"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 1, 2000

оглавление

дискуссия

В работе рассматриваются некоторые СВЧ свойства неравновесных джозефсоновских контактов в субмикронных и слоистых сверхпроводниках. В отличии от обычного эффекта Джозефсона, при неравновесном эффекте необходимо самосогласованным образом описывать динамику квазичастиц и джозефсоновских фаз. Возникающее в результате взаимодействие между контактами существенно влияет на их СВЧ свойства. В работе проанализирована динамика цепочки одинаковых контактов, в том числе при внешнем СВЧ воздействии (ступеньки Шапиро), а также рассмотрена динамика системы двух контактов с существенно разными параметрами, где имеет место эффект усиления джозефсоновских осцилляций.

Введение

Обычно под эффектом Джозефсона понимают совокупность явлений при протекании электрического тока через слабую связь между двумя массивными сверхпроводниками (термин "слабая сверхпроводимость" введен Андерсоном (P.W. Anderson) в 1964 году). Примерами таких связей являются: туннельный переход, узкий сверхпроводящий мостик (мостик Дайема), S-N-S контакт (сверхпроводник - нормальный металл - сверхпроводник), точечный контакт и др. В последнее время большое внимание привлек так называемый внутренний (intrinsic) эффект Джозефсона в сильноанизотропных высокотемпературных сверхпроводниках (типа Bi₂Sr₂CaCu₂O_8+d, Tl₂Ba₂Ca₂Cu₃O_10+d и др.). Эти соединения имееют слоистую структуру и джозефсоновская связь осуществляется между сверхпроводящими слоями CuO₂.

С момента открытия в 1962 году эффект Джозефсона является актуальной темой фундаментальных и прикладных исследований по сверхпроводимости. С точки зрения фундаментальной физики он весьма ярко проявляет отличия сверхпроводящего состояния электронной жидкости в металлах от нормального. Так, совершенно иначе выглядит туннельный эффект. Именно решая задачу о протекании электрического тока между двумя сверхпроводниками, разделенными тонким слоем изолятора, Б. Джозефсон обнаружил два удивительных факта. Во-первых, постоянный ток, меньший некоторого критического тока J_c, протекает через туннельный переход без сопротивления (туннельный сверхток)

• V = 0 при J < J_c .

• 2e < V > = (^h/_2p)w_J при J > J_c .

С самого начала стало ясно что как стационарный, так и нестационарный эффекты имеют большую область практических применений. На стационарном эффекте, например, основаны сверхчувствительные (до 10^-9 Гс) измерители магнитного поля. Использование нестационарного эффекта (в различных СВЧ системах) привлекательно вследствие весьма большой характерной частоты джозефсоновской генерации f_J = w_J /2p, отношение между которой и приложенным напряжением равно

так что при характерных напряжениях V = 10^-6ё10^-3 В, f_J = 10⁹ё10¹² Гц, а в ВТСП до 10 ТГц. Фундаментальным ограничением на f_J является величина энергетической щели, лежащая в инфракрасном диапазоне. Таким образом джозефсоновская генерация покрывает весьма важный субмиллиметровый диапазон частот.

Естественным препятствием, однако, является малая мощность излучения одного контакта. Как показано в ряде работ (см. напр. [7], стр. 216) максимальная мощность излучения одного контакта во внешнюю электродинамическую систему P_max определяется соотношением
 
 

где R_N - нормальное сопротивление контакта при данной температуре (R_N при T < T_c может быть определенно путем подавления сверхпроводимости, например магнитным полем). При типичных значениях параметров V_c = R_N J_c ~ 10^-3 В, J_c ~ 10^-3 А эта мощность имеет порядок 10^-7 Вт.

Другой сложностью является согласование импедансов перехода и внешней системы. Максимальная мощность (2) достигается только при импедансе контакта Z порядка импеданса внешней волноведущей системы Z_e (согласование импедансов), но Z как правило не превосходит нормального сопротивления контакта R_N, которое имеет порядок 1 Ома, в то время как типичное значение |Z_e| составляет 50-100 Ом. В результате реально измеряемая мощность излучения одного контакта составляет @ 10^-9ё10^-8 Вт, что недостаточно для практических применений.

