"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 9, 2005 |
ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРЕЛОМЛЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ ПО ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПРОШЕДШЕГО ПОЛЯ
Институт радиотехники и электроники РАН
Получена 19 сентября 2005 г.
В статье рассмотрена задача нахождения коэффициента преломления ограниченной неоднородной среды с осевой симметрией по заданной фазовой характеристике прошедшего через нее поля. Предложены и исследованы две аналитические методики получения решения в приближении геометрической оптики. Первая из них, основана на использовании разложения всех параметров задачи по степеням отношения расстояния от оси системы к толщине среды на оси. Вторая – на использовании слоистой модели неоднородной среды, причем внутри каждого слоя коэффициент преломления полагается постоянным. Первая методика может применяться для градиентных сред, а вторая как для слоистых, так и градиентных сред (при использовании достаточно большого количества слоев).
В задачах диагностики неоднородных сред, при синтезе градиентных или слоистых линзовых антенн [1,2] необходимо найти профиль коэффициента преломления. В данной работе рассматриваются задача определения профиля коэффициента преломления осесимметричной ограниченной неоднородной среды по фазовой характеристике выходного фронта. Падающий лучевой фронт здесь и далее предполагается сферическим с источником на оси симметрии среды.
В цилиндрической системе координат, связанной с осью симметрии среды z , среда характеризуется тремя функциональными зависимостями: функция z=f(r) , описывающая первую границу среды (на которую падает сферический фронт), z=j(r) – функция, описывающая вторую границу среды, и n(r) –коэффициент преломления среды.
В силу осевой симметрии задачи здесь и далее достаточно рассмотреть ход лучей в одной из плоскостей, проходящих через ось симметрии среды (рис.1). Уравнение семейства лучей в этой плоскости имеет вид [1]
где а – лучевой параметр, n(y) – коэффициент преломления, f(y)и j(у) – формы сечения поверхностей среды. Здесь и далее осевая толщина среды принята за 1.
Рис. 1
Из уравнения лучей (1) получаем соотношение
в случае, когда траектория луча монотонна и
в случае, когда траектория луча немонотонна. Верхний предел р в последних двух интегралах есть точка максимума луча. При у=р знаменатель в подынтегральных функциях обращается в 0.
Закон преломления на левой границе связывает углы падения и преломления:
где d1=arctg(1/f¢(y1) – угол наклона касательной к поверхности в точке у1 к оси Ох, - угол наклона касательной к преломленному лучу в точке у1, q1- угол, образуемый лучом, выходящем из источника с осью Ох (рис.1) С помощью алгебраических преобразований соотношение (3) можно привести к виду
Аналогично из закона преломления на правой границе можно получить соотношение
Предполагается, что выходящий лучевой фронт удовлетворяет закону:
где q2 – угол наклона выходящего луча, q2 >0 когда выходящий луч пересекает ось Ох справа от границы среды, b(у) – некоторая заданная гладкая функция, удовлетворяющая условию b(0)=0.
Постановка задачи состоит в нахождении n(y), удовлетворяющего интегральному уравнению (2) (или 2а) и условиям (4), (5), (6) для всех лучей, прошедших через среду, причем f(y) и j(у) предполагаются заданными. Будем также предполагать, что выходящий лучевой фронт является регулярным (не образует каустик) и функция у(х), описывающая уравнение любого луча внутри линзы имеет не более одного максимума.
Будем использовать две методики решения задачи. В первой методике как и работе [2] решение ищется в виде разложения в ряд по четным степеням у. Вторая методика использует слоистую модель непрерывной среды, причем внутри каждого слоя коэффициент преломления предполагается постоянным. Сначала будем искать решение, используя первую методику. Для этого представим
где no2=n2(0) – задано, коэффициенты f2k, j2k – заданы, с2k (k=1,2,3,…) – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. В данной работе мы ограничимся случаем среды с с2>0 (n(y) в центре образует локальный максимум).
Соотношение (6), описывающее выходящий лучевой фронт, представим в виде:
где b2к-1 (к=1,2,3,…) заданы.
