"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 1, 1999

оглавление

дискуссия

Модель электронных листов: классические и неклассические радиационные эффекты.

А.С. Ильин*, В.В. Кулагин**, В.А. Черепенин*

*Институт Радиотехники и Электроники Российской Академии Наук,
**Государственный Астрономический институт им. П. К. Штернберга Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Получена 19 января 1999 г.

Микроскопические модели классических сред известны давно [1], однако интерес к ним (особенно в последнее время) не ослабевает. Научные акценты в этой проблематике смещены сейчас в сторону численных методов анализа взаимодействия классического электромагнитного поля и заряженных частиц. Задачи подобного типа рассматриваются, например, в физике плазмы, теории ускорителей, микроволновой электронике [2-5]. Различные способы совместного решения уравнений Максвелла и уравнений движения электронов или ионов составляют основное содержание современных моделей классических сред. В зависимости от типа задачи и мощности используемых вычислительных ресурсов трехмерная задача решения уравнений движения может быть редуцирована в шестимерном фазовом пространстве, причем её размерность уменьшается либо в пространстве скоростей, либо в пространстве координат. Таковы, например, довольно часто используемые в релятивистской высокочастотной электронике плоские и аксиально-симметричные 2- и 2.5-мерные модели электронных пучков [6-8]. Как правило, в таких схемах решение самосогласованной задачи может быть существенно упрощено и сведено в основном к решению уравнений движения.

В данной работе рассматривается (3+1)-модель заряженной среды, частицы которой имеют три скорости и одну координату. Эта модель существенно отличается от известной безызлучательной модели заряженных листов, где имеется лишь одна соответствующая координате компонента скорости [5], и может быть применена к более широкому классу задач, в которых излучение играет существенную роль. В частности, получено выражение для поля излучения тонкой заряженной плоскости, совершающей поступательное движени. Найдена сила радиационного трения (самодействия) плоскости и выписаны точные релятивистские уравнения движения с учетом этой силы. Рассмотрена задача о взаимодействии плоскости с электромагнитной волной и найдена сила давления волны на плоскость. Решена задача о генерации третьей гармоники за счет продольных смещений при взаимодействии плоскости с электромагнитной волной. Изучена динамика большого числа плоскостей, взаимодействующих друг с другом и внешней электромагнитной волной.

Предложенная модель использована также для исследования статистики электромагнитного поля, взаимодействующего со слоем электронов. Показано, что при определенных условиях состояния поля могут быть неклассическими. Неклассический свет представляет собой излучение, в котором флуктуации некоторых параметров ниже так называемого стандартного квантового уровня, соответствующего когерентному излучению.

Неклассические состояния электромагнитного поля экспериментально обнаружены уже более тринадцати лет назад [9,10], и в настоящее время интенсивно исследуются возможности применения этих состояний электромагнитного поля, в частности, в области экспериментов с пробными телами, квантовых измерений, систем связи, квантовой криптографии и др.  К сожалению, полученные экспериментально коэффициенты сжатия (неклассичности) оказываются весьма скромными. Это связано с тем, что основу большинства методов получения неклассического света составляют нелинейные оптические процессы. Подавление квантовых флуктуаций оказывается, как правило, тем выше, чем выше эффективность нелинейного процесса. Однако, конкурирующие диссипативные эффекты существенно снижают результирующий коэффициент сжатия.

Системы со свободными электронами являются перспективными в плане получения значительных коэффициентов сжатия, так как нелинейность может быть существенной при малой диссипации. Простейшая схема генерации сжатых состояний в электронной среде рассмотрена в работе [11]. При этом использована феноменологическая модель электронных зеркал, в которой коэффициент преломления электромагнитной волны внутри зеркала определялся концентрацией электронов. Однако, такая модель не позволила учесть ряд эффектов, в частности, группировку электронного пучка, взаимодействие электронных зеркал с полем стоячей волны, динамику деформации слоя электронов и др. В разделах 7 и 8 с помощью предлагаемой модели исследуется генерация сжатых состояний электромагнитного поля для режима бегущих и стоячих волн.

1. Одномерное распределение зарядов и токов. Функция Грина и выражения для напряженностей электромагнитного поля.

Пусть плотности заряда и тока зависят только от координаты z и времени и не зависят от координат и . В этом случае решения уравнений Максвелла также можно искать в виде функций, не зависящих от и .