Обе вышеназванные проблемы можно решить, если использовать системы джозефсоновских контактов. Комбинируя параллельно и последовательно соединенные переходы можно подобрать импеданс равный внешнему. Увеличивается и максимальная мощность излучения. Кроме того, происходит сужение линии генерации. При этом, однако, необходимо чтобы все контакты работали когерентно. Один из возможных путей - синхронизация собственным СВЧ полем. Взаимна синхронизация и захват фазы (mutual phase locking) в системах джозефсоновских контактов при высокочастотном электромагнитном взаимодействии были предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований (см. обзор [8]). Оказалось что синхронизация в таких системах принципиально возможна, но трудно достижима при наличии разброса параметров в реальных джозефсоновских структурах. Тем не менее, недавно в системе из 2000 джозефсоновских контактов, встроенных в полосковую линию, была получена рекордная для сверхпроводящих систем мощность излучения 160 мкВт на частоте 240 ГГц [9]. Оценки показывают, что в таких системах можно получить мощность порядка 1 мВт при ширине линии 100-500 кГц.

Другой возможностью является использование длинного перехода Джозефсона (т.н. Flux Flow генератор на джозефсоновских вихрях), где излучают джозефсоновские вихри, периодически выходящие из края перехода под действием внешнего тока. В настоящее время сделаны Flux Flow генераторы, работающие в диапазоне 100-700 ГГц, с мощностью ~ 1 мкВт и шириной линии 100 кГц - 1 МГц в зависимости от частоты [10]. Использование системы фазовой автоподстройки частоты позволяет существенно уменьшить ширину линии генерации.

Все рассмотренные выше схемы имеют дело с "обычными" джозефсоновскими контактами, расстояния между которыми составляют десятки и сотни микрон. Характерной особенностью обычного эффекта Джозефсона является то обстоятельство, что все нетривиальные процессы протекают только в самой слабой связи, состояние же массивных сверхпроводников (берегов) остается равновесным. В этом предположении строится и стандартная теория слабой сверхпроводимости. В то же время, хорошо известно, что джозефсоновский контакт при ненулевом напряжении является источником нетепловых квазичастиц, которые релаксируют в берегах. Поэтому вблизи контакта всегда возникает область неравновесной сверхпроводимости. Избыточные квазичастицы вызывают изменение энергетической щели. Кроме того, возникает разность населенностей электронноподобной и дырочноподобной ветвей спектра элементарных возбуждений (электронно-дырочный разбаланс), что приводит к изменению химического потенциала сверхпроводящего конденсата (число сверхпроводящих электронов меняется, чтобы скомпенсировать избыточный заряд квазичастиц) и проникновению электрического поля в сверхпроводник (см. обзоры [11,12,13]). Если размер берегов достаточно велик, то основную роль играет диффузия квазичастиц (в грязных сверхпроводниках). Характерные пространственные масштабы определяются длиной энергетической релаксации l_e = Ц{Dt_e} и длиной релаксации разбаланса (глубиной проникновения электрического поля) l_q = Ц{Dt_q}, D - коэффициент диффузии, t_e - врем неупругой релаксации, t_q - врем релаксации разбаланса. Если же размер берегов в направлении диффузии мал, то образуется пространственно однородное неравновесное состояние, релаксирующее с характерными временами t_e и t_q. В этом случае степень неравновесности может быть значительно больше.

Эффекты квазичастичного взаимодействия между контактами исследовались ранее в системах мостиков Мерсеро-Нотариса [14,15] и в S-N-S контактах [16,17]. В последнее время активно исследуются одномерные и двумерные системы туннельных S-I-S джозефсоновских контактов, а также многослойные структуры с характерными размерами (толщинами слоев) порядка микрона и меньше. Для этих структур нет оснований полагать, что неравновесные эффекты малы. Напротив, можно ожидать существования новых интересных явлений. Один из таких эффектов, исследованный ранее, - это неравновесное изменение энергетической щели в S-I-S структурах, интересным частным случаем которого является стимулирование (усиление) сверхпроводимости в двойном туннельном контакте с неравновесным средним слоем [18,19,20,21]. Еще более важную роль может играть нарушение джозефсоновского соотношения (dj/dt) = (2e/(^h/_2p))V между напряжением и разностью фаз на контакте в неравновесном случае (см. ниже). В слоистых сверхпроводниках с джозефсоновской связью между слоями неравновесные эффекты могут быть очень велики вследствие малой (3-10 ?) эффективной толщины слоев. В недавних работах [22,23,24,25,26,27,28, 29,30,31,32,33,34,35,36,37] было проведено прямое наблюдение внутреннего эффекта Джозефсона в ВТСП. В работах [38,39,40,41,42,43] была отмечена необходимость учета неравновесных эффектов, и особенно нарушения равновесного джозефсоновского соотношения, при интерпретации эксперимента.

