![]() |
"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 9 , 2000 | ![]() |
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕКОГЕРЕНТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ТОМОГРАФИИ СРЕД С ПОГЛОЩЕНИЕМ
В. П. Якубов, Д.В. Лосев
Томский государственный университет
Получена 22 сентября 2000 г.
Рассматривается задача о томографии пространственно распределенного некогерентного источника излучения. Задача решается на основе обращения интегрального уравнения, сформулированного для углового распределения интенсивности, измеряемого на поверхности определенного радиуса. Предлагаемое обратное интегральное преобразование обобщает известные решения и учитывает ослабление, как за счет сферической расходимости, так и за счет экспоненциального ослабления.
1. Введение
В настоящее время методы томографии признаются самыми перспективными для целей интроскопии неоднородных сред и диагностики биологических тканей [1]. Получаемая с их помощью информация отличается как объемом, так и точностью при сохранении наглядности представления. Область применения этих методов чрезвычайно широка: от медицины до геофизики и аэрономии. Постоянное расширение области применения томографических методов определяет непрерывное совершенствование как самих этих методов, так и способов зондирования сред. Для зондирования сред начинают использоваться более низкочастотные виды электромагнитных полей (радиотомография [2, 3], импедансная томография [4], магнитная томография [5]). Методы обработки волновых проекций становятся более тонкими, начинают учитываться эффекты, которыми ранее пренебрегалось (дифракция, рефракция, поглощение), а также их комбинации. Сдерживающим здесь является сложность рассматриваемых явлений и слабая разработанность математических методов. Что касается применения прямых численных решений, то их устойчивость и точность оставляет желать лучшего.
Базовым методом математического обеспечения современных томографов является метод обратных проекций и его модификации. Наиболее устойчивыми и точными являются методы, основанные на использовании различных интегральных преобразований. Например, для восстановления двумерных неоднородностей при круговой схеме обзора эффективным методом является разложение снятых теневых проекций по круговым гармоникам в сочетании с т.н. каузальным или некаузальным решениями [6]. Однако ядра этих преобразований обладают особенностями в окрестности начала координат, и это приводит к неустойчивости решения. Для томографии распределения некогерентных источников предложен метод сведения задачи к интегральному уравнению типа свертки и решения его с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье [7]. Во всех этих случаях поглощением излучения в среде приходится пренебрегать или считать его исчезающе малым, иначе задача просто не решается. Неучет этого влияния (особенно, при использовании слабого по интенсивности излучения или сильного поглощения в среде) может приводить к значительным погрешностям восстановления томограмм. Несмотря на актуальность этой задачи, как отмечается в обзоре [8], методов, учитывающих фоновое поглощение излучения в произвольной неоднородной среде, вплоть до последнего времени в мире не разработано. Исключение составляет малоинтересный случай осесимметричных сред. В настоящей работе предлагается математическое решение общей задачи.
2. Интегральное уравнение задачи
Рассмотрим задачу о
пространственном распределении плотности
интенсивности источника излучения
в предположении его некогерентности и
локализации внутри объема
,
ограниченного сферой радиуса
(рис.1). На границе этой сферы
наблюдаемая интегральная интенсивность
некогерентного излучения описывается
выражением [9]:
Рис. 1. Геометрия задачи.
Здесь
- коэффициент линейного поглощения по
интенсивности для фоновой среды в которой
распространяется поле излучения. Как видно
из (1), при этом наряду с фоновым поглощением
учитывается ослабление излучения за счет
сферической расходимости.
Для простоты
будем рассматривать случай -
диаграммы направленности приемной антенны
в двух плоскостях с ориентацией максимума
по прямой с прицельным расстоянием
.
Обозначим через
угловое положение точки приема
в плоскости наблюдения, проходящей через
центр сферы. При этом в системе координат,
связанной с точкой приема, интегрирование
по телесному углу снимается, и выделяемое
излучение определяется как
(2) |
где интегрирование ведется вдоль
прямой, проведенной из точки наблюдения
в направлении с прицельным расстоянием
(рис. 1). Полученное выражение
напоминает собой как бы "взвешенные"
теневые проекции, используемые в
классической томографии. Весовой
экспоненциальный множитель введен для
учета фонового поглощения в среде
распространения. Подчеркнем, что именно
появление этого множителя не позволяет для
обращения (2) воспользоваться
известными томографическими решениями, что
и отмечается в [8].
