Об аналитической методике анализа процессов массо- и теплопереноса

 

Е. Л. Панкратов ¹, Е. А. Булаева ^1,2

¹ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

² Нижегородский архитектурно-строительный университет

 

Статья получена 15 сентября 2015 г.

 

Аннотация. В данной работе рассматривается аналитическая методика анализа и анализ модели формирования полевого гетеротранзистора. Данная методика позволяет проводить анализ нелинейных массо- и теплопереноса в многослойных структурах с переменными во времени параметрами без сшивки решений на границах раздела между слоями многослойных структур. Данный метод проиллюстрирован на примере анализа формирования полевого гетеротранзистора.

Ключевые слова: массо- и теплоперенос; аналитическая методика анализа; оптимизация радиоэлектронных устройств.

Abstract. In this paper we consider an analytical approach for analysis and optimization of formation of a field-effect heterotransistors. The approach gives a possibility to analyse nonlinear mass and heat transport in a multilayer structure with time-varying parameters without crosslinking of solutions on interfaces between layers of the multilayer structure. The approach has been illustrated by analysis of manufacturing of a field-effect heterotransistor.

Keywords: mass and heat transport; analytical approach for analysis; optimization of radio-electronic devices.

 

Введение

Развитие твердотельной электроники приводит к необходимости уменьшения размеров элементов интегральных схем. К настоящему времени разработаны несколько методов уменьшения размеров данных элементов. Одним из этих методов является выращивание тонкопленочных устройств [1-4]. Вторым методом является диффузионное или ионное легирование необходимых участков образцов или гетероструктур с дальнейшим лазерным или микроволновым отжигом примеси и/или радиационных дефектов [5-7]. Использование данных методов отжига приводит к формированию неоднородного температурного поля и, как следствия, к формированию неоднородности легируемой структуры и уменьшению размеров элементов интегральных схем. Еще одним способом изменения свойств легируемого материала является его радиационная обработка [8,9].

В данной работе рассматривается способ формирования полевого гетеротранзистора с неоднородно легированным каналом. Неоднородное легирование канала при изготовлении полевых транзисторов позволяет изменить скорость переноса носителей заряда [10] и, уменьшив длину канала, предотвратить эффект смыкания истока со стоком [11]. Для иллюстрации предлагаемого метода оптимизации легирования канала рассмотрим гетероструктуру, представленную на рис. 1.

 

Рис. 1. Рассматриваемая структура полевого гетеротранзистора

Будем считать, что после формирования канала один из его концов легируется с помощью диффузии или ионной имплантации с целью формирования неоднородного профиля легирования. Далее рассматривается микроволновый отжиг примеси и/или радиационных дефектов. Данный тип отжига позволяет прогревать только приповерхностную область для ограничения диффузии вглубь гетероструктуры. После завершения отжига проводится заращивание канала и формирование затвора. Основной целью данной работы является оптимизация длительности отжига с целью легирования необходимой части канала.

Методика анализа

Для достижения поставленных целей определим пространственно- временные распределения концентраций примесей. Искомые распределения найдем путем решения второго закона Фика [10,12-14]

             (1)

 

с граничными и начальным условиями

, , , ,

, , C (x,y,z,0)=f   (x,y,z).                                (2)

 

В соотношениях (1) и (2) введены следующие обозначения: C(x,y,z,t) - пространственно- временное распределение концентрации примеси, T – температура отжига, D_С - коэффициент диффузии примеси. Величина коэффициента диффузии определяется свойствами материалов в слоях гетероструктуры, скорости прогрева и охлаждения гетероструктуры (в соответствии с законом Аррениуса). Зависимости коэффициента диффузии от параметров могут быть аппроксимированы следующим соотношением [9,15,16]

,                (3)

 