В настоящей работе рассмотрены некоторые СВЧ свойства неравновесных джозефсоновских контактов. В части 2 работы сформулирована простая система уравнений теории неравновесного эффекта Джозефсона. В части 3 рассмотрена синхронизация в цепочке контактов. В части 4 исследовано СВЧ воздействие на цепочку (ступеньки Шапиро). В части 5 рассмотрен эффект неравновесного усиления джозефсоновских колебаний в системе двух контактов с существенно разными параметрами.

Неравновесный эффект Джозефсона

Изменение энергетической щели происходит при изменении симметричной по энергии части функции распределения n_e (n_e при e > 0 описывает распределение квазиэлектронов по энергиям, а n_e при e < 0 - квазидырок) и в простейшем случае может быть найдено из уравнения самосогласования Элиашберга [44]

Сдвиг химического потенциала конденсата в сверхпроводнике, напротив, определяется антисимметричной по энергии частью функции распределения [45,46,47]. В простейшем случае чистого сверхпроводника в пространственно однородном квазистатическом неравновесном состоянии распределение спаренных электронов по энергии дается выражением v_k² = (1/2)(1-x_k/e_k), где x_k = (^h/_2p)²k²/2m-e_F-dm, e_k = Ц{D²+x_k²} - спектр квазичастиц, dm - сдвиг химпотенциала. Тогда плотность заряда при dm << e_F определяется выражением

в котором первый член есть заряд конденсата, а второй - заряд квазичастиц, N(0) = mp_F/2p²(^h/_2p)³ - плотность состояний на поверхности Ферми. Уравнение (4) является вторым уравнением самосогласования. В квазинейтральном случае (r » 0) получаем

Это выражение отражает особенность зарядовых эффектов в сверхпроводниках: при возникновении электронно-дырочного разбаланса общая квазинейтральность может быть соблюдена за счет сверхпроводящих электронов.

Сдвиг химпотенциала может быть выражен через так называемый инвариантный потенциал: dm = -eF,

где f - электрический потенциал, q - фаза параметра порядка, F = 0 в равновесном состоянии. В чистом сверхпроводнике в квазиклассическом случае это соответствие следует прямо из вида спектра квазичастиц [46]. В общем случае именно калибровочно инвариантный потенциал F входит в динамические уравнения. Выражение для заряда принимает вид

где Y = ¹/_eт_D^Ґ(n_e-n_-e)de - потенциал электронно-дырочного разбаланса (oпределение потенциала Y именно таким образом удобно при получении динамических уравнений), r_d - длина экранирования электрического поля.

В состоянии со сдвигом химпотенциала обычное соотношение (dj_ij/dt) = (2|e|/(^h/_2p))V_ij между джозефсоновской разностью фаз j_ij = [q_j-q_i]signe и напряжением V_ij = f_i-f_j нарушается. Вместо этого, используя определение F, получаем неравновесное соотношение Джозефсона

Таким образом, в общем случае необходимо самосогласованным образом описывать динамику джозефсоновских фаз j_ij(t) и функций распределения n⁽ⁱ⁾_e(t) с учетом условий (3), (7) и с неравновесными выражениями для туннельного тока между берегами (слоями).

Основными параметрами, определяющими степень неравновесных эффектов любого типа в туннельных структурах и других системах со слабыми связями, являются произведения nt_e и nt_q, где n - так называемая туннельная частота, которая при малой толщине слоя d₀ << l_e,l_q равна

где R_N - сопротивление контакта в нормальном состоянии на единицу площади. Если nt_e > 1 или nt_q > 1, то возможно сильное искажение фукнции распределения квазичастиц.