Заметим, что радиус вектор ,
соответствующий текущей точке на прямой
интегрирования в выбранном сечении объема,
определяется полярным углом
и полярным радиусом
,
который связан с переменной интегрирования
соотношением:
.
Верхний знак (-) берется, когда точка
интегрирования
лежит на прямой интегрирования ближе к
точке наблюдения
,
чем прицельная точка
.
Нижний знак (+) берется, когда точка
интегрирования
лежит дальше. При этом соответственно
полярный угол
определяется как
.
Для дальнейшего анализа удобно
перейти в интеграле (2) к
интегрированию по полярной переменной ,
предварительно представив распределение
интенсивности источника излучения
в виде ряда Фурье по круговым гармоникам:
(3) |
В результате интеграл (2) представляется в виде разложения:
(4) |
где
(5) |
Соотношения (3) - (5)
представляют собой решение прямой задачи
многоракурсного сканирования
распределенного источника излучения .
Интегральное соотношение (5)
является интегральным уравнением для
решения обратной задачи – восстановления
внутреннего распределения
по измерениям интенсивности излучения на
поверхности объема
.
3. Решение задачи томографии в условиях поглощения
Уравнение (5)
является уравнением, обобщающим два
известных частных случая. Во-первых, это
случай отсутствия фонового затухания в
среде ,
но произвольного распределения
.
Для этого случая известны четыре решения:
каузальное, некаузальное [6], с
использованием обратного интегрального
преобразования Меллина [1] и
с использованием преобразования к уравнению в свертках [7]. Укажем здесь лишь каузальное решение:
(6) |
Во-вторых, это случай осевой
симметрии (),
но при наличии затухания
.
Решение для этого случая предложено в [10]:
(7) |
Предлагаемое нами общее решение уравнения (5) имеет вид:
(8) |
Очевидно, что выражение (8)
содержит в себе как частные случаи и
решение (6) при ,
и решение (7) при
.
Для доказательства справедливости решения (8) подставим его в исходное уравнение (5), которое при этом должно превратиться в тождество. Меняя порядок интегрирования, получаем, что
(9) |
где для внутреннего интеграла введено обозначение:
(10) |
В приложении будет показано, этот
интеграл тождественно (при любых входящих в
него параметрах!) равен .
Но если
,
то соотношение (9) переходит в
равенство:
|
Это равенство становится
тождеством, если выполняется условие ,
означающее условие отсутствия излучения из
объема
при визировании по касательной к нему.
Последнее всегда выполняется, если все
источники располагаются внутри сферы
радиуса
.
Достаточно лишь сделать величину
большой.
Восстановление
томограммы по многоракусным измерениям
интенсивности излучения
сводится к нахождению коэффициентов
разложения
и последовательному выполнению интегрального преобразования (8) и суммирования (3).
4. Заключение
Таким образом, было показано, что задача томографии может быть решена не только в классическом случае непоглощающей среды, чему соответствуют различные методы обращения преобразования Радона, но и в случае учета произвольного постоянного поглощения в среде. Это дает возможность повышения точности известных методов и расширения сферы применения томографических методов на новые области науки и техники.
Работа выполнена по грантам Минобразования и РФФИ № 01-02-16546.
Литература
Приложение
Для доказательства тождества
воспользуемся методом вычисления
интегралов с помощью теории вычетов.
Сначала, путем замены
и введения обозначения
,
сведем интеграл (10) к виду
где:
Интегралы такого типа вычисляются как
вычет в бесконечно удаленной точке [11]:
,
.
Интеграл для мнимой части
элементарно вычисляется, если переписать
как
Очевидно, что при
имеем
,
и
.
Таким образом, искомый интеграл
представляет собой чисто вещественную
величину.
Для нахождения значения
оставшегося интеграла с помощью простых
тригонометрических преобразований
перепишем функцию
в виде
и найдем ее производную по переменной :
С учетом этого очевидно, что
Отсюда можно записать, что
,
но при
доказываемое тождество прямо вытекает из
каузального решения. Таким образом
тождество
доказано в случае наличия поглощения.
Авторы:
Якубов Владимир Петрович, е-mail: yvlp@ic.tsu.ru;
Лосев Дмитрий Витальевич,
Томский государственный
университет
![]() |
![]() |