта аппроксимация путем некоторого искажения корреляционных связей между огибающими в смежных каналах системы дает возможность достаточно просто вычислять интеграл от данной плотности распределения. Рассмотрен пример вычисления вероятности обнаружения сигнала в четырехканальной системе размера 2x2.

Рассмотрим приемную радиотехническую систему, предназначенную для измерения временной задержки и доплеровского сдвига частоты сигнала, отраженного от цели. Такая система является многоканальной и имеет в каждом канале дальности набор цифровых фильтров с фиксированными значениями доплеровских частот. Корреляционно-фильтровой матрицей (КФМ) будем называть совокупность приемных каналов для различных дальностей и доплеровских частот. Такая матрица получается, например, путем оптимальной обработки принятого сигнала при использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье.

Соседние численные значения элементов КФМ могут отличатся на достаточно малую величину, что приводит к появлению отраженного от цели сигнала в двух и более элементах матрицы. Представляет практический интерес вычисление характеристик обнаружения сигнала в n элементах КФМ из m (m³2) с учетом корреляционных связей между огибающими выходных значений смежных элементов данной матрицы. Знание указанных характеристик позволит определить вероятность того, что сигнал от одной цели занимает n элементов при заданном отношении сигнал/помеха и фиксированном уровне ложных тревог, который обеспечивает идеально функционирующая шумовая АРУ.

Считаем, что на вход приемной системы поступает аддитивная смесь сигнала и флуктуационной помехи. Сигнал является когерентной пачкой дружно флуктуирующих радиоимпульсов с релевским законом распределения огибающих и равномерным распределением начальных фаз.

Мгновенные значения сигнала на выходе линейной части приемной системы имеют нормальное распределение с параметрами (0, ). Флуктуационная помеха в полосе пропускания приемной системы является стационарным нормальным случайным процессом с параметрами (0, ).

Вероятность обнаружения сигнала в n элементах КФМ из m равна [1]

(1)

где - совместная плотность распределения огибающих на выходах элементов КФМ,

- пороговое значение, которое связано с - вероятностью ложной тревоги в одном элементе КФМ выражением

(2)

В дальнейшем отношение сигнал / шум считаем равным

(3)

Из выражения (1) следует, что для вычисления вероятности обнаружения сигнала в нескольких элементах КФМ необходимо определить функцию совместной плотности распределения . Для ее получения может быть использована методика, изложенная в [2]. При этом выражение для m – мерной функции плотности распределения огибающих представляют в виде произведения показательных и бесселевых функций. Интегрирование данного произведения при разложении бесселевых функций в ряд по коэффициентам корреляции не позволяет получить соотношения, удобного для вычисления вероятности обнаружения сигнала в n элементах матрицы КФМ из m.

Введем эмпирическую аппроксимацию, которая путем незначительного искажения корреляционных связей между огибающими аддитивной смеси сигнала и помехи в смежных элементах КФМ , дает возможность достаточно просто вычислять интеграл в выражении (1). Представим вероятность обнаружения сигнала в n элементах КФМ из m в следующем виде

(4)

В формуле (4) интегрирование по каждой переменной ведется от нуля до бесконечности, а значения порога учитывается в показательных функциях с помощью коэффициентов , которые введены в подынтегральное выражения. Выбор показательных функций основан на предположении, что с ростом значений огибающей и вероятности превышения порога умножение подынтегрального выражения в соотношении (1) на функцию вида

(5)

не изменяет характера этой зависимости. Аналогичные рассуждения можно провести для случая не превышения порога в - м элементе КФМ, где соответствующая вероятность с ростом значения огибающей уменьшается и, следовательно, выбирается функция вида

(6)

Значение коэффициента в выражениях (5) и (6) может быть найдено из условия совпадения соотношений (1) и (4) для одномерного случая m=1. Согласно предложенной аппроксимации имеем

(7)

(8)

Для введенных выше статистических характеристик сигнала и помехи распределение огибающей аддитивной смеси сигнала и помехи совпадает с релеевской функцией [1]

(9)

при ,

Подставим формулу (9) в выражения (7) и (8)

(10)

(11)

Учитывая, что вероятности и образуют полную группу событий, т.е.

(12)

Из соотношений (10)-(12) находим

(13)

В формуле (4) заменим плотность распределения огибающих аддитивной смеси сигнала и помехи на совместную плотность распределения квадратурных составляющих этой смеси . Представим совместную плотность распределения в виде 2m-мерной нормальной плотности распределения

(14)

где - дисперсия квадратурной составляющей смеси сигнала и помехи,

- детерминант корреляционной матрицы , соответствующей данной плотности распределения,

- алгебраическое дополнение элемента в матрице .

Подставим соотношение (14) в выражение (4)

(15)

Введем обозначение

(16)

Используя формулу произведения двучленов [3], получаем

(17)

где ,

и в общем виде есть сумма всевозможных произведений чисел , , …. Предположим, что величина , соотношение (17) можно представить в виде

(18)

при ,

где число сочетаний из n по i.