Преобразуем левую часть соотношения (4). Для этого представим sinq1, cosq1, f¢(y1) в виде разложений по степеням у1 :
,
где
, , ,
, .
Тогда
,
где
g1(a)=2f2(a-1)-n1, g3(a)=4f4(a-1)+2f2k2+n3, g5(a)=6f6(a-1)+4f4k2-2f2k4-n5,
g2=g12, g4=2g1g3 , g6=2g1g5+g32.
Согласно разложениям (7), соотношение (4) можно записать в виде
где a2=no2-a2.
Из (9) следует, что для центрального луча (у1=0) a=no и a=0.
Так как g2+c2>0 при всех значениях а, то можно обратить (9) относительно у1, т.е. представить у12 в виде ряда по степеням a2:
где
, ,
Теперь аналогичным образом преобразуем условие на правой границе (5):
где h2=h12, h4=2h1 h3 , h6=2h1 h5+h32 ,
, ,
,
, , ,
, .
Обратим ряд (11) относительно у22:
где
,
,
Преобразуем уравнение (2). Используя разложение (7), подынтегральное выражение в (2) представим в следующем виде:
где р – корень уравнения n2(p)-a2=0 . Из представления (7) следует, что
.
Тогда имеет место разложение:
и, следовательно,
Коэффициенты R2k, Q2k (k=0,1,2,…) выражаются через коэффициенты рядов (7) и (16). Так, первые три имеют вид
Ro=a2 /p2, R2=c4+p2c6 , R4=c6 ,
Qo=p/a , Q2= -1/2p3/a3(c4+p2c6) , Q4=3/8p5/a5(c4+p2c6)2-1/2p3/a3c6 . (17)
Используя разложение (14), интеграл в (2) можно представить в виде суммы интегралов:
а интеграл в (2а)
где
Все интегралы I2k выражаются явно:
, ,
, . . .
Подставляя вместо у1, у2, р в последних формулах выражения (13), (15) и (16), заменяя arcsin(y/p) и (p2-y2)1/2 в них формулами Тейлора с нужным числом степеней a и приводя в (18) и (18а) члены с одинаковыми степенями a, получаем :
Где, для монотонных лучей
,
,
, ( i=1,2),
.
И для немонотонных лучей:
Преобразуем теперь правую часть уравнения (2). Пусть Y(a)=j(y2)-f(y1). Используя разложения (7), (10) и (12) и приводя подобные члены, можно записать
где
, ,
.
Интегральное уравнение (2) можно записать теперь в виде
где I(a) задается рядом (19), а Y(а) – рядом (20).
Тождество (21) выполняется при всех значениях параметра а , в том числе и при а=no, соответствующему центральному лучу. Приравнивая левую и правую части тождества (21), а также их производные при а=no получаем систему уравнений для определения c2k:
,
,
………………………
В приведенной системе первое уравнение содержит с2, второе уравнение содержит с2, с4, третье – с2,с4,с6 и т.д., что определяет метод решения – сверху вниз.
Первое уравнение системы (22) в случае монотонных лучей имеет вид:
а в случае немонотонных:
Уравнения являются трансцендентными относительно с2 и могут быть решены только численным методом. С помощью тригонометрического преобразования (23) может быть приведено к виду
а уравнение (23а) к виду
где А1 и А2 определяются соотношениями (10) и (12).
Второе уравнение системы (22) является линейным относительно с4. Приведем его решение для случая монотонных лучей:
где
, ,
И для случая немонотонных лучей
где
Решая третье уравнение системы (22) (линейное относительно с6 ), можно определить с6 и т.д.
