ПОЛЮСНАЯ МОДЕЛЬ СВЕРХШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ И ИМПУЛЬСНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ЭНТРОПИИ

В.И. Кошелев, В.Т. Сарычев, С.Э. Шипилов

Институт сильноточной электроники СО РАН

Получена 17 января 2002 г.

Для оценки импульсных характеристик сверхширокополосных систем предлагается подход, основанный на аппроксимации сигналов во временной области ансамблем экспоненциально затухающих колебаний, функция плотности распределения параметров которых определяется на основе принципа максимума энтропии. Приводится математический аппарат для оценки значений параметров предложенной модели. Данный подход апробируется на экспериментальных данных о распространении электромагнитных импульсов в коаксиальных кабелях.

1.      ВВЕДЕНИЕ

2.      ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЮСНОЙ МОДЕЛИ СИГНАЛА

3.      ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛЮСНОЙ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ЭНТРОПИИ ДЛЯ АНАЛИЗА КАБЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

4.      ЗАКЛЮЧЕНИЕ

5.      ЛИТЕРАТУРА

1. ВВЕДЕНИЕ

Активные методы исследования различных объектов предполагают воздействие на них импульсами различной формы с последующим приемом и обработкой прошедшего или отражённого сигнала. В работе рассматриваются линейные системы, у которых связь входного и выходного сигналов определяется соотношением типа свёртки: Y(t)= X(t)Äh(t). Здесь Y(t) – выходной сигнал, h(t) – импульсная характеристика (ИХ) объекта исследования, X(t) – зондирующий импульс.

Неустойчивость оценок определяется наличием нулей в оценках комплексных спектров (КС), полученных по ограниченным наборам исходных данных. Один из способов устранения нулей – это всевозможные виды регуляризации [1]. Однако, регуляризация – всего лишь математический прием устранения следствий, а не причин. Причиной же появления нулей в спектре является использование предположения, что за пределами окна наблюдения сигнал обращается в ноль.

Это предположение, кроме появления нулей в спектре, вызывает еще одну методическую ошибку в оценке спектров. Суть её заключается в том, что, если исследуемый сигнал X(t) обладает комплексным спектром X(w), то оценка КС X_e(w) по значениям X(t) в пределах окна наблюдения W(t) конечной длительности T определяется произведением КС X(w) и W(w), т.е. X_e(w)=X(w)W(w) [2]. То же самое происходит при оценке КС выходного сигнала: Y_e(w)=Y(w)W(w). В результате оценка КС ИХ определяется выражением

КС H_d(w) отличается как от истинного КС H(w), так и от оценки H_e(w)=H(w)W(w). Поэтому ИХ h_d(t), восстановленная по H_d(w), даже в пределах окна наблюдения W(t) будет отличаться от истинной ИХ h(t).

Можно ослабить искажения в оценках ИХ, продолжив каким либо образом сигналы X(t) и Y(t) за пределы окна наблюдения. Наиболее обоснованной, как с математической, так и с физической точек зрения следует считать аппроксимацию сигналов во временной области экспоненциально затухающими колебаниями. Этому представлению в спектральной области соответствуют функции, содержащие полюса первого порядка. Подобная аппроксимация используется в обобщённом методе Прони [3]. Модель сигнала, представимую таким образом, будем в дальнейшем называть полюсной моделью (ПМ), а функции, аппроксимирующие сигнал, полюсными. Однако, все существующие на настоящий момент времени методы цифровой обработки сигналов, в той или иной форме использующие ПМ, предполагают отсутствие временной задержки между функциями, описывающими сигналы. Это обстоятельство приводит к привлечению большого числа полюсных функций для аппроксимации сигналов, что может приводить к несогласованию рассчитанных полюсов с истинными полюсами, характеризующими объект, и уменьшению устойчивости решения задачи оценивания ИХ в целом.

Основной целью исследований, представленных в настоящей работе, является разработка математического аппарата, позволяющего аппроксимировать исследуемые сигналы ансамблем экспоненциально затухающих колебаний со случайными значениями задержки и других параметров модели. Если в предыдущих исследованиях [4] мы ограничивались дискретным набором экспоненциально затухающих колебаний, у которых случайным считался лишь момент включения осцилляций, то в данной работе задача решается в более общем виде. Случайными считаются все параметры колебаний (моменты включения, значения амплитуды, частоты и декремента затухания). Аналитический вид функции плотности распределения этих параметров предлагается искать на основе принципа максимума энтропии. Для стационарных процессов примеры применения принципа максимума энтропии приведены в [3]. В данной работе рассматриваются нестационарные процессы, требующие специального подхода.

2. ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

ПОЛЮСНОЙ МОДЕЛИ СИГНАЛА

Сверхширокополосные (СШП) сигналы, как правило, локализованы во времени. Это обстоятельство должно учитываться в первую очередь при построении математических моделей таких сигналов. Спектры сигналов, равных нулю до момента включения, должны удовлетворять определенным дисперсионным соотношениям, следующим из принципа причинности [5]. Полюсные модели спектра автоматически удовлетворяют этому принципу. Следует различать дискретные и непрерывные полюсные модели спектров (ДПМС и НПМС). ДПМС имеет вид:

где A_k- комплексная амплитуда затухающего колебания с частотой W_k и декрементом затухания g _k, t_k - момент включения колебания.

