"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 2, 2004 |
ВОЗБУЖДЕНИЕ ПЛАНАРНОЙ РЕШЕТКИ ЩЕЛЕВЫХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ
ВОЗБУДИТЕЛЕМ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
Получена 16.02.2004 г.
Аннотация
Рассмотрена задача о возбуждении двумерным пучком Т-волн плоского волновода решетки щелевых излучателей, выполненных в экране плоского волновода. Пучок Т-волн моделирует поле, порождаемое возбудителем решетки конечных размеров. Решение задачи основано на полученном ранее решении задачи о возбуждении решетки одиночной Т-волной. Волновой пучок представляется в виде спектра Т-волн с разными волновыми векторами. Рассеянное поле в силу принципа суперпозиции также представляется в виде аналогичного спектрального разложения. Приводятся результаты численного исследования решеток, возбуждаемых пучками. Полученные результаты позволяют оценить влияние конечных размеров возбудителя на параметры решетки: диаграмму направленности, коэффициент усиления и т.д.
Введение
Работа посвящена методам анализа антенных решеток щелевых излучателей на основе плоского металлического волновода и является продолжением серии работ [1,2,3], посвященных антеннам данного типа. В работах [1,2] исследована бесконечная двумерно-периодическая решетка щелей. В работе [3] получено электродинамическое решение задачи о возбуждении решетки конечной длины, возбуждаемой собственной волной плоского волновода (ПВ), падающей под произвольным углом.
В работах [1,2,3] мы рассматривали решетку щелей, бесконечную вдоль оси 0y и считали, что решетка возбуждается основной Т-волной ПВ. То есть в качестве возбудителя рассматривалась волна с плоским фронтом. Однако реальный возбудитель имеет конечные размеры, а распределение возбуждающего поля может оказаться неравномерным. В данной работе мы продолжаем исследование антенных решеток такого типа, причем в первую очередь нас интересует влияние указанных выше факторов. Особенность возбудителя, имеющего конечные размеры заключается в том, что он порождает не одну плоскую волну, а целый спектр плоских волн, то есть волновой пучок. Этот волновой пучок затем распространяется в плоскости ПВ и возбуждает собственно решетку. Таким образом, единая задача о возбуждении решетки возбудителем конечных размеров разделяется на две более простые подзадачи. Первая из них – это задача о возбуждении волнового пучка, а вторая – это возбуждение решетки этим волновым пучком. Будем последовательно решить данные задачи.
1. Возбуждение волнового пучка
Рассмотрим излучение возбудителя, находящегося в ПВ, причем предполагаем, что ПВ одномодовый и в нем может распространяться только основная Т-волна. Отсюда, в частности, следует, что говоря о пучке в ПВ мы имеем ввиду двумерный волновой пучок, образованный спектром Т-волн.
Отметим, что конкретная конструкция возбудителя нас в данный момент не интересует. Вообще говоря, возбудитель представляет собой антенну, предназначенную для излучения не в свободное пространство, а в ПВ. Роль такой антенны может выполнять плоская рупорно-линзовая антенна, плоская рупорно-зеркальная антенна или многоканальный делитель мощности. Общим свойством всех перечисленных устройств является то, что они создают в некотором сечении ПВ амплитудно-фазовое распределение поля, имеющее постоянную фазу и медленно меняющуюся амплитуду. Поле, сформированное возбудителем, возбуждает ПВ. Для задачи возбуждения решетки существенным является только вид амплитудно-фазового распределения поля в раскрыве возбудителя. При этом способ его формирования значения не имеет. Поэтому далее будем рассматривать возбудитель как некоторое сечение ПВ, в котором существует заданное поле, являющееся первичным по отношению к ПВ и решетке и будем решать задачу возбуждения ПВ и решетки этим первичным полем.
Воспользуемся теоремой эквивалентных поверхностных электрических и магнитных токов [4]. Обозначим векторы электромагнитного поля порожденного возбудителем через и . Разделим все пространство замкнутой поверхностью S, охватывающей возбудитель, на две области 1 и 2 (рис. 1).
Известно, что основная Т-волна ПВ имеет три компоненты электромагнитного поля: . Касательными к поверхности S являются компоненты и .
