|
"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 11, 2001 | |
КРАЕВАЯ
ЗАДАЧА МАГНИТОСТАТИКИ НА ПЛОСКОСТИ
ДЛЯ СРЕД С КОНЕЧНОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
С.Н. Кузнецов
Северо-Кавказский
государственный технологический университет
Получена 25 октября 2001 г.
В работе поставлена и решена краевая задача магнитостатики на плоскости для конечной относительной магнитной проницаемости среды. В отличие от работ других авторов, граничные условия для магнитного поля были представлены в комплексной форме. Задача была решена в замкнутом виде с применением конформных преобразований и интеграла типа Коши. Показано применение полученных результатов на простейших примерах.
ВВЕДЕНИЕ
В классических работах по теории электромагнитного поля (в частности [1..3]) в основном рассматриваются граничные условия Неймана и Дирихле для уравнений магнитостатики. Решения этих краевых задач были получены в аналитическом или замкнутом виде.
В общем случае для магнитного поля граничные условия формулируются следующим образом:
на
границе раздела магнитных сред для магнитного поля выполняется условие непрерывности
тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля - 
, [4]:
,
(1)
для
магнитного поля на границе раздела сред выполняется условие непрерывности
нормальной составляющей вектора магнитной индукции - 
[4]:
,
(2)
где "+" и "-" - означают предельные значения на границе раздела сред.
Для таких граничных условий в аналитическом или замкнутом виде решены только простейшие задачи (поле тока расположенного над плоской границей, ограничивающей среду с конечной магнитной проницаемостью; бесконечный полый цилиндр с конечной магнитной проницаемостью в однородном магнитном поле и т.д.).
Поэтому нахождение решения краевой задачи на плоскости для граничных условий (1) и (2) является весьма актуальной задачей.
Широкое применение для решения подобных задач находит теория функций комплексного переменного (ТФКП) [5]. Для того, чтобы воспользоваться методами ТФКП, необходимо представить граничные условия (1) и (2) в комплексной форме записи. Затем решить краевую задачу, используя конформные преобразования и интеграл типа Коши.
Следует отметить, что сама теория функций комплексного переменного и в особенности теория конформных отображений - возникла и развилась на основании физических представлений. А интеграл типа Коши для краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного [5], [6] является аналогом потенциалов простого и двойного слоя.
1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Пусть
имеется контур 
, который ограничивает
односвязную область 
, с относительной
магнитной проницаемостью 
(рис. 1). Дополнительную
к области 
часть плоскости
обозначим через 
. Относительная магнитная
проницаемость области 
равняется единице.
Рис. 1.
Обозначим
через 
комплексную магнитную
индукцию, а через 
комплексно-сопряженную
магнитную индукцию [2], [3], где 
- проекция вектора
магнитной индукции на ось x, 
- проекция вектора
магнитной индукции на ось y, j- мнимая единица 
, 
-комплексная координата,
сопряженная комплексная
координата ("*"- обозначает сопряженную комплексную величину).
Комплексный магнитный потенциал можно представить 
, где 
- действительная
функция комплексного переменного 
, которая называется
функцией потока, 
- действительная
функция комплексного переменного 
, которая называется
потенциальной функцией.
Производная
от комплексного магнитного потенциала 
умноженная на j,
не что иное, как комплексно-сопряженная магнитная индукция 
[2], [3]:
.
Перейдем к выводу граничных условий в комплексной форме записи.
Преобразовав
(1), с учетом того, что 
и 
, получим известное
соотношение [1] для тангенциальной составляющей вектора магнитной индукции 
.
Представим
вектор магнитной индукции 
, как сумму векторов
"источника" магнитного поля 
и отклика от среды
:
.
(3)
Под "источниками" будем понимать проводники с постоянным током, электрически заряженные частицы и тела, движущиеся с постоянной скоростью в однородной и изотропной среде, а также намагниченные тела, которые и создают статическое магнитное поле (кавычки применяются потому, что магнитное поле - вихревое).
Для
тангенциальной составляющей вектора 
будем иметь 
. Тангенциальная
составляющая "источника" 
функция непрерывная
везде, кроме некоторых точек принадлежащих области "источника" и поэтому
можно записать
.
(4)
Пусть
- угол наклона касательной
к точке 
лежащей на границе
раздела магнитных сред, 
- нормальная составляющая
магнитной индукции, 
- тангенциальная
составляющая магнитной индукции, 
и 
- орты, 
- единичный вектор
нормали, 
- единичный вектор
касательной (рис. 2).
Рис. 2.
Повернем
вектор
на угол 
, тогда тангенциальная
составляющая 
также повернется
на угол 
и будет параллельна
оси x, а нормальная составляющая 
, после порота будет
параллельна оси y (рис. 2). В комплексной форме поворот на угол 
, можно представить,
как:
,
или для сопряженных комплексных величин
.
