Рассматривается задача о томографии пространственно распределенного некогерентного источника излучения. Задача решается на основе обращения интегрального уравнения, сформулированного для углового распределения интенсивности, измеряемого на поверхности определенного радиуса. Предлагаемое обратное интегральное преобразование обобщает известные решения и учитывает ослабление, как за счет сферической расходимости, так и за счет экспоненциального ослабления.

Базовым методом математического обеспечения современных томографов является метод обратных проекций и его модификации. Наиболее устойчивыми и точными являются методы, основанные на использовании различных интегральных преобразований. Например, для восстановления двумерных неоднородностей при круговой схеме обзора эффективным методом является разложение снятых теневых проекций по круговым гармоникам в сочетании с т.н. каузальным или некаузальным решениями [6]. Однако ядра этих преобразований обладают особенностями в окрестности начала координат, и это приводит к неустойчивости решения. Для томографии распределения некогерентных источников предложен метод сведения задачи к интегральному уравнению типа свертки и решения его с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье [7]. Во всех этих случаях поглощением излучения в среде приходится пренебрегать или считать его исчезающе малым, иначе задача просто не решается. Неучет этого влияния (особенно, при использовании слабого по интенсивности излучения или сильного поглощения в среде) может приводить к значительным погрешностям восстановления томограмм. Несмотря на актуальность этой задачи, как отмечается в обзоре [8], методов, учитывающих фоновое поглощение излучения в произвольной неоднородной среде, вплоть до последнего времени в мире не разработано. Исключение составляет малоинтересный случай осесимметричных сред. В настоящей работе предлагается математическое решение общей задачи.

.

(1)

Рис. 1. Геометрия задачи.

где интегрирование ведется вдоль прямой, проведенной из точки наблюдения в направлении с прицельным расстоянием (рис. 1). Полученное выражение напоминает собой как бы "взвешенные" теневые проекции, используемые в классической томографии. Весовой экспоненциальный множитель введен для учета фонового поглощения в среде распространения. Подчеркнем, что именно появление этого множителя не позволяет для обращения (2) воспользоваться известными томографическими решениями, что и отмечается в [8].

Заметим, что радиус вектор , соответствующий текущей точке на прямой интегрирования в выбранном сечении объема, определяется полярным углом и полярным радиусом , который связан с переменной интегрирования соотношением: . Верхний знак (-) берется, когда точка интегрирования лежит на прямой интегрирования ближе к точке наблюдения , чем прицельная точка . Нижний знак (+) берется, когда точка интегрирования лежит дальше. При этом соответственно полярный угол определяется как .

Для дальнейшего анализа удобно перейти в интеграле (2) к интегрированию по полярной переменной , предварительно представив распределение интенсивности источника излучения в виде ряда Фурье по круговым гармоникам:

Соотношения (3) - (5) представляют собой решение прямой задачи многоракурсного сканирования распределенного источника излучения . Интегральное соотношение (5) является интегральным уравнением для решения обратной задачи – восстановления внутреннего распределения по измерениям интенсивности излучения на поверхности объема .

3. Решение задачи томографии в условиях поглощения

Уравнение (5) является уравнением, обобщающим два известных частных случая. Во-первых, это случай отсутствия фонового затухания в среде , но произвольного распределения . Для этого случая известны четыре решения: каузальное, некаузальное [6], с использованием обратного интегрального преобразования Меллина [1] и

Во-вторых, это случай осевой симметрии (), но при наличии затухания . Решение для этого случая предложено в [10]:

Очевидно, что выражение (8) содержит в себе как частные случаи и решение (6) при , и решение (7) при .

В приложении будет показано, этот интеграл тождественно (при любых входящих в него параметрах!) равен . Но если , то соотношение (9) переходит в равенство:

Это равенство становится тождеством, если выполняется условие , означающее условие отсутствия излучения из объема при визировании по касательной к нему. Последнее всегда выполняется, если все источники располагаются внутри сферы радиуса . Достаточно лишь сделать величину большой.

Восстановление томограммы по многоракусным измерениям интенсивности излучения сводится к нахождению коэффициентов разложения

и последовательному выполнению интегрального преобразования (8) и суммирования (3). 

4. Заключение

Таким образом, было показано, что задача томографии может быть решена не только в классическом случае непоглощающей среды, чему соответствуют различные методы обращения преобразования Радона, но и в случае учета произвольного постоянного поглощения в среде. Это дает возможность повышения точности известных методов и расширения сферы применения томографических методов на новые области науки и техники.

Литература

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 160 с.
2. Куницын В.Е., Терещенко Е.Д. Томография ионосферы. – М.: Наука, 1991. – 176 с.
3. Якубов В.П., Машаруев М.Л., Славгородский С.А., Лосев Д.В., Шипилов С.Э. Микроволновая томография неоднородных сред // Оптика атмосферы и океана, 1997, Т.10, № 12, с. 1500-1507.
4. Корженевский А.В., Корниенко В.Н., Культиасов М.Ю., Культиасов Ю.С., Черепенин В.А. Электроимпедансный компьютерный томограф для медицинских приложений // ПТЭ, 1997, № 3, с. 133-140.
5. Корженевский А.В., Черепенин В.А. Магнитоиндукционная томография // Журнал Радиоэлектроники, 1998, № 1, http://jre.cplire.ru/win/dec98/1/text.html.
6. Hansen E.W. Theory of circular harmonic image reconstruction // J. Opt. Soc. Amer. 1981, V.71, № 3, p. 304-308.
7. Якубов В.П., Лосев Д.В. Пассивная томография двумерной структуры неоднородных сред // Оптика атмосферы и океана, 1997, Т.10, № 2, с. 177-183.
8. Cormack A.M. Some early radiotherapy optimization work // Int. J. of Imaging Systems and Technology, 1995, V. 6, № 1, p.2-5.
9. Федоров Г.А., Терещенко С.А. Вычислительная эмиссионная томография. – М.: Энергоатомиздат,1990. – 184 с.
10. Cormack A.M. Representation of function by its line integrals, with some radiological applications // J. Applied Physics. 1963, V. 34, № 9, p. 2722-2727.
11. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. – 304 с.

С учетом этого очевидно, что

Отсюда можно записать, что

Авторы:

Якубов Владимир Петрович, е-mail: yvlp@ic.tsu.ru;
Лосев Дмитрий Витальевич,
Томский государственный университет

оглавление

дискуссия