Пользуясь линейностью уравнений Максвелла, рассмотрим мысленно по отдельности:
1) компоненту вектора НВу , полагая ЕВz=0;
2) компоненту вектора ЕВz , полагая НВу=0.
В первом случае поверхность S представляется идеальным электрическим проводником, поскольку на ней вектор магнитного поля имеет только тангенциальную составляющую. По теореме эквивалентности по поверхности S течет поверхностный электрический ток, плотность которого определяется выражением
, (1)
где - тангенциальная к поверхности S компонента магнитного поля возбудителя, - нормаль к поверхности, внешняя относительно рассматриваемой области (область 2 см. рис.1).
Покажем, что для решения задачи о возбуждении решетки на основе ПВ можно воспользоваться двумерной функцией Грина. Рассмотрим возбуждение ПВ электрическим током
. (2)
Так как ПВ является структурой, ограниченной вдоль оси 0z, то задачу его возбуждения удобно решать методом собственных функций. Собственные функции для ПВ хорошо известны [4]: , это система взаимно ортогональных собственных функций. В силу ортогональности собственных функций , постоянный по оси 0z ток порождает лишь собственную волну с n=0, то есть и . Таким образом данная задача сводится к двумерной.
Векторный потенциал эквивалентного поверхностного электрического тока в некоторой точке Р области 2 может быть определен по формуле:
,
где в силу двумерности задачи
,
- волновое число свободного пространства, e - диэлектрическая проницаемость пластины, а электрический ток определяется выражением (2).
. (3)
Тогда получаем для векторного потенциала новое представление:
, (4)
где .
Тогда при величина g является действительной и экспонента под интегралом в (4) описывает затухающие волны, амплитуда которых уменьшается по экспоненте при удалении в обе стороны от оси 0y. Если же , то получаем бегущие волны, распространяющиеся в обе стороны в направлении оси 0x.
Напряженности электрического и магнитного полей могут быть определены через векторный потенциал по формулам [4]:
.
Тогда в нашем случае компоненты поля выражаются следующими соотношениями:
. (5)
Во втором случае поверхность S представляется идеальным магнитным проводником, поскольку вектор электрического поля имеет только тангенциальную составляющую. На поверхности S во втором случае течет поверхностный магнитный ток, плотность которого численно равна тангенциальной составляющей напряженности электрического поля и определяется по формуле:
, (6)
где - тангенциальная к поверхности S компонента электрического поля возбудителя. Векторный потенциал эквивалентного поверхностного магнитного тока определяется по формуле:
, (7)
где , (8)
если , (9)
а электромагнитные поля определяются по формулам [4]:
.
Тогда в нашем случае компоненты поля выражаются следующими соотношениями:
(10)
Таким образом, компоненты поля в точке наблюдения Р определяются суммой:
(11)
Раскрывая векторные произведения (1) и (6), выражаем эквивалентные токи через поле возбудителя:
. (12)
Воспользуемся теперь тем обстоятельством, что возбудитель порождает волновой пучок:
,
где - проекция волнового вектора пучка на ось 0х.
Назовем функцию возбуждающей функцией.
Если размер возбудителя много больше длины волны , то соотношения между компонентами электромагнитного поля приближенно будут такими же, как для однородной плоской волны: , (13)
где b0 – проекция волнового вектора пучка на ось 0у.
Тогда в силу (12) распределение возбуждающих токов (2) и (9) будут связаны соотношением:
. (14)
Переходя от векторных потенциалов (4), (7) к компонентам поля в соответствии с (5) и (10), получаем:
(15)
(16)
Тогда суммарное поле согласно (11) определяется следующими выражениями:
(17)
Рассмотрим далее возбуждение щелевой решетки волновыми пучками с разными амплитудными распределениями вдоль оси 0у.
2. Возбуждение решетки волновым пучком с равномерным амплитудным распределением
Пусть возбуждающая функция имеет следующий вид:
, (18)
где – размер возбудителя вдоль оси 0y.
Тогда согласно (3), (8) и (14):
,
. (19)
Подставляя полученные соотношения в (17), получаем:
(20)
Представим поле следующим образом:
(21)
Данная формула имеет следующий физический смысл: поле Е складывается из суммы плоских волн с амплитудами .