(5)
Из соотношения (5) для тангенциальной составляющей получим
.
(6)
Тогда подставив (6) в (4), будем иметь
.
Умножив
левую и правую часть на 
, получим
.
Дифференциал
комплексно сопряжен
с дифференциалом 
, следовательно
.
(7)
Подставляя
выражение (7) в предыдущее, получим граничное условие для тангенциальной составляющей
в комплексной форме
записи
.
(8)
Из выражения (5) для нормальной составляющей, будем иметь
.
(9)
Подставим соотношение (3) в граничное условие (2), затем в полученное выражение подставим (9), имеем
.
Умножим
левую и правую часть на 
, подставим далее
выражение (7) в полученное, будем иметь граничное условие для нормальной составляющей
в комплексной форме
записи
.
(10)
2. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Краевая задача формулируется следующим образом: найти
функцию 
аналитическую в
областях 
и 
, предельное значение
которой, удовлетворяет на контуре 
(рис. 1) краевому
условию вида (8) и (10).
Решение краевой задачи:
Отобразим
область 
на нижнюю полуплоскость
при помощи конформного преобразования 
, где 
, а 
принадлежит нижней
полуплоскости (рис.3).
Рис. 3.
Для
точки 
принадлежащей контуру
и точки 
принадлежащей действительной
оси, можно записать 
, тогда
.
(11)
Из выражения для комплексно-сопряженной магнитной индукции будем иметь
,
(12)
а для комплексной магнитной индукции
.
(13)
Подставляя соотношения (11), (13) и (13) в граничное условие (8), имеем
.
Производя
несложные преобразования, получим выражение граничного условия для тангенциальной
составляющей 
в случае плоской
границы
.
(14)
Аналогично
для нормальной составляющей 
, граничное условие
в случае плоской границы можно получить из соотношения (10):
.
(15)
Для нахождения решение краевой задачи для плоской границы будем использовать интеграл типа Коши [5..8] (подобный подход предложен Ф.Д. Гаховым для решения краевой задачи общего типа [7]), в виде которого можно представить производную комплексного магнитного потенциала:
,
где
- плотность, которая
должна удовлетворять условиям Гёльдера, а 
- ядро.
Проинтегрировав
по 
, получим для комплексного
магнитного потенциала решение в виде
.
(16)
По формуле Сохоцкого [6..8] определим для нижней полуплоскости предельное значение производной комплексного магнитного потенциала в виде
,
(17)
где
точка 
принадлежит границе
между верхней и нижней полуплоскостью (рис. 3).
Для верхней полуплоскости по формуле Сохоцкого предельное значение производной комплексного магнитного потенциала имеет вид
.
(18)
Для
комплексно-сопряженной величины 
выполняется следующее
соотношение 
, так как 
, в следствии того,
что точка 
лежит на действительной
оси.
Вычтем из выражения (17) сопряженную комплексную величину и получим
.
Вычитая из соотношения (18) сопряженную комплексную величину, будем иметь
.
Вычитая из предыдущего выражения последнее, получим
Тогда
исходя из того, что граничное условие (15) равно нулю, следует что 
.
Сложим с соотношением (17) сопряженную комплексную величину, получим
.
А с выражением (18) также сложим сопряженную комплексную величину, будем иметь
.
Интеграл в двух последних выражениях равен нулю, следовательно
и
.
Подставляя полученные соотношения в граничное условие (14), будем иметь
.
Делая простые преобразования, получим для плотности следующую формулу
.
(19)
Подставив
формулу для определения плотности (19) в соотношение (16) и прибавляя 
, получим выражение
для комплексного магнитного потенциала
,
,
где
- контур, ограничивающий
нижнюю полуплоскость и 
- конформное преобразование
нижней полуплоскости на область 
.
Применяя
обратное конформное преобразование 
, получим выражение
для комплексного магнитного потенциала
,
(20)
где
- контур,
ограничивающий область 
. Или используя то,
что 
и 
, так как 
лежит на действительной
оси, получим другое представление для комплексного магнитного потенциала
,
(21)
где
- контур, сопряженный
к контуру 
.
Дифференцируя комплексный магнитный потенциал (20) и умножая на мнимую единицу, получим решение краевой задачи для комплексно-сопряженной магнитной индукции
,
(22)
Аналогично комплексному магнитному потенциалу решение краевой задачи для комплексно-сопряженной магнитной индукции можно представить и в виде
.
(23)
Проверим полученные формулы (22) и (23) для частных случаев.
3. ПРИМЕРЫ
3.1.
