ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТОК СО СЛУЧАЙНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ДЕЦИМАЦИЕЙ

Ф. В. Голик, Е. А. Порхунов
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Получена 25 сентября 2008 г

Анализируется поток точек, следующих с постоянным неизвестным периодом, содержащий конечное, но неизвестное число точек, каждая из которых может быть децимирована (потеряна) с неизвестной вероятностью. Предложена процедура преобразования потока, позволяющая обнаружить поток и оценить его параметры – период следования, вероятность децимации, число точек в исходном потоке и координату центра потока. Построены рабочие характеристики обнаружения и найдены характеристики оценок параметров потока. Исследуемый процесс может служить адекватной моделью обнаружения пачки импульсных радиосигналов на фоне некоррелированной помехи, принимаемых пассивным радиолокатором, реализующим критерий обнаружения Неймана-Пирсона при задании предельно низкой (практически нулевой) вероятности ложного обнаружения одиночного сигнала.

Ключевые слова: обнаружение сигналов, обработка сигналов, радиолокация.

Постановка задачи

Формально поток точек может быть представлен вектором

(1)

где - момент возникновения i-й точки, а N – количество точек или размер потока[1].

Положим, что отсчет времени ведется с момента начала наблюдения . Тогда поток с постоянным периодом T есть вектор

. (2)

Каждая точка потока может быть потеряна с вероятностью q и сохранена с вероятностью . Тогда децимированному потоку соответствует вектор

. (3)

По условию задачи децимация точек взаимно независима, т. е.

Априори период следования T, размер N потока и вероятность q децимации неизвестны.

Цель настоящей работы состоит в разработке процедуры обнаружения децимированного потока и нахождения оценок его параметров.

Обнаружение периодичности

Периодический поток без потерь

В отличие от общеизвестных методов обнаружения пачки сигналов (потока точек) в настоящей работе предложен подход, основанный на обнаружении периодичности исследуемого процесса. Действительно, если удастся доказать, что наблюдаемый поток периодический, то можно утверждать, что он порожден некоторым источником детерминированного, а не случайного процесса. То есть обнаружение периодичности равносильно обнаружению цели.

Процедуры, предназначенные для выявления периодичности, базируются на общем подходе, заключающемся в таком преобразовании анализируемого процесса, при котором максимально усиливаются периодические составляющие и подавляются апериодические [1].

Поставим в соответствие каждой точке потока дельта-функцию и представим поток следующим образом:

(4)

Косинус-преобразование Фурье потока (4) равно:

. (5)

Точки потока появляются в моменты , следовательно [2, 1.341.3]:

Совместив начало интервала наблюдения с моментом появления первой точки потока, т. е. приняв и, тем самым, компенсировав эпоху, получаем:

. (6)

Следует подчеркнуть, что компенсация эпохи таким способом возможна далеко не всегда. Действительно, в случае анализа суперпозиции потоков можно компенсировать эпоху только одного потока (если вероятностью появления в момент точек, принадлежащих двум и более потока можно пренебречь). В настоящей работе исследуются потоки, для которых эпоха может быть компенсирована указанным способом, т. е. потоки с нулевой эпохой.

Функция (6) принимает максимальные значения, равные N, при Откуда следует, что найдя точку максимума и его номер k, определим и период потока: . Нетрудно убедиться, что производная функции (6) в точках равна нулю. Следовательно, оценка периода несмещенная.

Таким образом, признаком наличия периодичности является существование глобальных максимумов функции (6) в точках .

Периодический поток с независимой децимацией

Рассмотрим поток с потерей точек.

Выполнив для потока (3) преобразования, аналогичные (4, 5), получаем косинус-преобразование потока:

(7)

где n – количество точек, потерянных подряд в начале потока. Множитель позволяет исключить отклики от точек, потерянных в начале потока.

Функция (7) случайна. Для исследования ее свойства найдем ее математическое ожидание.

Поскольку по определению случайные множители взаимно независимы, то случайная величина n распределена по «ограниченному» геометрическому закону:

(8)

Выполнив необходимые преобразования с учетом (8) получаем, что среднее значение функции равно:

(9)

где

;

Полное аналитическое исследование функции (9) затруднено. Однако можно показать, что глобальные максимумы расположены в точках и оценка периода потока равна . Подставив в (9) , убеждаемся, что функция (9) принимает максимальное значение, равное Np. Это в точности соответствует математическому ожиданию распределения Бернулли, модель которого, по существу, и реализуется в потоке с независимой децимацией. Численные расчеты показывают, что производная по f среднего значения косинус-преобразования при равна нулю и не зависит от вероятности p. Следовательно, оценка периода T несмещенная. Точность измерения периода зависит только от шага дискретизации частоты f .