В силу линейности задачи можно воспользоваться принципом суперпозиции. Тогда распределение токов на щелях будет складываться из бесконечной суммы амплитуд токов на щелях, порожденных каждой плоской волной с амплитудой .
Решение задачи о возбуждении решетки одной плоской волной получено нами в работе [3]. Для амплитуд магнитных токов оно имеет следующий вид:
, (22)
где - амплитуда падающей волны, - волновое число вдоль оси 0y, - амплитуды магнитных токов на щелях.
Тогда из принципа суперпозиции следует, что при возбуждении решетки спектром плоских волн, решение будет выражаться интегралом:
, (23)
где - амплитуды магнитных токов на щелях решетки, возбуждаемой волновым пучком.
Учитывая (21), окончательное выражение для для случая равномерного возбуждения имеет следующий вид:
(24)
Введем энергетические характеристики – обобщенные коэффициенты отражения S11об и прохождения S21об, которые определим через отношение соответственно отраженной Ротр и прошедшей Рпрош мощности к падающей Рпад следующим образом:
(25)
Выражение для падающей мощности запишем в соответствии с [5]:
и используя двумерность задачи, получаем следующее выражение:
(26)
Учитывая (17) и (21) преобразуем выражение (26) к следующему виду для случая x=0:
(27)
Отметим, что при подынтегральная функция является мнимой, поэтому (27) можно преобразовать следующим образом:
(28)
Выражение для отраженной мощности имеет следующий вид:
(29)
где (30)
так как в силу принципа суперпозиции отраженная волна будет складываться из бесконечной суммы отраженных волн порожденных каждой плоской волной с амплитудой и коэффициентом отражения каждой плоской волны S11(b).
В соответствии с (17) выражение для Нy.отр можно записать следующим образом:
(31)
Повторяя все этапы вывода выражения для падающей мощности и учитывая (30), (31), получаем следующее выражение для отраженной мощности:
(32)
Аналогично можно получить и выражение для прошедшей мощности. Опуская промежуточные выкладки, запишем лишь окончательный результат:
(33)
Определим диаграмму направленности решетки как ДН излучающего плоского раскрыва [5]. Воспользуемся полученным в [3] выражением для ДН решетки конечной длины. Нормированная ДН по мощности определяется как: , (34)
где
где q - угол поворота щели относительно оси 0у, L – длина щели, W - ширина щели, - функция Бесселя нулевого порядка.
Подчеркнем, что сомножитель SUM1 должен быть записан для произвольного распределения токов по оси 0y:
3. Возбуждение решетки волновым пучком с косинусоидальным амплитудным распределением
Пусть возбуждающая функция имеет следующий вид:
(35)
Тогда согласно (3), (8) и (14):
, (36)
. (37)
Подставляя полученные соотношения в (17), получаем:
(38)
Так же, как и в предыдущем разделе, переходим к распределению токов на щелях и для амплитуд магнитных токов получаем выражение (23), при этом имея в виду, что подынтегральный множитель С(b), соответствующий косинусоидальному распределению, определяется формулой (38). Определяем обобщенные коэффициенты отражения S11об и прохождения S21об и диаграмму направленности решетки, возбуждаемой волновым пучком, при условии косинусоидального возбуждения, используя выражения (25), (29), (32)-(34), но имея в виду, что подынтегральный множитель С(b), соответствующий косинусоидальному распределению, определяется формулой (38).
4. Численные результаты
В данном разделе приведены некоторые численные результаты, полученные в случае возбуждения решетки волновым пучком для случаев равномерного и косинусоидального распределений возбуждающего поля вдоль оси 0y.
Результаты, представленные ниже приводятся для антенной решетки со следующими параметрами: h=4 мм, Px=14 мм, Py=10 мм, W=1 мм, L=10 мм, e= 2.25, AX=160 мм, a=300 мм. Решетка возбуждается волновым пучком, падающим под углом j=0°.
На рис. 2(а) и (б) приведены соответственно для равномерного и косинусоидального распределения возбуждения распределение модулей амплитуд магнитных токов на щелях вдоль оси 0у при фиксированных значениях х (х=0, х=100 мм, х=150 мм).