Произвольный "источник" магнитного поля 
над полуплоскостью
с относительной магнитной проницаемостью 
(рис. 4.).
Рис. 4.
Исходя
из формулы (23) и того, что 
для среды в виде
нижней полуплоскости имеем
.
В
следствии того, что 
и 
аналитические функции
в нижней и верхней полуплоскости соответственно, и непрерывные на границе раздела
сред (на действительной оси) - интегралы в последнем выражении - будут интегралами
Коши.
Тогда комплексно-сопряженная магнитная индукция для верхней полуплоскости примет вид:
,
то
есть поле будет создаваться двумя "источниками" 
и 
(рис. 4).
Для
нижней полуплоскости поле создается источником 
(рис. 4), то есть
.
Таким образом, получены хорошо известные выражения для магнитной индукции, которые получены методом зеркальных изображений [1..3].
3.2.
Произвольный "источник" магнитного поля 
над угловой границей
среды с относительной магнитной проницаемостью 
(рис. 5).
Рис. 5.
Для
среды с границей в виде прямого угла - конформное отображение 
и производная 
. И тогда из формулы
(23) получим
Делая несложные преобразования, имеем
.
Поскольку
аналитическая функция
в области ограниченной контуром 
и непрерывна на
этом контуре, первый интеграл в предыдущей формуле - интеграл Коши.
аналитична в области
ограниченной контуром 
и непрерывна на
, поэтому и второй
интеграл также будет интегралом Коши.
Третий
интеграл также является интегралом Коши в следствии того, что 
аналитическая функция
в области ограниченной контуром 
и непрерывная функция
на данном контуре.
Аналогично
и четвертый интеграл - интеграл Коши из-за аналитичности 
в области ограниченной
контуром 
и непрерывности
на контуре 
.
Тогда комплексно-сопряженная магнитная индукция для первого квадранта примет вид:
,
для второго квадранта
,
для третьего квадранта
,
и, наконец, для четвертого квадранта
.
Метод зеркальных изображений позволяет также получить эти выражения для магнитной индукции [1..3].
3.3.
Произвольный "источник" магнитного поля 
над границей в виде
окружности, ограничивающей среду с относительной магнитной проницаемостью 
.
Рис. 6.
Полуплоскость является предельным случаем круга, когда его радиус стремится к бесконечности. Для случая круга формула (23) будет иметь вид
, или
.
В
следствии того, что 
аналитическая функция
в области ограниченной контуром 
и непрерывна на
этом контуре, первый интеграл в предыдущей формуле - интеграл Коши. Поэтому
внутри круга комплексно-сопряженная магнитная индукция имеет вид:
.
Для
внешней области 
аналитическая функция
непрерывная на контуре 
, поэтому второй
интеграл является интегралом Коши. Следовательно вне круга комплексно-сопряженная
магнитная индукция будет имеет вид:
.
Подобный результат можно получить методом зеркальных изображений [1..3].
Частным
случаем предыдущего примера является поле тока над цилиндрической средой с относительной
магнитной проницаемостью 
. Комплексно-сопряженная
магнитная индукция оси с током 
, а комплексная индукция
.
Вне цилиндрической среды
.
Внутри среды
.
Приведенные примеры подтверждают правильность полученных выражений (22) и (23).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе поставлена и решена краевая задача магнитостатики на плоскости для конечной магнитной проницаемости среды. Для того, чтобы воспользоваться хорошо разработанным аппаратом теории функций комплексного переменного, граничные условия были представлены в комплексной форме. Применяя конформные преобразования и интеграл типа Коши, было получено решение задачи в замкнутом виде.
Следует отметить, что:
§
решение было получено только для односвязных областей, но его
можно распространить и на многосвязные области,
§
для получения инженерных методик расчета необходимо использовать
приближенные конформные преобразования,
§
полученные результаты легко распространяются и на электростатику.
Решение этих задач и является предметом дальнейших исследований.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шимони К. Теоретическая электротехника:
пер. с нем. - М.: Мир, 1964.
2. Бинс К., Лоуренс П. Анализ и расчёт электрических
и магнитных полей. - М.: Энергия, 1970.
3. Бухгольц Г. Расчёт электрических и магнитных полей.
- М.: ИЛ, 1961.
4. Зоммерфельд А. Электродинамика. - М.: ИЛ, 1958.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций
комплексного переменного. - М.: Наука, 1987.
6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука,
1977.
7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи Римана для
систем n пар функций // Успехи мат. наук. - 1952. - т. VII, вып. 4(50).
8. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т. III.- М.:
Наука, 1974.
Автор: С.Н. Кузнецов, к.т.н., с.н.с. Информационного Центра СКГТУ, E-mail: apinf@globalalania.ru
 |
 |