"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 1, 2000

оглавление

дискуссия

Для определения профиля проводимости по толщине сильно легированных слоев на поверхности п/п пластин были разработаны бесконтактные методы, основанные на измерении зависимостей коэффициентов отражения и пропускания от длины волны (l ) в ИК области (см., например, [2-6]). Однако эти методы не применимы для слабо легированных полупроводников. В рамках модели Друде коэффициент поглощения на свободных носителях пропорционален (1+w ²t ²)^-1, где w -угловая частота, t - время пробега свободных носителей. В случае кремния параметр w ²t ² >>1 в ИК области, тогда как в СВЧ и миллиметровой областях он меньше 1. Поэтому для определения проводимости и ее неоднородностей слабо легированных пластин используются методы, основанные на взаимодействии с волнами этих диапазонов. В частности, для определения распределения проводимости по площади пластины были предложены методы, основанные на измерениях параметров СВЧ резонатора, нагруженного исследуемой пластиной [7-9]. При этом полупроводниковая пластина располагается между дном резонатора квазистатического типа и конусообразным штырем, либо она прижимается снаружи к отверстию в торцевой стенке резонатора. Калибровка установки производится с помощью набора эталонных образцов. Такие измерения позволяют определять усредненные по толщине пластины значения удельного сопротивления до 10⁴ Ом см с погрешностью около 10%.

Рассмотрим в одномерном приближении взаимодействие высокоомной полупроводниковой пластины толщины L с электромагнитной (э.м.) волной миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов. Будем считать, что ее поглощение в пластине мало, т.е.

Здесь N, c и a - вещественная, мнимая части показателя преломления и коэффициент поглощения пластины, х- координата в направлении, перпендикулярном поверхности пластины, х=0 соответствует середине пластины (см. рис. 1).

Рис.1. Принципиальная схема с основными обозначениями. 1-четверть-волновая диэлектрическая пластина, 2, 4-воздушные промежутки, 3-полупроводниковая пластина, 5-зеркало.

Пусть в пластине в противоположных направлениях перпендикулярно ее поверхностям распространяются плоские волны вида Eexp[± i(kx+j )], где k=2p N/l , 2j -сдвиг фаз между волнами при x=0. В этом случае мощность P, поглощаемая пластиной единичной площади, может быть представлена в виде

  Будем также считать, что поглощение происходит только на свободных носителях заряда, время свободного пробега которых постоянно, т.е.

где Z - волновое сопротивление вакуума (Z=377 Ом), s - проводимость пластины. Благодаря условию (5) множитель (1+w ²t ²) можно вынести из под знака интеграла. Будем считать также, что оптическая толщина пластины кратна целому числу полуволн, т.е.

где m=1, 2, 3,..., M. Тогда подстановка выражений (6) и (7) в (4) дает

Индекс m при P и w здесь и далее у других величин означает, что соответствующая величина относится к случаю, когда l =l _m. Из (8) видно, что алгебраические суммы , , пропорциональны интегралам вида , , , т.е. коэффициентам разложения зависимости s (х) в ряд Фурье.

По массиву таких данных можно вычислить коэффициенты разложения зависимости s (х) в ряд Фурье и затем приближенно восстановить эту зависимость. Очевидно, что точность такой аппроксимации зависит от вида профиля проводимости и числа гармоник, на которых проводятся измерения.

Для реализации этой задачи можно измерять поглощение пластины помещенной в середину открытого конфокального резонатора перпендикулярно его оси, т.е. в область перетяжки пучка, где фронты волны практически плоские, а диффракционные потери пренебрежимо малы при радиусе пучка W₀ всего в несколько длин волн [11].

Приведем оценки, характеризующие выполнимость условий (1)-(3), (5) для высокоомного кремния n-типа в миллиметровом диапазоне волн. Например, если l <1 см и удельное сопротивление r >100 Ом.см, то на основании данных работы [12] можно показать, что c /N<0,03, ê1-N /N₀  ê <0,001 (N₀ -показатель преломления чистого кремния). При этом a (l )L<0,13 для пластин толщиной менее 1 мм. С уменьшением l и с увеличением r условия (1)-(3) выполняются еще лучше. Условие (5) также хорошо выполняется, поскольку при r >100 Ом^.см носители заряда рассеиваются практически только на колебаниях решетки (вклад рассеяния на примесных атомах составляет менее 0,2% [13]).

3. Соотношения, связывающие профиль проводимости с параметрами резонатора.

Выразим коэффициенты разложения s (x) в ряд Фурье (a_0m, a_m, b_m) через параметры, которые измеряются непосредственно. Вместо сдвига фаз 2j между интерферирующими волнами внутри пластины при x=0 введем сдвиг фаз 2q между ними снаружи, на поверхностях пластины (см. рис. 1), который измеряется по расстоянию между пластиной и зеркалом. Тогда можно показать, что при соблюдении перечисленных выше условий коэффициенты Фурье равны

А_m(q )-поглощаемая пластиной мощность, пронормированная на площадь и на интенсивность падающей волны. Соответственно, восстановленный профиль проводимости s _ap(x) может быть представлен приближенно в виде ряда Фурье

Здесь для повышения точности величина a₀ определяется путем усреднения значений a_0m, поскольку они зависят от m при наличии неоднородностей проводимости.