где D_L (x,y,z,T) – пространственная (за счет многослойности гетероструктуры) и температурная (по закону Аррениуса) зависимости коэффициента диффузии;   P (x,y,z,T) - предел растворимости примеси; определяемый свойствами материала параметр g может принимать целые значения в интервале g Î[1,3] [15]; V (x,y, z,t) - пространственно-временное распределение концентрации радиационных вакансий; V^* - равновесное распределение вакансий. Концентрационная зависимость коэффициента диффузии подробно обсуждается в [15]. Следует заметить, что в случае диффузионного легирования радиационные повреждения отсутствуют и z₁= z₂= 0. Пространственно-временные распределения концентраций радиационных дефектов определялись путем решения следующей системы уравнений [9,16]

 

                                                                                         (4)

 

 

 

с начальными

r (x,y,z,0)=f_r  (x,y,z)                                                                                                  (5a)

и граничными условиями

, , , ,

, .                                                                 (5б)

 

В системе уравнений (4) и условиях (5) используются следующие обозначения: r =I,V; I (x,y,z,t) - пространственно-временное распределение концентрации междоузельных атомов; D_r(x,y,z,T) – коэффициенты диффузии междоузельных атомов и вакансий; слагаемые V²(x,y,z,t) и I²(x,y,z,t) соответствуют образованию дивакансий и аналогичных комплексов междоузельных атомов; k_I,V(x,y,z,T), k_I,I(x,y,z,T) и k_V,V(x,y,z,T) - соответственно, параметры рекомбинации точечных дефектов и образования комплексов.

Пространственно-временные распределения концентраций дивакансий F_V (x, y,z,t) и аналогичных комплексов междоузельных атомов F_I (x,y,z,t) определим с помощью следующей системы уравнений [9,16]

         (6)

 

с граничными и начальными условиями

, , ,

, , ,

 

F_I (x,y,z,0)=f_FI (x,y,z), F_V (x,y,z,0)=f_FV (x,y,z).                                    (7)

 

В последних соотношениях введены следующие обозначения: D_FI(x,y,z,T) и D_FV(x,y,z,T) - коэффициенты диффузии комплексов точечных радиационных дефектов; k_I(x,y,z,T) и k_V (x,y,z,T) - параметры распада комплексов точечных дефектов.

Для определения пространственно-временных распределений точечных радиационных дефектов, следуя работам [17-19], представим коэффициенты диффузии точечных дефектов в следующем виде: D_r(x,y,z,T)=D_0r[1+e_rg_r(x,y,z,T)], где D_0r - средние значения коэффициентов диффузии, 0≤e_r< 1, |g_r(x,y,z,T)|≤1,      r =I,V. В аналогичной форме представим и параметры рекомбинации точечных дефектов и генерации их комплексов: k_I,V(x,y,z,T)=k_0I,V[1+e_I,V g_I,V(x,y,z,T)], k_I,I(x,y,z, T)=k_0I,I[1+e_I,I g_I,I(x,y,z,T)] и k_V,V(x,y,z,T) = k_0V,V [1+e_V,V g_V,V(x,y,z,T)], где k_0r1,r2 – соответствующие средние значения, 0≤e_I,V< 1, 0≤e_I,I< 1, 0≤e_V,V< 1, | g_I,V(x,y,z,T)|≤1, |g_I,I(x,y,z,T)|≤1, |g_V,V(x, y,z,T)|≤1. Введем следующие безразмерные величины: , c = x/L_x, h = y/L_y, f  = z/L_z, , , , . Такая замена изменяет форму записи уравнений (4) и условий (5)

 

                                                     (8)

 

 

, , ,

, , ,

.                                                                   (9)

 

Решение уравнений (8) с условиями (9) будем искать, следуя [17-19], в виде степенных рядов

.                                         (10)

 

Подстановка ряда (10) в уравнения (8) и условия (9) позволяет получить уравнения для исходных приближений концентраций точечных дефектов  и  и поправочных функций к ним  и , i ³1, j ³1, k ³1. Данные уравнения и условия к ним приведены в Приложении. Их решения получены стандартным методом Фурье (см., например, [20,21]). Полученные решения приведены в Приложении.