Рис. 1. Математическое ожидание косинус-преобразования и косинус-преобразование случайной реализации при p=0.5 и N=20. Период следования точек T=1

Таким образом, и в случае децимированного потока существует возможность обнаружения периодичности по наличию глобальных максимумов косинус-преобразования (7) в точках .

Обнаружение потока

В отличие от общепринятых понятий обнаружения сигнала в рассматриваемом случае под правильным обнаружением потока понимается фиксация двух событий: 1) поток содержит больше z точек и 2) глобальные максимумы косинус-преобразования (7) находятся в точках . Первое условие не требует пояснений. Выполнение второго требования связано с тем, что существуют такие комбинации точек децимированного потока, при которых глобальные максимумы функции (7) возникают не только на частотах , но и на кратных частотах , где d – произведение наименьших общих делителей номеров точек, сохранившихся в потоке. В принципе не важно, на какой именно частоте появился ложный глобальный максимум. Достаточно убедиться, что он есть (d > 1) или его нет (d = 1). При d = 1 частота следования точек оценивается по положению первого глобального максимума и равна 1/T. Таким образом, будем считать, что:

- поток обнаружен правильно, если число точек r потока больше z и d = 1 (поток обнаружен и частота оценена верно);

- произошло ложное обнаружение, если r > z и d > 1 (поток обнаружен, но частота оценена неверно);

- поток не обнаружен, если .

Характеристики обнаружения

При расчете вероятностей обнаружения основная сложность состоит в определении вероятности того, что произведение общих делителей номеров сохранившихся точек, равно 1. Нам не удалось получить решение в общем виде. Поэтому вероятностные характеристики найдены с путем статистического моделирования. Оценки вероятностей получены по 10⁴ реализациям, что гарантирует их высокую надежность. При моделировании параметры потока изменялись в следующих пределах: вероятность сохранения точки p = 0.1, 0.2,…0.9; размер потока N = 10, 15,…50. Порог обнаружения z принимался равным z =2, 3, 4. Шаг квантования функции меньше . Ограничения на дискретизацию частоты f не накладывались.

После обработки статистических данных оказалось, что вероятность D правильного обнаружения хорошо аппроксимируется функцией (10) при коэффициенте детерминации не менее 0.9998.

(10)

где .

Значения коэффициентов функции X приведены в табл. 1

Таблица 1

z	a	b
2	1.0147	-0.0485
3	1.0241	-0.0247
4	1.0221	-0.0099

На рис. 2 приведен график зависимости вероятности правильного обнаружения D от вероятности p при N =30, рассчитанной по формуле (10) и ее статистические оценки при пороге обнаружения z = 2.

Рис. 2. Вероятность D правильного обнаружения потока в зависимости от вероятности p при N=30 и пороге z=2

Вероятность пропуска, очевидно, равна

, (11)

а вероятность ложного обнаружения определяется из условия вероятности полной группы событий:

(12)

Вероятность ошибки равна сумме вероятностей пропуска и ложного обнаружения или:

(13)

На рис. 3…6 приведены зависимости вероятностей (10)…(13) от p при разных значениях N.

Рис. 3. Вероятность F ложного обнаружения потока в зависимости от вероятности p при разных размерах N и пороге z=2

Рис. 4. Вероятность D правильного обнаружения потока в зависимости от вероятности p при разных размерах N и пороге z=2

Рис. 5. Вероятность пропуска потока в зависимости от вероятности p при разных размерах N и пороге z=2

Рис. 6. Вероятность суммарной вероятности E ошибки обнаружения потока в зависимости от вероятности p при разных размерах N и пороге z=2

Рабочие характеристики по вероятностям правильного и ложного обнаружения можно найти из (10), (12), решая уравнения

(14)

относительно параметров потока p и N. Здесь - заданные значения соответствующих вероятностей.

На основании численного решения уравнений (14) построены рабочие характеристики для значений порога обнаружения z =2, 3, 4 при = 0.95, 0.99, 0.999, 0.9999 и при = 10^-3, 10^-4, 10^-5, 10^-6, графики которых при z =2 приведены на рис. 7 и 8.

Рис. 7. Зависимость вероятности p от размера N потока при заданных вероятностях F0 ложного обнаружения и пороге z=2

Рис. 8. Зависимость вероятности p от размера N потока при заданных вероятностях D0 правильного обнаружения и пороге z=2

Из графиков следует, что с увеличением размера потока N требования по величине вероятности p существенно снижаются. Так при N = 30 и p = 0.5 вероятность правильного обнаружения больше 0.9999, а вероятность ложного обнаружения равна 10^-5. При N = 60 те же характеристики можно получить уже при вероятности p = 0.2.

Рабочие характеристики хорошо аппроксимируются функцией вида

(15)

Значения коэффициентов c, d, e, g приведены в Приложении.