При малых напряжениях (V << D) относительное изменение щели невелико, а взаимодействие (квазичастичное) джозефсоновских контактов, связанное с разбалансом, определяется, в основном, параметром h = 2nt_q f(T), где t_q при T ~ T_c может существенно превосходит время энергетической релаксации t_e, t_q = (4T/pD)t_e >> t_e. Фактор f(T) описывает уменьшение числа равновесных квазичастиц с температурой и для сверхпроводника с "хорошей щелью" (сильной особенностью в плотности состояний) равен f(T) = 1-tanh(D/2T). Следовательно при T ~ T_c: f(T) » 1, а при низких температурах разбаланс становиться экспоненциально малым. Если, однако, особенность в плотности состояний размыта, то экспоненциальное спадание эффекта с температурой уже не имеет места. Такое размытие происходит в сверхпроводниках с магнитными примесями, в тонких слоях вследствии влияни границы, а также при неизотропной в импульсном пространстве щели, что может быть в ВТСП.

Рис. 1 Система джозефсоновски связанных тонких слоев.

В этой работе мы рассматриваем систему джозефсоновски связанных тонких слоев (Рис. 1), с туннельным механизмом переноса тока между слоями. Таким образом, состояние i-го слоя определяется его взаимодействием с i-1 и i+1 слоями. Будем считать, что толщина слоёв d₀ сравнима с глубиной экранирования электрического поля r_d (что имеет место в ВТСП) и много меньше характерных глубин релаксации неравновесности d₀ << l_e,l_q. В этом случае анализ зарядовых эффектов упрощается, так как можно провести усреднение всех величин по толщине слоя.

Система уравнений для макроскопических величин: электронно-дырочного разбаланса в слое Y_i и тока между слоями J_i-1,i была получена в [40,41,42,43] и в простейшем случае имеет вид

где G - некоторый параметр, меньший единицы. В выражении для тока первый член соответствует нормальному (квазичастичному) току в равновесном случае, а второй - описывает неравновесную добавку к нормальному току, третий член представляет собой обычное выражение дл сверхтока.

Используя эти уравнения, выведем полную систему динамических уравнений для цепочки контактов. Следуя работам [38,39,42,48,49,50], воспользуемся уравнением непрерывности

и уравнением, связывающим напряжение (электрическое поле) между слоями с зарядом слоев

здесь d - расстояние между слоями, e₀ - диэлектрическая проницаемость. Из этих уравнений следует, что

J(t) - внешний ток. Эти уравнения совместно с неравновесным соотношением Джозефсона (8), выражениями для заряда (7) и тока (11), а также уравнением динамики разбаланса (10) составляют полную систему динамических уравнений цепочки контактов.

В безразмерном виде получаем

где j(t) - внешний ток в единицах J_c, v(t) - внешнее напряжение в единицах V_c = R_NJ_c, m(t) = F(t)/V_c, y(t) = Y(t)/V_c, и a = t_qw_c, b = w_c²/w_p², z = (e₀ r_d²)/(d₀d), w_c = (2eR_NJ_c)/(^h/_2p), w_p² = (8pedJ_c)/((^h/_2p)e₀S), t = w_c t, h = 2nt_q. Отметим, что между коэффициентами имеет место соотношение az = bh, вытекающее из их определений.

Уравнения (15)-(18) являются простейшим приближением, они справедливы вблизи критической температуры или в бесщелевых сверхпроводниках. В более общем случае необходимо учитывать т.н. интерференционные члены в выражении для тока и в уравнении динамики электронно-дырочного разбаланса (см. [43]). Эти члены, даже если они малы, могут существенно влиять на СВЧ взаимодействие контактов. Ниже мы рассмотрим влияние интерференционного члена "f2" в уравнении для разбаланса. Модифицированное уравнение имеет вид

Синхронизация в цепочке контактов

Рис. 2 Временная динамика джозефсоновских фаз (изображены dj₁/dt, dj₂/dt и dj₃/dt) при b = 10, aG = 0.1, h = 0.5, z = 1 и j = 2 с учетом интерференционного члена "f2" с f2 = 0.1 (режим со сдвигом фаз).

Ступеньки Шапиро при внешнем СВЧ воздействии

Условием ВЧ предела является

При слабом внешнем сигнале (A << 1) достаточно разложить sin в ряд, тогда для < sinj > имеем

Проведенные нами численные расчеты вольт-амперных характеристик одномерных цепочек неравновесных контактов показали, что результат СВЧ воздействи существенно зависит от того, в каком динамическом состоянии находились контакты без внешнего СВЧ тока. Для сравнения на Рис. 3 показаны ВАХ двух цепочек 10 контактов с параметрами b = 10, z = 1 и разной степенью неравновесности: h = 0.1, a = 0.01 (показаны сплошной линией) и h = 1, a = 1 (показаны пунктирной линией), при разном уровне переменного тока I_w = 5, 20, 30. Видно, что в цепочке со слабой неравновесностью (h = 0.1) ступеньки Шапиро формируются обычным образом. В случае же сильной неравновесности (h = 1), при слабом вненшнем воздействии ступеньки вовсе отсутствуют и начинают формироваться только когда внешнее воздействие пересиливает взаимодействие между контактами.