Далее определим пространственно-временные распределения концентраций комплексов точечных радиационных дефектов. Для этого представим соответствующие коэффициенты диффузии в следующей форме: D_Fr(x,y,z,T)=D_0Fr[1+ e_Frg_Fr(x,y,z,T)], где D_0Fr - средние значения коэффициентов диффузии. Тогда уравнения (6) преобразуются к следующей форме

 

 

Будем искать решение данных уравнений в виде степенного ряда

.                                 (11)

Подстановка ряда (11) в уравнения (6) и соответствующие им граничные и начальные условия позволяет получить уравнения для исходных приближений распределений концентраций комплексов радиационных дефектов F_r0(x,y,z,t) и поправочных функций к ним F_ri(x,y,z,t), i ³1, а также граничных и начальных условий к ним. Данные уравнения и условия приведены в Приложении. Решение данных уравнений получено стандартным методом Фурье [20,21] и приведено в Приложении.

Пространственно-временное распределение концентрации примеси определим аналогично пространственно-временному распределению концентрации радиационных дефектов. В рамках данной методики представим аппроксимацию коэффициента диффузии примеси в виде суммы постоянной и переменной составляющих, т.е. D_L(x,y,z,T)=D_0L[1+e_Lg_L(x,y,z,T)], где D_0L - среднее значение коэффициента диффузии примеси, 0£e_L< 1, |g_L(x,y,z,T)|£1. Далее будем искать решение уравнения (1) в виде степенного ряда

.

 

Подстановка данного ряда в уравнение (1) и условия (2) позволяет получить уравнения для исходного приближения концентрации примеси C₀₀(x,y,z,t), поправочных функций к ним C_ij(x, y,z,t) (i ³1, j ³1), граничные и начальные условия к ним. Данные уравнения и условия к ним приведены в Приложении. Их решения получены стандартным методом Фурье (см., например, [20,21]). Решения данных уравнений приведены в Приложении.

Анализ пространственно-временных распределений концентраций примеси и радиационных дефектов проводился аналитически во втором приближении по параметрам, используемым в соответствующем ряде. Данного приближения обычно достаточно для проведения качественного анализа и получения некоторых количественных результатов. Результаты аналитических расчетов проверялись путем их сопоставления с результатами численного моделирования.

Результаты анализа

В данном разделе с помощью ранее полученных соотношений проведен анализ динамики перераспределения примеси с учетом перераспределения радиационных дефектов. Данные соотношения позволили получить пространственные распределения концентрации примеси. Типичные распределения концентрации примеси в направлении, перпендикулярном направлению канала, приведены на рис. 2. Кривая 1 данного рисунка является типичным распределением концентрации примеси вдоль канала. Из данного рисунка следует, что наличие границы раздела между слоями гетероструктуры позволяет получить более компактное и более равномерное распределение концентрации примеси в направлении, перпендикулярном данной границе. Однако в данном случае необходим выбор длительности отжига, т.к. при малых длительностях отжига примесь не достигает границы раздела между слоями гетероструктуры, а при больших длительностях отжига примесь слишком глубоко проникает в соседние слои. Определим компромиссную длительность отжига в рамках введенного ранее критерия [17-19]. В рамках данного критерия аппроксимируем реальное распределение концентрации примеси с помощью идеального прямоугольного распределения y (x,y,z). Далее искомую длительность отжига определим из условия минимума среднеквадратической ошибки

.                  (12)

 

Зависимости оптимальной длительности отжига приведены на рис. 3. Оптимальная длительность отжига имплантированной примеси принимает меньшие значения, чем оптимальная длительность отжига примеси в случае диффузионного легирования. Причиной такой разницы является необходимость отжига радиационных дефектов.