Оптимизация порога обнаружения

Постановка задачи обнаружения потока, рассматриваемая в настоящей работе, отличается от классической задачи обнаружения сигнала. Во-первых, в нашем случае под правильным обнаружением понимается выполнение двух условий одновременно: число точек потока больше z и период потока оценен верно. То есть, совмещены две процедуры – обнаружения и оценки. Во-вторых, предполагается, что поток присутствует всегда, то есть априорная вероятность «наличия цели» равна единице.

Тогда критерий идеального наблюдателя сводится к минимизации вероятности суммарной ошибки, равной

(16)

Вероятность E является неубывающей функцией порога z. Следовательно, вероятность ошибки будет минимальна при наименьшем значении порога, при котором в принципе возможно получение однозначной оценки периода следования точек. Таким значением является z = 2.

Вероятность E зависит и от параметров потока N и p, которые априори неизвестны. Полагая, что вероятность p равномерно распределена на интервале (0,1], а размер потока так же равномерно распределен на интервале [N₀, N₁], можно найти средние значения вероятностей ошибки при разных z. Численные расчеты дают следующие значения средних вероятностей суммарной ошибки при :

Таблица 2

N₁	Порог z
N₁	2	3	4
50	0.140	0.170	0.202
100	0.095	0.114	0.134

Наименьшее значение средней вероятности ошибки оказываются при минимально допустимом пороге. Таким образом, оптимальным порогом обнаружения можно считать z₀ = 2.

Оценка параметров потока

Оценки размера потока и вероятности децимации

При идентификации источника, порождающего поток, в качестве дополнительной информации полезно использовать оценки параметров потока. Так, если известно примерное число импульсов в пачке радиолокационного сигнала и обнаруженным импульсам пачки соответствуют точки потока, то после обнаружения потока можно найти оценку его размера. Если окажется, что , то это может служить дополнительным подтверждением правильности принятого решения об обнаружении цели.

Обозначим моменты появления первой и последней точки соответственно . Между этими крайними точками имеется n позиций. Очевидно , где - ближайшее меньшее целое , - оценка периода.

На n позициях может оказаться k точек. Поток можно обнаружить, если общее число точек k + 2 больше порога z. Откуда следует, что k = z-1…n.

Допустим, что наблюдатель имеет возможность регистрировать только две величины – r=k+2 и n. На основании этих данных найдем максимально правдоподобные оценки вероятности сохранения точки потока и размера исходного потока.

Функция правдоподобия равна

(17)

Полагая N непрерывной величиной, можно показать, что функция (17) почти при всех допустимых значениях n и k имеет единственный максимум, в точке которого производные по p и N равны нулю. Исключение составляет случай, когда При этом функция правдоподобия достигает максимума в точке , координаты которой являются максимально правдоподобными оценками для рассматриваемого частного случая.

При для нахождения оценок параметров p и N применимы стандартные процедуры метода максимального правдоподобия.

Найдем логарифм функции правдоподобия

и вычислим его частные производные по p и N:

Приравняв производные нулю, получаем систему уравнений:

(18)

(19)

К сожалению, система уравнений (18), (19) не имеет решения в замкнутой форме. Для приближенного решения представим первыми членами ряда [2, 1.512]

(20)

Используя приближение первым членом ряда (20), получаем уравнение:

корень которого равен:

(21)

При приближении двумя членами ряда (20) получаем

(22)

При аппроксимации тремя членами ряда формула для оценки размера потока слишком громоздка и не дает заметного выигрыша по точности.

Строго говоря, для оценки не существует точного решения, поскольку N - целочисленная величина, а выражения (18, 19) и связанные с ними получены в предположении ее непрерывности. Поэтому оценки приходится округлять. Приведем расчетные формулы для максимально правдоподобных оценок длины потока и вероятности сохранения точки в потоке:

, .

Здесь - функция округления числа x до ближайшего целого.

С помощью статистического имитационного моделирования найдены средние значения и дисперсии оценок и при следующих параметрах исходного потока: . Порог обнаружения z = 2. Число реализаций 10⁴. На основании результатов моделирования можно утверждать, что оценки и смещенные и состоятельные по размеру N потока – с увеличением N смещение и дисперсия монотонно убывают и стремятся к нулю.

Зависимость вероятности p, при которой модуль относительной ошибки не превышает заданного значения %, хорошо аппроксимируется функцией (23) при коэффициенте детерминации больше 0.995.

. (23)

Значения коэффициентов приведены в табл. 3, а графики на рис. 9.

Таблица 3

Относительная ошибка %	Оценка вероятности p		Оценка размера N
Относительная ошибка %	a	b	a	b
5	-0.2706	1.3723	-0.2367	1.2117
10	-0.2392	1.1299	-0.1661	0.8115

Рис. 9. Зависимость вероятности p от размера N потока при заданных относительных ошибках оценок вероятности p и размера N

Из графиков рис. 9 видно, что уже при сравнительно небольших размерах N потока можно получить достаточно точные оценки его параметров. Так при N = 30 и вероятности p = 0.4 относительные погрешности не превышают 5%.