Неравновесное усиление джозефсоновских колебаний

Переходя к безразмерным переменным, будем считать, что характерные напряжения контактов совпадают R₁J_c1 = R₂J_c2 = V_c. Это предположение вполне разумно, например, для туннельных контактов, отличающихся прозрачностью барьера. Тогда получим

Предположим теперь, что прозрачность (туннельная частота) второго барьера значительно больше, чем первого n₁ << n₂. Тогда критические токи и параметры неравновесности контактов существенно различаются J_c1 << J_c2, h₁ << h₂. Рассмотрим область внешних токов больших, чем критический ток второго контакта. Тогда j₂ > 1 и j₁ >> 1. Вкладом от члена h₁sinj₁ в уравнении для m можно пренебречь, и тогда в простейшем случае aG << 1 и bw² << 1 получим

Из этого уравнения следует, что критический ток эффективно увеличилс в 1+h₂ раз и, соответственно, увеличится амплитуда джозефсоновских осцилляций. В то же время высокочастотные джозефсоновские осцилляции на первом контакте с частотами в j₁/j₂ раз большими, чем на втором контакте, можно не принимать во внимание.

Заключение

Автор благодарит А.А. Андронова, В.В. Курина и А.С. Мельникова за поддержку работы и плодотворные дискуссии. Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ No. 97-02-16928, 99-02-16188 и 96-15-96591 ("Ведущие научные школы"), а также при поддержке гранта INTAS No. 96-0457 и исследовательской программы Международного центра фундаментальной физики в Москве (ICFPM).

References

[1]

B. D. Josephson. Phys. Lett., 1, 251-253, (1962).

[2]

P. W. Anderson and J. M. Rowell. Phys. Rev. Lett., 10, 230-232, (1963).

[3]

И. О. Кулик и И. К. Янсон. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. М.: Наука, (1970).

[4]

Л. Солимар. Туннельный эффект в сверхпроводниках и его применение. М.: Мир, (1974).

[5]

К.К. Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов. М.: Наука, (1985).

[6]

А. Бароне, Дж. Патерно, Эффект Джозефсона , М.: Мир, (1984).

[7]

K. Лихарев, Б. Ульрих, Системы с джозефсоновскими контактами . M: Наука, (1978).

[8]

A. K. Jain, K. K. Likharev, J. E. Lukens, and J. E. Sauvageau. Phys. Rep, 109 (6), 309-426, (1984).

[9]

P.A.A. Booi, S.P. Benz, Appl. Phys. Lett. 68, 3799 (1996).

[10] V.P. Koshelets et al., Phys. Rev. B 56, 5572 (1997).

[11] С.Н. Артеменко, А.Ф. Волков, УФН 128, 3 (1979).

[12] Nonequilibrium Superconductivity, ed. D.N. Langenberg and A.I. Larkin, Modern Problems in Condensed Matter Sciences Vol. 12 (North-Holland, Amsterdam, 1986).

[13] А.М. Гулян, Г.Ф. Жарков, Сверхпроводники во внешних полях, М.: Наука (1990).

[14] D.W. Palmer, J.E. Mercereau, Phys. Lett. A 61, 135 (1977).

[15] С.Н. Артеменко, А.Ф. Волков, А.В. Зайцев, Письма в ЖЭТФ 37, 122 (1978).

[16] В.К. Каплуненко, В.В. Рязанов, В.В. Шмидт ЖЭТФ 89, 1389 (1985).

[17] В.К. Каплуненко ФНТ12, 382 (1986).

[18] M.G. Blamier, E.C.G. Kirk, J.E. Evetts, and T.M. Klapwijk, Phys. Rev. Lett. 66, 220 (1991).

[19] И.П. Невирковец, М.Г. Бламайер, Дж.Е. Иветс, ФНТ 21, 1258 (1995).

[20] I.P. Nevirkovets, Phys. Rev. B 56, 832 (1997).