 

Рис.2а. Распределения концентрации введенной диффузионно примеси в представленной на рис. 1 гетероструктуре в направлении, перпендикулярном границе раздела между подложкой и эпитаксиальными слоями. Увеличение номера кривой соответствует увеличению разницы между значениями коэффициента диффузии примеси в слоях при условии, что коэффициент диффузии примеси в легированной области больше, чем в соседней

 

Рис. 2б. Пространственное распределение имплантированной примеси после отжига длительностью Q = 0,0048(L_x²+L_y²+L_z²)/D₀ (кривые 1 и 3) и Q = 0,0057(L_x² +L_y²+L_z²)/D₀ (кривые 2 и 4). Кривые 1 и 2 – расчетные распределения в однородной структуре; кривые 3 и 4 - расчетные распределения примеси в двухслойной структуре при условии, что коэффициент диффузии примеси легированном слое больше, чем в соседнем

 

Рис.3а. Зависимости безразмерного оптимального времени отжига введенной диффузионно примеси, полученного из условия минимума среднеквадратической ошибки, от различных параметров гетероструктуры. Кривая 1 – зависимость времени отжига от отношения a/L и x = g = 0 при попарном равенстве коэффициентов диффузии. Кривая 2 - зависимость времени отжига от параметра e при a/L=1/2 и x = g = 0. Кривая 3 - зависимость времени отжига от параметра x при a/L=1/2 и e = g = 0. Кривая 4 - зависимость времени отжига от параметра g при a/L=1/2 и e = x = 0

 

Рис.3б. Зависимости безразмерного оптимального времени отжига введенной с помощью ионной имплантации примеси, полученного из условия минимума среднеквадратической ошибки, от различных параметров гетероструктуры. Кривая 1 – зависимость времени отжига от отношения a/L и x = g = 0 при попарном равенстве коэффициентов диффузии. Кривая 2 - зависимость времени отжига от параметра e при a/L=1/2 и x = g = 0. Кривая 3 - зависимость времени отжига от параметра x при a/L=1/2 и e = g = 0. Кривая 4 - зависимость времени отжига от параметра g при a/L=1/2 и e = x = 0

Заключение

В данной работе рассматривается аналитическая методика анализа и анализ модели формирования полевого гетеротранзистора. Данная методика позволяет проводить анализ нелинейных массо- и теплопереноса в многослойных структурах с переменными во времени параметрами без сшивки решений на границах раздела между слоями многослойных структур. Данный метод проиллюстрирован на примере анализа формирования полевого транзистора с неоднородно легированным каналом. На основе проведенного анализа сформулированы рекомендации по оптимизации технологического процесса с целью формирования более компактного распределения примеси.

 

Благодарности

Работа поддержана стипендией правительства РФ.

 

Литература

[1] Г. Волович. Современная электроника. № 2. С. 10-17 (2006).

[2] А. Керенцев, В. Ланин. Силовая электроника. Вып. 1. С. 34-38 (2008).

[3] А.О. Агеев, А.Е. Беляев, Н.С. Болтовец, В.Н. Иванов, Р.В. Конакова, Я.Я. Кудрик, П.М. Литвин, В.В. Миленин, А.В. Саченко. ФТП. Т. 43 (7). С. 897-903 (2009).

[4] Н.И. Волокобинская, И.Н. Комаров, Т.В. Матюхина, В.И. Решетников, А.А. Руш, И.В. Фалина, А.С. Ястребов. ФТП. Т. 35 (8). С. 1013-1017 (2001).

[5] K.K. Ong, K.L. Pey, P.S. Lee, A.T.S. Wee, X.C. Wang, Y.F. Chong, Appl. Phys. Lett. 89 (17), 172111-172114 (2006).

[6] H.T. Wang, L.S. Tan, E. F. Chor. J. Appl. Phys. 98 (9), 094901-094905 (2006).