Следующей задачей является связать коэффициенты А_m(q ) с добротностью резонатора. Общие соотношения, связывающие добротность резонатора с поглощением даже однородной пластины довольно громоздки (см., например, [14], [15]). Нас интересует случай, когда пластина находится в открытом конфокальном резонаторе в области перетяжки пучка э.м. волны, где фронты волны почти плоские. Поэтому для упрощения анализа взаимодействия волны с пластиной мы ограничились одномерным случаем. (Условия, при которых такое приближение допустимо, будут рассмотрены ниже). А именно, для расчета на ЭВМ поглощения неоднородной пластины здесь рассматривается одномерная модель резонансной системы, показанная на рис. 1. Она состоит из четвертьволновой диэлектрической пластины 1, воздушных зазоров 2, 4, полупроводниковой пластины 3 и зеркала 5. Удобство такой модели резонатора состоит в том, что его добротность, нагруженного неоднородной пластиной полупроводника, может быть легко вычислена на ЭВМ, например, с помощью реккурентных формул [16]. Если добротности нагруженного Q_m(q ), и пустого Q₀ резонатора удовлетворяют условиям Q_m(q ), Q₀>>1, то

Здесь N₁, a ₁, L₁-показатель преломления, коэффициент поглощения и толщина пластины 1 (L₁N₁=l _m/4), L_r- длина резонатора, соответствующая резонансу на длине волны l _m, 2e -уменьшение амплитуды электрического поля волны при отражении от зеркала. Первое слагаемое в (17) определяет величину связи резонатора с трактом, второе и третье -потери в пустом резонаторе. Как видно, вариации величин N₁, a ₁, e и L_r позволяют моделировать резонаторы с разными параметрами и подбирать оптимальные условия для определения А_m(q ).

Добротность резонатора определяется по изменению его длины, необходимой для уменьшения поглощения в 2 раза по сравнению с поглощением при резонансе (Эта методика, позволяющая определять добротность резонатора при фиксированной частоте, была предложена в работе [17]). В настоящей работе набор значений Q_m(q ) определялся путем компьютерного моделирования для пластин с заданными параметрами. При этом неоднородная пластина рассматривалась как ступенчатая структура, состоящая из большого числа (более 100) однородных слоев. Такое компьютерное моделирование позволило опробовать рассматриваемый метод для пластин и резонаторов с самыми различными параметрами и сравнивать восстановленные профили проводимости с исходными.

Анализ условий применимости и точноcти метода проводился применительно к пластинам высокоомного кремния (N=3,4, t =2.10^-13 с) с различными параметрами. Ниже приводятся результаты восстановления профиля проводимости с флуктуациями гауссовского типа для пластин толщиной L=1 мм. Аппроксимация проводилась рядом Фурье из 8 гармоник (M=8), что соответствует длинам волн от 6,8 мм до 0,85 мм.

В качестве иллюстрации на рис. 2 приведены исходная (кривая 1) и восстановленные при различных условиях (кривые 2, 3) зависимости s (x). Исходная зависимость соответствует проводимости, описываемой уравнением

где s _v^-1=20 kОм см, s _f /s _v=4, L_f /L=0,1; x_f /L=-0,25. Кривая 2 вычислена по формулам (10)-(16) при точном соблюдении условий (7) и (9). Как видно, кривые 1 и 2 хорошо согласуются с точностью, определяемой числом гармоник Фурье ряда. Такое же согласие было получено при изменении s _v на 3 порядка (в диапазоне s _v^-1 =0,1-100 кОм.см).

Рис.2. Исходная (1) и восстановленные (2,3) зависимости проводимости от х для пластины кремния. Кривая 1 соответствует s _v^-1=20 kОм см, s _f/s _v=4, L=1 мм, L_f/L=0,1, x_f/L=-0,25. Кривые 2, 3 вычислены по формулам (10)-(16). Кривая 2 соответствует точному выполнению условия (9), кривая 3-смещению пластины от оптимального положения на D L=0,001L.