[21] Ф.В. Комиссинский, Г.А. Овсянников, Письма в ЖЭТФ 61, 587 (1995).

[22] R. Kleiner, F. Steinmeyer, G. Kinkel, and P. Muller, Phys. Rev. Lett. 68, 2394 (1992); R. Kleiner and P. Muller, Phus. Rev. B 49, 1327 (1994).

[23] Yu.I. Latyshev and A.F. Volkov, Physica (Amsterdam) 182C, 47 (1991); Yu.I. Latyshev, J.E. Nevelskaya, and P. Monceau, Phys. Rev. Lett. 77, 932 (1996).

[24] F.X. Regi, J. Schneck, J.F. Palmier, and H. Savary, J. Appl. Phys. 76, 4426 (1994).

[25] J. Takeya and S. Akita, Physica (Amsterdam) 235-240C, 3287 (1995).

[26]

A. Yurgens, D. Winkler, Y.M. Zhang, N. Zavaritsky, and T. Claeson, Physica (Amsterdam) 235-240C, 3269 (1995).

[27]

Ji Ung Lee, J.E. Nordman, and G. Hohenwarter, Appl. Phys. Lett. 67, 1471 (1995).

[28]

M. Veith et al., J. Appl. Phys. 80, 3396 (1996).

[29]

K. Schlenga et al., Phys. Rev. Lett. 76, 4943 (1996).

[30]

A. Yurgens, D. Winkler, N.V. Zavaritsky, and T. Claeson, Phys. Rev. B 53, R8887 (1996); Phys. Rev. Lett. 79, 5122 (1997).

[31]

K. Tanabe, Y. Hidaka, S. Karimoto, and M. Suzuki, Phys. Rev. B 53, 9348 (1996).

[32]

M. Rapp, A. Murk, R. Semerad, and W. Prusseit, Phys., Rev. Lett. 77, 928 (1996).

[33]

A. Odagawa, M. Sakai, H. Adachi, K. Setsune, T. Hirao, and K. Yoshida, Jpn. J. Appl. Phys. 36, L21 (1997).

[34]

M. Itoh, S. Karimoto, K. Namekawa, and M. Suzuki, Phys. Rev. B 55, R12001 (1997).

[35]

S.I. Yan, L. Fang, M.S. Si, and J. Wang, J. Appl. Phys. 82, 480 (1997)

[36]

H.L. Jonson, G. Hechtfischer, G. G?tz, R. Kleiner, and P. Muller, J. Appl. Phys. 82, 756 (1997)

[37]

K. Schlenga et al., Phys. Rev. B 57, 14518 (1998)

[38]

T. Koyama and M. Tachiki, Phys. Rev. B 54, 16183 (1996).

[39]

S.N. Artemenko and A.G. Kobelkov, Phys. Rev. Lett. 78, 3551 (1997).

[40]

D.A. Ryndyk, cond-mat/9511001 (1995).

[41]

D.A. Ryndyk, Письма в ЖЭТФ 65, 755 (1997) [JETP Lett. 65, 791 (1997)].

[42]

D.A. Ryndyk, Phys. Rev. Lett. 80, 3376 (1998).

[43]

Д.А. Рындык, ЖЭТФ 116, 1798 (1999)

[44]

Г.М. Элиашберг, ЖЭТФ 61, 1254 (1971).

[45]

M. Tinkham and J. Clarke, Phys. Rev. Lett. 28, 1366 (1972); M. Tinkham, Phys. Rev. B 6, 1747 (1972).

[46]

А.Г. Аронов, В.Л. Гуревич, ФТТ 16, 2656 (1974); A.G. Aronov, Yu.M. Gal'perin, V.L. Gurevich, and V.I. Kozub, Adv. Phys. 30, 539 (1981).

[47]

А.Ф. Волков, А.В. Зайцев, ЖЭТФ 69, 2222 (1975).

[48]

L.N. Bulaevsky et al., Phys. Rev. B 50, 12 831 (1994).

[49]

L.N. Bulaevskii et al., Phys. Rev. B 53, 14 601 (1996); L.N. Bulaevskii et al., Phys. Rev. B 54, 7521 (1996).

[50]

A.S. Mel'nikov, Phys. Rev. Lett. 77, 2786 (1996).

Автор: Рындык Дмитрий Александрович, e-mail: ryn@ipm.sci-nnov.ru

оглавление

дискуссия