а
б
Рис.2. Распределение модулей амплитуд магнитных токов на щелях
На рис. 3(а) и (б) приведены соответственно для равномерного и косинусоидального распределения возбуждения распределение модулей амплитуд магнитных токов на щелях вдоль оси 0х при фиксированных значениях у (у=0, у=50, у=100).
а
б
Для наглядности на рис.4 приведено трехмерное изображение распределения на плоскости Х0Y.
Рис. 4. Трехмерное изображение амплитудного распределения на плоскости Х0Y.
На рис.5 (а) и (б) приведены соответственно для равномерного и косинусоидального распределения возбуждения фазовое распределение амплитуд магнитных токов на щелях вдоль оси 0у при фиксированных значениях х (х=0, х=85, х=150, которым соответствуют номера m=0,6,11). Сравнивая указанные два графика, можно отметить, что в области возбудителя (-150<у<150) неравномерность фазовой характеристики меньше для равномерного распределения, чем для косинусоидального при х>0.
a
б
На рис.6 (а) и (б) приведены соответственно для равномерного и косинусоидального распределения возбуждения распределение фаз магнитных токов на щелях вдоль оси 0х при фиксированных значениях у (у=0, у=50, у=150, которым соответствуют номера n=50,55,65).
a
б
На рис.7 и рис.8 приведены соответственно частотные зависимости обобщенных коэффициентов отражения S11об и прохождения S21об. Обращает на себя внимание, что частотная зависимость обобщенного коэффициента прохождения имеет две точки минимума в отличие от одной точки минимума в случае возбуждения решетки падающей под углом плоской волной.
Рис.7. Частотная зависимость обобщенного коэффициента отражения
Рис.8. Частотная зависимость обобщенного коэффициента прохождения
На рис.9 представлены диаграммы направленности в плоскости ХОZ: 1 – ДН решетки, возбуждаемой волновым пучком при условии равномерного распределения возбуждения, 2 – ДН решетки, возбуждаемой волновым пучком при условии косинусоидального распределения возбуждения, 3 – ДН решетки, возбуждаемой падающей под углом волной. Видно что все три графика совершенно идентичны, то есть зависимости, приведенные на рис.9 доказывают, что конечность размеров возбудителя, а также неравномерность распределения возбуждающего поля не имеют существенного влияния на диаграмму направленности в плоскости ХОZ.
Рис.9. Диаграммы направленности в плоскости ХОZ
На рис.10 представлены ДН в плоскости YOZ: 1 - ДН решетки, возбуждаемой волновым пучком при условии равномерного распределения возбуждения, 2 – ДН решетки, возбуждаемой падающей под углом плоской волной. Можно отметить, что в области главного лепестка графики совпадают, имеется лишь отличие в одном из боковых лепестков.
Рис.10. Диаграммы направленности в плоскости YOZ
На рис.11 и рис.12 приведены распределения модулей магнитных токов для решетки, со следующими параметрами: h=4 мм, Px=13.7 мм, Py=10 мм, W=1 мм, L=10 мм, e= 2.25, AX=274 мм, a=300 мм, возбуждаемой волновым пучком, падающим под углом j=7°. На рис.11 приведены для однородного возбуждения модули амплитудного распределения магнитных токов на щелях вдоль оси 0у для различных номеров щелей вдоль оси 0х (m=0, 7, 11). На рис.12 приведены для равномерного распределения возбуждения модули амплитудного распределения магнитных токов на щелях вдоль оси 0х для различных номеров щелей вдоль оси 0у (n=50, 55, 60).
Рис.11. Распределение модулей амплитудного магнитных токов на щелях вдоль оси 0у
Рис.12. Распределение модулей магнитных токов на щелях вдоль оси 0х
Литература
1. Банков С.Е.// РЭ. 2001. т. 46. № 4.с.441
2. Банков С.Е, Дупленкова М.Д.// РЭ.2003. №3.
3. Банков С.Е, Бодров В.В, Дупленкова М.Д.//РЭ 2003. №6.
4. Марков Г.Т, Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.:-Л., Энергия, 1967.
5. Бодров В.В, Сурков В.И. Математическое моделирование устройств СВЧ и антенн. М.: Изд-во МЭИ, 1994.