Однако реально из-за неизбежных экспериментальных ошибок условия (7) и (9) могут быть выполнены лишь приближенно. Поэтому были проведены дополнительные расчеты по оценке допустимых погрешностей. Кривая 3 на рис. 2 вычислена для случая, когда пластина смещена от оптимальных положений, соответствующих условию (9) на D L=0,01L (D q @ 0,01 рад при m=1). Как видно, точность аппроксимации заметно снижается- максимальная относительная ошибка D s /s _v @ 23%. Вычисленная по аналогичным кривым зависимость D s /s _v от D L/L показана на рис. 3 кривой 1. Здесь же кривой 2 показана зависимость D s /s _v от перекоса пластины на ± D L/L в пределах диаметра пучка. При радиусе пучка W₀, равному 3l ₁, перекос пластины f равен 0,025D L/L рад. Эти значения f отложены по верхней оси абсцисс. Как видно, для получения D s /s _v @ 10% при L=1 мм допустимые значения D L и f составляют соответственно 0,5 мкм и 1,5.10^-4 рад, т.е. для применения метода точность установки должна быть довольно высокой. Однако это препятствие является преодолимым, поскольку в настоящее время разработаны магнитострикционные прецезионные устройства позиционирования, обеспечивающие значительно большую точность (0,05 мкм и 5.10^-6 рад [18])

Рис.3. Зависимость максимальной погрешности D s /s _v восстановленной зависимости s _ap(X) от величины смещения D L/L пластины относительно оптимальных положений (кривая 1) и угла f между поверхностями пластины и фронтом волны при радиусе пучка W₀=3l ₁ (кривая 2). L=1 мм s _v^-1=2 kОм.см, ½ s _f/s _v -1½ <1, M=8.

На рис. 4 приведена вычисленная зависимость относительной ошибки от удельного сопротивления r пластины, соответствующая точности измерения добротности резонатора 0,5 %. Как видно, при изменении r в пределах двух порядков значение D s /s _v практически постоянно. При r <100 Ом.см точность резко снижается из-за низкой добротности резонатора. С увеличением точности определения добротности область малых значений D s /s _v расширяется в сторону больших значений r .

Рис.4. Исходная (1) и восстановленная (2) зависимости проводимости от х для пластины кремния. Кривая 1 соответствует x_f/L=0,25, остальные параметры аналогичны кривой 1 рис. 2. Кривая 2 вычислена по формулам (10)-(16) при значениях добротностей резонатора, определенных с ошибкой 0,1%.

5. Заключение.

Рассмотрен бесконтактный неразрушающий метод определения зависимости проводимости высокоомной полупроводниковой пластины от расстояния до ее поверхности. Метод состоит в измерении добротности открытого резонатора при четырех положениях пластины в области перетяжки, при которых сдвиг фаз между интерферирующими волнами на поверхности пластины равен 0, p /2, p , 3p /2, и нескольких частотах, при которых толщина пластины кратна целому числу полуволн. Путем компьютерного моделирования в одномерном приближении метод опробован применительно к пластинам кремния. Проведен анализ влияния различных экспериментальных погрешностей на точность восстановления профиля проводимости.

1. Рейви К. Дефекты и примеси в Si. // Москва. Изд. Мир. 1984.

2. Gardner E.E., Kappallo W. and Gorden C.R. // Appl. Phys. Letters, 1966, V. 9. P. 432.

3. Engstrom H. // J.Appl.Phys., 1980, V. 51. N. 10. P. 5245.

4. Wagner H., Schaefer R. // J.Appl.Phys., 1979, V. 50. P. 2697.
5. Toshio Abe,Yoshio Nishi. // Jap.J.Appl.Phys., 1968, V. 7. N. 4. P. 397.
6. Усанов Д.А.,Буренин П.В. // Микроэлектроника, 1975, Т. 4. Вып. 2. С. 140.
7. Гордиенко Ю.Е., Дудкин Ю.А., Бородин Б.Г., Федотов Д.А. // ПТЭ, 1983, N. 2. С.204.
8. Ахманаев В.Б., Медведев Ю.В., Петров А.С. // ПТЭ, 1975, N. 5. С. 257.

9. Данилов Г.Н., Медведев Ю.В., Петров А.С. // ПТЭ, 1973, N. 3. С. 224.

10. Кошелев О.Г., Форш Е.А. // Изв.РАН, 1998, T. 62. N. 12. C. 2422.
11. Еру И.И. // Успехи совр. радиоэлектроники, 1997, N. 3. С. 51.
12. Sze S.M., Irvin J.C. // Sol.State Electr., 1968, V. 11. P. 599.
13. Prince M.B. // Phys. Rev., 1954, V. 93. N. 6. P. 1204.
14. Breeden K.H. and Langley J.B. // Rev.of Scientific Instruments, 1969, V. 40. P.1162.
15. Власов С.Н., Копосова Е.В., Мазур А.П., Паршин В.В. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1996, Т. XXXIX. С. 615.
16. Хасс Г. Физика тонких пленок. Современное состояние исследований и технология применения. Сборник статей. Т.1. Москва. Изд. Мир. 1967. С.93.
17. Дрягин Ю.А., Паршин В.В. // А.с. СССР N 1539681, кл. G 01 R 27/26, 1990, Опубл. 30.01.90. Бюл. изобретений N 4.
18. Нистирюк П.В. // Материалы VII-ой Международной Крымской Микроволновой конференции, 1997, C. 608.

---

Авторы: Кошелев Олег Григорьевич, e-mail: koshelev@scon282.phys.msu.su
               Форш Елена Анатольевна

оглавление

дискуссия