Приведем пример, иллюстрирующий существование двух решений поставленной задачи в классе монотонных и немонотонных лучей. Рассмотрим среду, ограниченную двумя квадратичными поверхностями f(y)=f0 + f2y2 и j(y)=f0+1+ j2y2, при f2=j2=0.1, которая преобразует сферический фронт с радиусом 1 в сферический фронт радиусом 10. По приведенным формулам было найдено 2 закона изменения n(y) – один для монотонного, а другой - для немонотонного класса лучей до четвертого члена разложения. На рисунке 2 приведены графики зависимостей n(y), кривая с цифрой 1 для монотонного класса лучей, кривая 2 – для немонотонного класса.
Рис.2
Перейдем к рассмотрению другой методики. Будем искать решение n(y) в классе кусочно-постоянных функций. Сечение среды в этом случае будет представлять собой набор дискретных слоев (рис. 3) с постоянным значением n(y) внутри каждого слоя. При рассмотрении данной методики будем предполагать, что лучи – монотонные кривые.
Рис.3
Зададим h1 – толщину первого слоя и выберем qо так, что луч выйдет из среды в точке у2=h1 . Выбором h1 всегда можно добиться, чтобы разность фазы этого луча и идеальной фазы была меньше заданной ошибки. Слой с параметрами h1 и n1=no будет первым слоем синтезированной среды.
Предположим, следуя методу математической индукции, что мы уже определили i-1 слоев, т.е. знаем nj, hj , j=1,…, i-1. Опишем процедуру нахождения i-го слоя, т.е. ni, hi.
Рассмотрим луч, выходящий из источника под углом q1=iqo . Пусть слой, в который попадет этот луч имеет номер k. Будем считать, что k < i, в противном случае будем уменьшать q1 до тех пор, пока не станет k < i. Точку выхода луча из среды будем считать второй границей искомого i-го слоя yi+1. Рассчитаем оптический путь луча до выхода из среды
где уо-точка входа луча в среду, а qk определяется из закона преломления на левой границе
,
где d=arctg(1/f¢(yо) – угол наклона касательной к поверхности в точке пересечения луча со средой к оси Ох. Si – отрезок луча в определяемом i – м слое – можно найти из теоремы синусов:
ji= j(yi) , ,
.
Li – абсцисса точки пересечения луча с границей i-го слоя.
Толщины слоев предполагаются достаточно малыми, что позволяет заменить функцию j(у), описывающую правую поверхность, на кусочно-линейную
при yi£ y£yi+1.
Также с помощью линейной интерполяции выразим фазу в точке уi+1
Приравнивая правые части соотношений (26) и (28) и используя равенство (27), получаем уравнение для определения qi
,
где ,
DF – принятая погрешность фазы.
Исключением из последнего уравнения неизвестного коэффициента ni с помощью равенства
, где q=nkcosqk =nk+1cosqk+1=…
уравнение приводится к виду
,
где , .
Решение последнего уравнения
,
где m определяется равенствами
, ,
P=Wsinbi , R=Wcosbi+V , U=2-Wsinbi.
После находим ni в искомом слое
и высоту i-го слоя
.
Далее переходим к определению по приведенной схеме i+1 слоя и т.д.
В качестве примера для проверки точности обеих методик использовалась градиентная среда с законом изменения коэффициента преломления как в линзе Микаэляна [1]. Первая поверхность среды предполагалась плоской, вторая поверхность задавалась квадратичной функцией
Рис.4
На рисунке 4 приведены кривые разности рассчитанного коэффициента преломления n(y) и заданного для среды с 500 слоями (пунктиром) и для среды с 1000 слоев – сплошной линией.
Штрих-пунктирной линией показана соответствующая разность, полученная с использованием формул (24)-(25). Видно, что точность восстановления коэффициента преломления с использованием степенного разложения, как и следовало ожидать, быстро падает с увеличением y. Падение точности при использовании модели слоистой среды более медленное и имеет колебательный характер.
Литература.
1. Зелкин Е.Г., Петрова Р.Н., Линзовые антенны, М., Сов.Радио, 1974 г.
2. Венецкий А.С., Калошин В.А., Синтез градиентной линзовой антенны с осевой симметрией и криволинейной формой преломляющих поверхностей, Радиотехника и электроника, 1997, том 42, №12, с.1452-1458.