УДК 537.8

векторное Интегральное представление нестационарного электромагнитного поля в проводящей среде

А. С. Ильинский, И. Г. Ефимова

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Получена 24 ноября 2010 г.

Аннотация. Векторы напряженностей нестационарного электромагнитного поля в однородной изотропной проводящей среде представлены во временной области в интегральной форме.

Ключевые слова: нестационарное электромагнитное поле, проводящая среда, интегральное представление.

В соответствии с известной теоремой эквивалентности монохроматическое электромагнитное поле в однородной изотропной среде может быть выражено в интегральной форме через значения векторов напряженностей электрического и магнитного полей на замкнутой поверхности [1-4]. Интегральные представления в частотной области для напряженностей электрического и магнитного полей, называемые формулами Стрэттона-Чу и справедливые при любых значениях материальных параметров среды, были получены и подробно проанализированы в [1, 4]. Эти представления широко используются для составления частотных интегральных уравнений, которые применяются для решения разнообразных электродинамических задач [2, 4-7].

Во временной области электромагнитное поле, существующее в непроводящей среде, также может быть представлено в интегральной форме через значения напряженностей электрического и магнитного полей на замкнутой поверхности. В этом случае напряженности полей, входящие в подынтегральные выражения, являются функциями от запаздывающего временного аргумента. Такое представление было получено в скалярной [1] и векторной [2] формах и успешно применяется для составления временных интегральных уравнений, используемых в численных исследованиях рассеяния нестационарного электромагнитного поля на идеально проводящих телах и диэлектрических телах без потерь, расположенных в непроводящей среде [2, 8, 9]. Вопросы существования и единственности решения временных интегральных уравнений для тока, наведенного на поверхности идеально проводящего рассеивателя, рассматривались в [10, 11]. Однако к настоящему времени метод временных интегральных уравнений не был разработан для случая проводящей среды, поскольку не было получено интегральное представление нестационарного электромагнитного поля в такой среде. В книге [1] отмечено, что при применении метода Кирхгофа интегрирования неоднородного волнового уравнения наличие проводимости среды приводит к значительным аналитическим трудностям.

Целью настоящей работы является получение временного интегрального представления нестационарного электромагнитного поля в однородной изотропной среде, обладающей проводимостью.

Будем рассматривать однородную изотропную среду с материальными параметрами, не зависящими ни от времени ни от пространственных координат. В этом случае уравнения Максвелла имеют вид

,                                                                              (1)

где  и  - векторы напряженностей электрического и магнитного полей, соответственно,  - диэлектрическая проницаемость,  - магнитная проницаемость,  - удельная электрическая проводимость,  - удельная магнитная проводимость,  и  - объемные плотности сторонних электрического и магнитного токов, соответственно. Предполагается, что , ,  и  являются постоянными величинами, а  и  конечными функциями непрерывными вместе со всеми своими производными во всех обыкновенных точках пространства (в которых нет резких изменений физических свойств среды).

Считаем, что сторонние токи и заряды удовлетворяют уравнениям непрерывности

,

,                                                                                            (2)

где  и  объемные плотности электрического и магнитного зарядов, соответственно. Также мы предполагаем, что все функции времени, рассматриваемые в данной задаче, - напряженности электрического и магнитного полей, объемные плотности сторонних токов и зарядов - равны нулю вместе со своими производными до момента времени  включительно.

          Из уравнений Максвелла (1) и уравнений непрерывности (2) можно получить соотношения

,

,                                               (3)

где

.                                                                       (4)

          Уравнения (1) и (3) составляют полную систему уравнений, описывающих электромагнитное поле в однородной изотропной среде. Запишем векторные волновые уравнения для  и. Имеем из первого и второго уравнений Максвелла

                                (5)

и

,                                (6)

соответственно. Перепишем волновые уравнения (5) и (6) в виде

,                                                                            (7)

.                                                                              (8)

Далее проведем выкладки только для поля , а затем перейдем к результату для поля  по принципу двойственности [3]. В силу векторного тождества

уравнение (7) можно представить в виде

,                                                             (9)

где  - скорость света.