[7] Ю.В. Быков, А.Г. Еремеев, Н.А. Жарова, И.В. Плотников, К.И. Рыбаков, М.Н. Дроздов, Ю.Н. Дроздов, В.Д. Скупов. Известия вузов. Радиофизика. Т.43 (3). С. 836-843 (2003).

[8] В.В. Козловский, Модификация полупроводников пучками протонов, Наука, Санкт-Петербург, 2003.

[9] В.Л. Винецкий, П.А. Холодарь, Радиационная физика полупроводников, Наукова Думка, Киев, 1979.

[10] И.П. Степаненко. Основы микроэлектроники. Советское радио, М., 1980.

[11] M.V. Dunga, L. Chung-Hsun, X. Xuemei, D.D. Lu, A.M. Niknejad, H. Chenming. Modeling Advanced FET Technology in a Compact Model. IEEE Transactions on Electron Devices. Vol. 53 (9). P. 157-162 (2006).

[12] В.Г. Гусев, Ю.М. Гусев. Электроника, Высшая школа, М., 1991.

[13] Н.А. Аваев, Ю.Е. Наумов, В.Т. Фролкин. Основы микроэлектроники, Радио и связь, М., 1991.

[14] В.И. Лачин, Н.С. Савелов. Электроника, Феникс, Ростов-на-Дону, 2001.

[15] З.Ю. Готра. Технология микроэлектронных устройств, Радио и связь, М.. 1991.

[16] P.M. Fahey, P.B. Griffin, J.D. Plummer. Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61. № 2. P. 289-388.

[17] V.L. Vinetskiy, G.A. Kholodar', Radiative physics of semiconductors. ("Naukova Dumka", Kiev, 1979, in Russian).

[18] E.L. Pankratov. Applied Nanoscience. Vol. 2 (1). P. 71-89 (2012).

[19] E.L. Pankratov, E.A. Bulaeva. Reviews in Theoretical Science. Vol. 1 (1). P. 58-82 (2013).

[20] E.L. Pankratov, E.A. Bulaeva. Int. J. Nanoscience. Vol. 11 (5). P. 1250028-1--1250028-8 (2012).

[21] А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения математической физики, Наука, М., 1972.

[22] H.S. Carslaw, J.C. Jaeger. Conduction of heat in solids (Oxford University Press, 1964).

 

Приложение

Уравнения для функций  и , i ³0, j ³0, k ³0 и условия к ним

;

, i ³1;

;

 

 

;

;

 

 

;

;

 

 

;

 

;

, , ,

, ,  (i ³0, j ³0, k ³0);

,  (i ³1, j ³1, k ³1).

 

Решения данных уравнений с учетом соответствующих граничных и начальных условий представимы в следующей форме

,

где , c_n(c) = cos (p n c), , ;

, i ³1,

 

где s_n(c) = sin (p n c);

;

;

;

;

;

;

 

Уравнения для исходных приближений распределений концентраций комплексов радиационных дефектов F_r0(x,y,z,t) и поправочных функций к ним F_ri(x,y, z,t), i ³1, а также граничные и начальные условия к ним имеют вид

;

, i³1;

, , ,

, , , i³0;
 

F_r0(x,y,z,0)=f_Fr (x,y,z), F_ri(x,y,z,0)=0, i³1.

Решение данных уравнений представимо в следующем виде

 

,

где , c_n(x) = cos (p n x/L_x),

;

, i³1,

где s_n(x) = sin (p n x/L_x).

Уравнения для исходного приближения концентрации примеси C₀₀(x,t), поправочных функций к ним C_ij(x,y,z,t) (i ³1, j ³1), граничные и начальные условия к ним имеют следующий вид

;

, i ³1;

;

;

;

, , ,

, , , i ³0, j ³0;

 

C₀₀(x,y,z,0)=f_C  (x,y,z), C_ij(x,y,z,0)=0, i ³1, j ³1.

Решения данных уравнений с учетом соответствующих граничных и начальных условий представимы в следующей форме

,

где ,  ;

 

, i ³1;

 

;

;

.