Подставим выражение (18) в формулу (15) с учетом соотношения (16), меняя местами в формуле (15) операции интегрирования и суммирования, а также учитывая независимость квадратурных составляющих огибающих аддитивной смеси сигнала и помехи и , в совпадающие моменты времени, получаем

(19)

при ,

где .

Из анализа правой части соотношения (19) следует, что выражение вида

соответствует вероятности не превышения порога в (m+i-n) элементах матрицы КФМ. Тогда вероятность обнаружения сигнала в n элементах матрицы КФМ из m может быть определена в виде

(20)

при .

Из выражения (20) следует, что для определения вероятности обнаружения сигнала в n элементах КФМ из m необходимо вычислить вероятности непревышения порога для любого m. При n=0 из соотношения (19) получаем

(21)

(22)

В векторной форме выражение (21) имеет вид

(23)

где - вектор столбец размерности [1´m],

- положительно определенная матрица размера [m´m].

Интеграл в правой части соотношения (23) равен [3]

(24)

Вероятность непревышения порога в m элементах матрицы КФМ с учетом соотношения (24) равна

(25)

Подставляя выражение (25) в формулу (20), получаем итоговое соотношение для определения вероятности обнаружения сигнала в n элементах КФМ из m

(26)

при ,

где - детерминант корреляционной матрицы , а элементы матрицы определяются по формуле (22).

В качестве примера рассмотрим КФМ, состоящую из четырех элементов – m=4 (см. рис. 1). Для каждого столбца или строки этой матрицы (при m=2) корреляционная матрица, соответствующая совместному распределению квадратурных составляющих огибающих аддитивной смеси сигнала и помехи в совпадающие моменты времени, имеет вид

(27)

где - коэффициент корреляции между значениями огибающих аддитивной смеси сигнала и помехи в строке или столбце матрицы.

Рис. 1

Детерминант корреляционной матрицы равен

(28)

Вычислим матрицу по формуле (22). Детерминант этой матрицы равен

(29)

Подставляя соотношения (28) и (29) в формулу (26), получаем

(30)

В выражении (30) при имеем точное равенство

(31)

где вероятность непревышения порога в одном элементе КФМ вычисляется по формуле (10).

Аналогично вероятности могут быть определены вероятности непревышения порога для трех и четырех элементов КФМ, соответственно, и . Полученные значения вероятностей непревышения порога - , , необходимо подставить в выражение (20). Например, вероятность превышения порога в двух или трех элементах КФМ их четырех равна

(32)

Пусть параметры сигнала цели соответствуют положению точки на рис. 1, т.е. отстоят от центра элемента 1 по времени на и частоте на , где и - размеры элемента КФМ. Если опрос элементов КФМ проводится в один и тот же момент времени, то коэффициенты корреляции в этих элементах равны

, , .

На рис. 2 представлены зависимости (сплошные кривые) обнаружения сигнала в трех из четырех и необнаружения сигнала в четырех элементах КФМ от отношения сигнал / помеха (см. формулу (3)) при фиксированной вероятности ложной тревоги в одном элементе. Выбранные примеры характеризуются большим диапазоном изменения вероятностей и удобны для сравнения результатов расчета и цифрового моделирования.

Цифровое моделирование многоканальной системы проведено с помощью метода комплексной огибающей в матричной форме [4]. В основу данного подхода положены метод комплексных огибающих и уравнения метода пространства состояний, которые записываются в матричной форме и позволяют получить основные зависимости в компактном виде, удобном для программирования на ЦВМ. При этом, задав в качестве компонент вектора состояний значения огибающих выходных напряжений элементов КФМ рассматриваемой системы, можно одновременно проанализировать всю совокупность данных элементов.

На рис. 2 представлены результаты цифрового моделирования (пунктирные кривые) при условиях, описанных выше.

Рис. 2.

Как видно из рис. 2 погрешность между результатами расчета и цифрового моделирования не превосходит 10-15%, что свидетельствует об удовлетворительной аппроксимации многомерной плотности распределения огибающих в элементах КФМ на основе соотношения (26).

Список Литературы:

Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. – 2-изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 1982.
Пугачев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: Мир, 1995.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – 10-изд. стереотипное. – М.: Наука, 1964.
Субботин С.В., Большаков Д.Ю. Цифровое моделирование многоканальных радиотехнических устройств с помощью метода комплексной огибающей в матричной форме. ОАО "Концерн ПВО "Алмаз-Антей" - Вычислительные устройства и ПО РЛС (тематический сборник) 2003, с. 105-109.

Субботин Сергей Валентинович, Большаков Денис Юрьевич zuml@mail.ru

ОАО "Научно-исследовательский электромеханический институт" (ОАО "НИЭМИ")