УДК 538.9; 537.63

Осцилляции тока в квантовых кольцах со спин-орбитальным взаимодействием, возникающие при переключении магнитного поля

 

П. М. Шмаков, П. С. Алексеев

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук

 

Получена 11 декабря 2012

 

Аннотация. В работе изучена динамика тока, возникающего при внезапном переключении магнитного поля в квантовом кольце со спин-орбитальным взаимодействием вследствие сохранения углового момента.

Ключевые слова: квантовые кольца, спин-орбитальное взаимодействие, влияние магнитного поля.

Abstract: In the paper the dynamic of current appearing due to the sudden switching of magnetic field in the quantum ring with spin-orbital interaction as a result of angular momentum saving is investigated.

Key words: quantum ring, spin-orbital interaction, influence of magnetic field.

 

В работе [1] было показано, что в квантовых кольцах, помещенных в магнитное поле, может существовать равновесный незатухающий ток (persistent current). С тех пор этому вопросу было посвящено большое количество теоретических работ ([2-5] и другие). В недавней работе [6] эти токи наблюдались экспериментально. При этом динамике таких токов посвящено гораздо меньше работ (см., например, [7]). Во всех этих работах предполагалась, что система выводится из равновесия лазерным импульсом.

         Настоящая работа посвящена неравновесным токам, возникающим в кольце со спин-орбитальным взаимодействием после внезапного переключения магнитного поля. Мы показываем, что в этих условиях после переключения поля возникают осциллирующий ток, и находим его частоту и амплитуду. 

Мы начинаем с описания стационарных состояний электрона в одноканальном баллистичеcком кольце со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием. Гамильтониан электрона в таком кольце имеет вид:

                                                                              

Здесь   кинетическая энергия:

                                                                                           

где    - угловая координата электрона в кольце,  и  описывают зеемановское взаимодействие с однородным внешним полем и спин-орбитальное взаимодействие, обусловленное аксиально-симметричным встроенным полем:

                                                                                          

                        

                   

Здесь  - энергия зеемановского расщепления,  - угол между встроенным полем и плоскостью кольца,  - безразмерный параметр, характеризующий силу спин-орбитального взаимодействия,   - антикоммутатор.

 Задача изучается в квазиклассическом случае (), в котором роль спин-орбитального взаимодействия сводится к вращению спина электрона в эффективном магнитном поле, меняющемся вдоль траектории электрона. Стационарные волновые функции и уровни энергии в этом случае имеют вид:

           

                

                                              

                        

                     

Здесь мы ввели следующие обозначения:

         

      

Мы начнем с простого примера. Предположим, что к кольцу приложено достаточно сильное магнитное поле (, но ), так что спины электронов вблизи уровня Ферми поляризуются вдоль оси z, перпендикулярной плоскости кольца. В момент времени   магнитное поле выключается (). Рассмотрим один из электронов, спин которого направлен вдоль оси z. Волновая функция его начального состояния имеет вид:

             

         

Здесь мы опустили индексы  у величин  и , так как при  мы имеем   и . При  получаем:

                             

              

где  .

Ток, текущий по кольцу, считается по следующей формуле:

                                  

                        

Для электрона с волновой функцией (10) расчет приводит к выражению , где   и

                                       

                          

Рассчитывая аналогичным образом ток электрона со спином против оси z, получаем  , причем .

Мы предполагаем, что при  система находилась в равновесии, и электроны имели  распределение , где  - функция Ферми, .  Выражение для суммарного тока имеет вид ,  где не зависящий от времени вклад   есть проявление электромагнитной индукции, вызванной изменением магнитного потока, а зависящий от времени вклад дается следующей формулой:

               

        

Здесь  - это полный спин в начальном состоянии.  Поведение тока в кольце изображено на рис. 1.

 

Рис. 1. Осцилляции тока в кольце, возникающие при внезапном выключении магнитного поля в момент времени

 

В случае слабого спин-орбитального взаимодействия () имеем    и .  В случае   получаем   и .

Физически возникновение осцилляций тока объясняется следующим образом. После выключения магнитного поля спины прецессируют около направления эффективного магнитного поля, создаваемого спин-орбитальным взаимодействием (это направление образует угол  с осью z). Таким образом, проекция спина на ось z спина осциллирует.  Вследствие аксиальной симметрии системы, однако, z – компонента полного углового момента сохраняется. Это значит, что осцилляции z – компоненты спина должны быть компенсированы осцилляциями орбитального момента, то есть тока.

В экспериментах слабые токи в квантовых кольцах изучаются путем измерения магнитных полей, создаваемых этими токами. Магнитное поле на расстояниях, больших размера кольца, имеет вид

                                                                        

где  . Магнитный момент  электрона в кольце вычисляется по следующей формуле

                                  

         Здесь   - единичный вектор вдоль оси z.

В рассматриваемом примере осциллирующая часть магнитного момента имеет следующий вид:

                                                        

Подставляя (16) в (14), находим магнитное поле. В частности, на оси симметрии кольца имеем:

                                                  

Рассмотрим теперь более общий случай, когда начальное и конечное значения магнитного поля произвольны. В этом случае осциллирующая часть тока электрона имеет вид

                                               

Здесь величины   и  соответствуют начальному магнитному полю,   и    - конечному. Частота осцилляций тока отличается для электронов, движущихся по и против часовой стрелки:    .

Предполагая, как и раньше, равновесное распределение при , получаем следующее выражения для осцилляций полного тока:

      

Измеряя магнитное поле, создаваемое этим током, можно определить параметры системы, в частности, параметры спин-орбитального взаимодействия.

 

Работа поддержана Министерством образования и науки РФ (соглашение №8862).

 

Литература

1. M. Büttiker, Y. Imry, and R. Landauer, Physics Letters A, vol. 96, no. 7, 365–367, 1983.

2. B. Reulet and H. Bouchiat, Physical Review B, 50, 2259–2272, 1994.

3. F. Marchesoni, Journal of Statistical Physics, vol. 70, no. 1-2, 247–256, 1993.

4. E. M. Q. Jariwala, P. Mohanty, M. B. Ketchen, and R. A. Webb, Physical Review Letters, 86, 1594–1597, 2001.

5. H. Bluhm, N. C. Koshnick, J. A. Bert, M. E. Huber, and K. A. Moler, Physical Review Letters, vol. 102, no. 13, p. 136802, Mar. 2009.

6. A. C. Bleszynski-Jayich, W. E. Shanks, B. Peaudecerf, E. Ginossar, F. von Oppen, L. Glazman, J. G. E. Harris,  Science 326 (5950), arXiv:0906.4780.

7. Y. V. Pershin and C. Piermarocchi, Physical Review B 72, 125348, 2005.