Соответственно, НПМС представляется следующим интегралом:

где f(W, g, A, t) - функция плотности распределения колебаний в пространстве значений параметров W, g, A, t. Если исходный сигнал дискретизирован эквидистантно с шагом Dt, то, учитывая теорему Котельникова, область значений частоты W  следует ограничить частотой дискретизации сигнала f_d=1/Dt.  При выборе Dt в качестве единицы времени область значений W  ограничивается интервалом [-p, p].

Построение ДПМС для сигнала, представленного конечной временной последовательностью X(t_i),  заключается в нахождении множества значений W_k, g_k, A_k, t_k, позволяющих синтезировать временную последовательность <X(t_i)> , которая наилучшим образом соответствует исходной последовательности X(t_i). В качестве критерия “наилучшего” обычно используется минимизация среднеквадратичного отклонения:

В настоящее время универсальных процедур построения ДПМС для общего случая не разработано. В частном случае, когда допускается условие t₁=t₂=…=t_k…=t₀,  ДПМС может быть найдена с помощью обобщенного метода Прони [3]. В общем случае для отыскания ДПМС авторы [4] использовали метод покоординатного спуска к минимуму среднеквадратичного отклонения.

Построение НПМС заключается в нахождении функции f(W, g, A, t). Выражение для временной последовательности <X(t_i)>, соответствующей функции f(W, g, A, t),  определяется следующим многомерным интегралом:

Очевидно, задача оценки функции f(W, g, A, t) по ограниченной временной последовательности X(t_i) является некорректной. Снять некорректность можно путем использования дополнительных ограничений, накладываемых на функцию f(W, g, A, t). Наиболее приемлемым для этой цели, как с математической, так и физической точек зрения можно считать применение принципа максимума энтропии. Энтропия для рассматриваемой задачи определяется согласно Больцману выражением:

Максимум энтропии при дополнительных ограничениях в форме (3) и (4), накладываемых на f(W, g, A, t), обеспечивает функция,  имеющая следующий параметрический вид:

Здесь С – нормирующий множитель, l_k – неопределенные множители Лагранжа, s – дисперсия амплитуды, позволяющие реализовать выполнение условий (3) и (4). Для оценки значений l_k и s следует выражение (6) подставить в (4) и произвести интегрирование. Интегрирование по частоте w и амплитуде А легко проводится аналитически. В результате получается

Здесь, учитывая симметрию подынтегрального выражения относительно смены знака частоты W, интегрирование по W проводится в интервале [0, p]. К сожалению, в виду сложной зависимости подынтегральной функции от переменных интегрирования интегралы аналитически не вычисляются. Однако выражение (7) допускает линеаризацию относительно множителей Лагранжа, после проведения которой интегралы вычисляются строго.

Нормирующий множитель С в выражении (6) пропорционален числу колебаний, из которых синтезируется сигнал <X(t_i)>. Результаты измерения сигнала не ограничивают нас в выборе значения этого параметра  Для достаточно большого значения С отношение |<A>|/s  становится много меньше единицы, и выражение (7)  принимает более простой вид:

Как указывалось выше, за единицу времени берется интервал дискретизации. В этом случае без нарушения общности можно считать t_i= i. В результате интегрирования выражение (8) принимает вид:

Здесь ci(x) – интегральный косинус, Ce=0.577215664…– постоянная Эйлера.

Решение линейной системы (9) представляет НПМС на основе максимума энтропии для сигнала  X_i  (i=1,…,N). НПМС позволяет по дискретным отсчетам сигнала X_i проводить интерполяцию, т.е. вычислять значения X(t) для любого tÎ[0, N]. Интерполяционное выражение находится в результате вычисления интеграла (8) для произвольного (не только целого) значения t. Вид этого выражения следующий:

На рис. 1 для наглядности приведена реализация y₄(t).

Рис. 1. Реализация функции y_k(t) .

В свою очередь наличие модели непрерывного сигнала в форме (10) позволяет проводить операцию свертки, которая представляет связь между входным X(t)  и выходным Y(t) сигналами линейной системы:

Выражение (11) может быть использовано для отыскания ИХ при известных входном и выходном сигналах. Параметрический вид ИХ берется таким же, как у X(t), т.е.:

Следовательно, для проведения свертки (11) необходимо найти свертки функций y_kÄy_j. В данной работе эти свертки проводились численно. В результате вычислений получались таблицы функций:

Совместное использование выражений (10), (11), (12), позволяет построить следующую линейную систему алгебраических уравнений для оценки коэффициентов m_k ИХ:

3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛЮСНОЙ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА

МАКСИМУМА ЭНТРОПИИ ДЛЯ АНАЛИЗА КАБЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Для проверки работоспособности предложенного подхода были использованы экспериментальные данные о прохождении СШП-импульсов по коаксиальным кабелям РК 50-4-11 длиной 8 м - № 1 и РК 50-2-11 длиной 20 м - № 2. Описание схемы экспериментальной установки, на которой были получены временные реализации сверхширокополосных импульсов, приведено в предыдущей статье [4].