Введем обозначения

.                                                                                    (10)

Тогда волновое уравнение в формах (7) и (9) можно записать в виде

,                            (11)

,                  (12)

соответственно. Волновое уравнение можно упростить, избавившись от первой производной поля по времени с помощью замены

.                                                                                              (13)

Кроме того, в уравнении (7) введем замены

,

,                                                                                   (14)

Вычислив первую и вторую производные поля по времени

и учитывая замены (13) и (14), преобразуем уравнение (7) к виду

.      (15)

Для получения интегрального представления напряженности нестационарного электрического поля, удовлетворяющего волновому уравнению (15), мы применим методику из книги [1] и будем использовать векторный аналог теоремы Грина. Пусть  замкнутая область пространства, ограниченная регулярной (удовлетворяющей условиям Ляпунова) поверхностью ,  и  векторные функции точки, непрерывные в области  и на поверхности  вместе со своими первыми и вторыми производными. Тогда, как показано в [1], имеет место векторный аналог теоремы Грина

,                                          (16)

где  - внешняя нормаль к поверхности . Положим в (16)

 и ,                                                                                                    (17)

 где  постоянный единичный вектор произвольного направления. С использованием формул векторного анализа получаем левую часть (16) в виде

.                                (18)

Так как = const и

 ,

имеем

.                                  (19)

Здесь постоянный вектор  вынесен за знак интеграла как общий множитель подынтегральных слагаемых.

Теперь вычислим правую часть (16) и с помощью формул векторного анализа преобразуем входящие в нее подынтегральные слагаемые так, чтобы вектор  являлся их общим множителем. В результате имеем

,(20)

где вектор  вынесен за знак интеграла, как постоянный коэффициент, являющийся общим множителем подынтегральных слагаемых.

Приравнивая выражения (19) и (20), получим (16) в виде

.                                                                 (21)

Вводя замену

                                                                                             (22)

и подставляя выражение для  из (15) в (21) с учетом (13) и (14), получим

.                           (23)

Здесь учтены равенства

                                                                                     (24)

и

,                                                              (25)

а также тождество

,                                                             (26)

которое следует из формул векторного анализа

                                                                                 (27)

и

.                                                                                       (28)

В формуле (23) обозначим объемный и поверхностный интегралы  и , соответственно, т.е.,

,                                                        (29)

.                                                            (30)

Выберем в качестве  решение скалярного однородного волнового уравнения для непроводящей среды

и вычислим сумму . Имеем

.

Прямая проверка показывает, что

.                                                                                     (31)

С учетом равенства (31) получим выражение для объемного интеграла :

.                                                    (32)

Следуя методике [1], положим

,                                                 (33)

где ,  - декартовы координаты точки наблюдения,  - декартовы координаты точки интегрирования в формуле (16), , а  - некоторый постоянный малый параметр, который в дальнейшем будет устремлен к нулю.

Мы рассматриваем непрерывные функции [12] такие, для которых

                                                                                             (34)

и

.                                                                               (35)

При  функция  превращается в -функцию. Нормировка  такова, что

.                                                                                                       (36)

Для того, чтобы иметь дело с функцией, которая непрерывна со своими производными, пока мы не будем переходить к пределу при . (В дальнейшем мы проинтегрируем левую и правую части равенства (23) по времени от  до  и перейдем к пределу при .)