Оценка координаты центра потока

Положим, что поток обнаружен, следовательно, известен его период T. Тогда координату центра достаточно выразить через номера точек, т. е. получить нормированную по T координату.

Отметим, что задача оценки координаты центра потока эквивалентна задаче оценки азимута цели по пачке двоично-квантованных сигналов при воздействии некоррелированной помехи. Известны эвристические и оптимальные алгоритмы оценки азимута [3].

Рассмотрим простейший алгоритм оценки по номерам первой и последней точек:

. (24)

Характеристики оценки можно найти, используя распределение общего числа v точек, потерянных в начале и конце потока, при условии, что в потоке сохранилось больше z точек:

Математическое ожидание оценки координаты центра потока вычисляется по формуле

которая преобразуется к виду:

Откуда следует, что оценка координаты центра потока несмещенная.

Дисперсия оценки равна:

Можно показать, что дисперсия уменьшается с ростом N, следовательно, оценка (24) состоятельная по размеру потока.

Рис. 10. Зависимость коэффициента вариации оценки координаты центра потока от вероятности p при различных размерах N

На рис. 10 приведены графики зависимости коэффициента вариации оценки от вероятности p при различных значениях размера потока N.

Распределение координаты центра можно найти с помощью расчетной формулы:

где ,

- матрица количества точек, сохранившихся в потоке.

Распределение координаты центра потока симметричное, эксцесс положительный.

Заключение

Полученные результаты могут служить основой для построения алгоритма обнаружения пачки радиоимпульсов, поступающей на вход пассивного радиолокатора, а также оценки параметров – периода следования радиоимпульсов, длительности пачки, координаты ее центра. При этом предполагается, что вероятность ложного обнаружения одиночного сигнала пренебрежимо мала и отсутствует многолучевое распространение сигнала от источника излучения. Кроме того, принято, что погрешность оценки временного положения радиоимпульсов мала. Перечисленные ограничения достаточно строги и редко выполняются на практике в полном объеме. Однако, на наш взгляд, развитие предложенного подхода может оказаться продуктивным для решения и более сложных задач.

Литература

1. Серебренников М. Г., Первозванский А. А. Выявление скрытых периодичностей. - М.: Наука, 1965. - 244 с.: ил.

2. Градштейн И. С., Рыжик И. М.: Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.: ил.

3. Кузьмин С. З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. – М.: Радио и связь, 1986.- 352 с.: ил.

Приложение. Коэффициенты функции (15), аппроксимирующей рабочие характеристики обнаружения децимированного потока

Таблица П1

Порог обнаружения z = 2
Вероятность D₀	c	d	e	g
0.95	7.12608	-0.97329	-8.51202	-1.63158
0.99	14.04819	-1.02771	-17.50963	-1.43442
0.999	19.44982	-1.02910	-27.58727	-1.42917
0.9999	54.78414	-1.09737	-65.26045	-1.27006
Вероятность F₀	c	d	e	g
0.001	14.80789	-0.99159	-22.64423	-1.49599
0.0001	443.51862	-1.16250	-453.31324	-1.18459
0.00001	923.70361	-1.15916	-937.07397	-1.17178
0.000001	1327.69522	-1.14839	-1344.02532	-1.15821

Таблица П2

Порог обнаружения z = 3
Вероятность D₀	c	d	e	g
0.95	7.90419	-0.98229	-13.11693	-1.82490
0.99	11.51148	-1.00015	-20.00618	-1.67354
0.999	24.33768	-1.06213	-35.20249	-1.43689
0.9999	614.75939	-1.19346	-628.09420	-1.21266
Вероятность F₀	c	d	e	g
0.001	24.73151	-1.06081	-31.94967	-1.37412
0.0001	379.96994	-1.17930	-391.42719	-1.20766
0.00001	900.82214	-1.18103	-916.72380	-1.19546
0.000001	1517.70456	-1.16913	-1536.56843	-1.17855

Таблица П3

Порог обнаружения z = 4
Вероятность D₀	c	d	e	g
0.95	7.90419	-0.98229	-13.11693	-1.82490
0.99	13.21021	-1.01376	-25.60585	-1.71160
0.999	22.30745	-1.05049	-38.23678	-1.53057
0.9999	805.86559	-1.21268	-822.75440	-1.22974
Вероятность F₀	c	d	e	g
0.001	9.76386	-0.93933	-39.61348	-1.95658
0.0001	13.42641	-0.95394	-46.00445	-1.82916
0.00001	612.19299	-1.19246	-630.49297	-1.21522
0.000001	1339.90551	-1.18148	-1360.64605	-1.19277