На рис. 2 представлены монополярные импульсы: от генератора (X), после прохождения через кабель № 1 (Y₁) и после прохождения через кабель № 2 (Y₂). Аналогично, на рис. 3 представлены биполярные импульсы: от генератора (X), после прохождения через кабель № 1 (Y₁) и после прохождения через кабель № 2 (Y₂).

Рис. 2. Осциллограммы монополярных импульсов от генератора (X), на выходе кабелей № 1 (Y₁) и № 2 (Y₂).

Рис. 3. Осциллограммы биполярных импульсов от генератора (X), на выходе кабелей № 1 (Y₁) и № 2 (Y₂).

Выбор параметра дискретизации ИХ проводился исходя из полосы частот выходного сигнала с помощью следующего выражения Dt=1/Df, где Df – полоса частот, содержащая 97% энергии выходного сигнала. Для кабеля № 1 Dt составила 0.17 нс в случае монополярного и 0.21 нс в случае биполярного сигналов. Восстановленные ИХ приведены на рис. 4.

Рис. 4. Восстановленные импульсные характеристики кабеля № 1 с использованием монополярного (h_m) и биполярного (h_b) импульсов.

Для кабеля № 2 Dt составила 0.51 нс в обоих случаях. Восстановленные ИХ приведены на рис. 5.

Рис. 5. Восстановленные импульсные характеристики кабеля № 2 с использованием монополярного (h_m) и биполярного (h_b) импульсов.

Результаты, приведённые на рис. 4 и 5, показывают схожесть ИХ, полученных при прохождении различными по форме импульсами одного и того же кабеля.

Для проверки устойчивости работы алгоритма к внешним шумам был проведён численный эксперимент, в котором была рассчитана ИХ для кабеля № 2 при 100 реализациях Y(t). Каждая реализация Y(t) представляла собой наложенный на экспериментальный сигнал шум с дисперсией 5% от максимума сигнала. Для каждой реализации были рассчитаны m_k (рис. 6) и на их основе импульсные характеристики. Все 100 реализаций ИХ приведены на рис. 7.

Рис. 6. 100 реализаций коэффициентов m_k импульсной характеристики кабеля № 2, восстановленных в присутствии 5 % - шума.

Рис. 7. 100 реализаций импульсной характеристики кабеля № 2, восстановленных в присутствии 5 % - шума.

Статистическая обработка всех реализаций m_k показала, что их оценка среднего является  величиной не смещённой, а среднеквадратичное отклонение не превышает 1.25% от максимума m_k. Это в 4 раза меньше уровня шумов, добавленных к Y. Такое соотношение сохраняется и при уровне 20% – шумов, добавленных к Y. Таким образом, можно утверждать, что предложенный алгоритм является устойчивым к внешним возмущениям. При этом сами коэффициенты m_k можно использовать в задаче распознавания объектов по ИХ.

В качестве критерия распознавания предлагается использовать минимизацию функции

где m'_ka - набор коэффициентов разложения ИХ объекта a, хранящийся в банке данных. Выбор делается в пользу объекта a, для которого f_a имеет минимальное значение. При этом объекты a и b считаются различимыми если выполняется условие:

Возможность распознавания можно проиллюстрировать на следующем примере. По сигналам Y₁ и Y₂, полученным при прохождении монополярного импульса через кабели № 1 и № 2, соответственно, были рассчитаны и занесены в базу данных коэффициенты m_k1 и m_k2. Далее, в Y₂ был аддитивно добавлен шум с дисперсией 20 %. Результирующий сигнал использовался для нахождения коэффициентов m_k. Подставляя m_k и m'_ka в (15), получили f₁=1,026 и f₂=0,001. В то же время, подставляя m'_k1 и m'_k2 в (16), получили f₁₂=1,033. Это указывает на выполнение условия (16) f₂ << f₁₂, что подтверждает возможность распознавания.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный подход позволяет получать устойчивые оценки импульсных характеристик объектов и каналов распространения сверхширокополосных электромагнитных импульсов. Необходимым условием устойчивости оценок является  выбор параметра дискретизации ИХ, который определяется шириной полосы частот выходного сигнала.

Математический аппарат непрерывных полюсных моделей спектров позволяет сократить время расчета ИХ по сравнению с дискретными полюсными моделями спектров, так как не требует введения итерационных процедур последовательного приближения при нахождении параметров модели сигналов.

Коэффициенты разложения ИХ m_k по базовым функциям могут быть использованы для решения задачи распознавания объектов.

5. ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1990. - 232 с.

2. Брилленджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир. 1980. -530 с.

3. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1990. - 584 с.

4. Кошелев В.И., Сарычев В.Т., Шипилов С.Э., Якубов В.П. Оценивание информационных характеристик радиолокационных объектов при сверхширокополосном зондировании. Электронный “Журнал радиоэлектроники”, 2001, № 6 : http://jre.cplire.ru/jre/jun01/1/text.html.

5. Нуссенцвейг Х.М. Причинность и дисперсионные соотношения. - М.: Мир, 1976. - 462 с