Подставим выражение (33) для  в объемный интеграл (32), учтем, что

,          (37)

где  - это единичный вектор, направленный от точки интегрирования  к точке наблюдения ,

,                                                                             (38)

и проинтегрируем результат по времени от  до . В результате получим

.                                                                                (39)

В силу (34) можно поменять порядок интегрирования в (39). Учитывая, что

,

и что, в соответствии с (33),  при  и , имеем

 .                                      (40)

В (39) перейдем к пределу при  и учтем (40):

.          (41)

Так как

,                                                                              (42)

то с учетом свойств -функции [12]

                                                                                    (43)

и

,                                                                     (44)

мы получаем из (41)

.                                                         (45)

Теперь рассмотрим поверхностный интеграл в (23) с учетом замен (13), (14) и (22):

.           (46)

Функция  имеет особенность в точке . Следуя методике [1], окружим эту точку сферой  малого радиуса  с центром в точке наблюдения , исключив тем самым эту точку из области . Имеем

                                                                                                         (47)

где  - это внешняя поверхность, ограничивающая объем ,

,                                                               (48)

.                                                                (49)

Рассмотрим первый из поверхностных интегралов и вычислим сумму двух первых слагаемых подынтегрального выражения. Напомним, что  - это внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей объем , а единичный вектор  направлен к точке наблюдения . На поверхности имеем . Представив выражение для  (37) в виде

,                                                                   (50)

имеем

.                                             (51)

Так как

,

то

                            (52)

и, следовательно,

.                                                                            (53)

Теперь проинтегрируем выражение (52) от  до  и перейдем к пределу при , учитывая свойства рассматриваемых функций (34) и (35) и свойства -функции (43) и (44):

 

.                           (54)

Далее, устремляя радиус маленькой сферы  к нулю, , получим

.                                                                                (55)

Рассмотрим интеграл по внешней поверхности  , выраженный соотношением (49):

.                                                         (56)

На поверхности  вектор  направлен к точке наблюдения, т.е., внутрь .

Далее проинтегрируем выражение (56) от  до  и перейдем к пределу при , учитывая свойства рассматриваемых функций (34) и (35) и свойства -функции (43) и (44):

 .                          (57)

Используя равенство

                                           (58)

и соотношения (23), (45), (47), (55), (57) и (58), получим

.                                                            (59)

Повторяя рассуждение [1] о том, что момент наблюдения  выбран произвольно, можно переписать (59) в виде

.                                                                                            (60)

Формулу (60) можно получить и формально. Для этого нужно везде сделать замену  и в формуле (33) положить .

Применив принцип двойственности [3] к (60), получаем интегральное представление для вектора напряженности нестационарного магнитного поля

.                          (61)

В случае, когда все функции зависят от времени как  и , формулы (60) и (61) переходят в интегральные представления [1, раздел 8.14, с. 410, формулы (19), (20)] известные как формулы Стрэттона-Чу.

Таким образом, получены интегральные представления для векторов напряженностей нестационарных электрического и магнитного полей в однородной изотропной проводящей среде. В соответствии с полученными соотношениями, поле в любой момент времени в произвольной точке внутри некоторого объема выражается через  интеграл по поверхности, ограничивающей данный объем,  и интеграл по объему. Подынтегральные функции содержат значения напряженностей полей, сторонних токов и зарядов, а также производных этих величин по времени в моменты, предшествующие моменту наблюдения.

ЛИТЕРАТУРA

1. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

2. Вычислительные методы в электродинамике /Под ред. Р. Митры. М.: Мир, 1977.

3. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М: Радио и связь, 1983.

4. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Издательство Московского университета, 1987.

5. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

6. Васильев Е. Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.

7. Ильинский А. С., Слепян Г. Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Издательство Московского университета, 1983.

8. Transient Electromagnetic Fields/ Ed. by L. B. Felsen (Topics in Applied Physics, V. 10). New York: Springer--Verlag, 1977.

9. Васильев Е. Н., Ефимова, И.Г.// Известия вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27. №1. С.87--95.

10. Кравцов В. В.// Вычислительные методы и программированию. Сб. работ Вычислительного центра МГУ. Вып. 5. 1966. С. 260.

11. Ефимова И. Г.// Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53. №12. С. 1486-1488.

12. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.