В калибровке Лоренца уравнения для потенциалов имеют следующий вид [12]:

Решение уравнений (1) можно представить в виде

,

где запаздывающая функция Грина 1-мерного оператора Даламбера , удовлетворяющая уравнению

Кроме того, функция Грина должна удовлетворять условию причинности:

при ,                                                                                  (4)

Решения уравнения (3) с граничным условием (4) можно найти следующим образом [13]. В уравнении (3) разложим и произведение - функций в 2-мерные интегралы Фурье:

Подставляя (5) и (6) в (3), найдем уравнение для фурье-образа :

или

. (7)

Для функции , таким образом, справедливо представление

Однако выражение (8) дает только формальное решение уравнения (3), так как не определено правило интегрирования особенностей (8) при . Используя теперь факт, что функция (8) должна удовлетворять условию причинности (4), полагаем

.(9)

Пользуясь известной леммой Жордана из теории функций комплексной переменной, можно показать, что при таком способе интегрирования (8) условие причинности (4) выполнено. При выражение (9) принимает вид

.

Выполняя далее интегрирование по k, можно получить окончательное выражение для функции Грина:

. (10)

Здесь

Как можно заметить, для реальных источников электромагнитного поля и уравнения (2) после подстановки в них (10) содержат расходящиеся интегралы. Указанный факт связан с тем, что при представлении решения уравнений (1) в виде (2) обычно предполагают достаточно быстрое убывание и по координате z и времени, в то время как, например, плотность неподвижного заряда не исчезает на временной бесконечности. Эту сложность можно преодолеть следующим формальным приемом. Введем для плотностей заряда и тока некоторый обрезающий множитель - финитную функцию координат и времени, стремящуюся к единице при . Соответствующие уравнения (1) не будут равносильны уравнениям Максвелла, так как уравнение непрерывности для таких зарядов и токов не выполняется. Однако если теперь перейти от потенциалов к напряженностям электромагнитного поля по формулам

(11)

и устремить параметр к нулю, то соответствующие выражения для напряженностей будут удовлетворять уравнениям Максвелла и не будут содержать расходимостей. Используя указанный прием, можно получить следующие выражения для полей и :

.

Здесь - символ векторного произведения.

Или после интегрирования по имеем

2. Поле излучения тонкой заряженной плоскости

Получим выражение для электромагнитного поля, создаваемого тонкой заряженной плоскостью. Будем полагать, что движение плоскости поступательное. В этом случае для его описания нам понадобятся 3+1 функции времени: три компоненты скорости и одна пространственная координата .

Для бесконечно тонкой плоскости плотности заряда и тока имеют следующий вид:

где - поверхностная плотность заряда.

Подставляя теперь выражения (14) в уравнения (12) и интегрируя по и , получим следующие выражения для напряженностей электромагнитного поля:

где , , - «запаздывающее» время, которое определяется из уравнения .

Заметим, что выражения (15) являются одномерными (или, точнее, 3+1- мерными) аналогами потенциалов Лиенара – Вихерта [9] и дают точное решение задачи о поле, создаваемом бесконечной плоскостью, при этом компонента является продольным полем, а компонента - полем излучения.

В случае, когда плоскость движется перпендикулярно оси 0z (координата Z(t) = постоянна), компонента скорости равна нулю и для продольного поля из формул (15) получаем обычное выражение , а для поля излучения имеем

. (15а)

Анализ выражения (15а) показывает, что поле излучения плоскости пропорционально ее скорости , а не ускорению, как в случае точечного заряда [12]. Указанный факт связан с тем, что полное поле содержит вклады от отдельных точек плоскости. Вклад от каждого источника пропорционален ускорению, однако сигналы из различных точек приходят с запаздыванием, обусловленным конечностью скорости распространения. В результате происходит эффективное интегрирование, и полное поле становится пропорциональным скорости.

Сделаем теперь замечание относительно поведения решений (15) при преобразованиях Лоренца. Напомним, что при выводе уравнений (15) предполагали, что плоскость движется как целое, т.е. в каждый момент времени все точки плоскости имеют одинаковые скорости. Однако в силу относительности одновременности это свойство движения будет нарушено при переходе в другую систему отсчета (если только скорость не равна константе) и предположение о независимости плотностей заряда и тока от новых координат и не будет справедливо. Таким образом, решения (15) не должны обладать ковариантностью относительно преобразований, затрагивающих поперечные координаты. В то же время решение задачи об излучении плоскости должно быть ковариантно относительно преобразований Галилея , справедливых при . Действительно, эти преобразования не затрагивают времени, поэтому распределения зарядов и токов по-прежнему не будут зависеть от x и y.

Однако следует отметить, что выражения для поля, записанные в виде (15), не ковариантны и относительно преобразований Галилея. Если в некоторой системе отсчета плоскость неподвижна (все компоненты скоростей равны нулю) и согласно (15) не излучает, то в системе отсчета, которая движется со скоростью параллельно плоскости, решение (15) описывает однородное и не зависящее от времени поле, направленное против скорости плоскости. Ковариантный относительно преобразований Галилея вид выражений для поля можно получить, если отнять от излучаемой части (15) значение этих полей в момент времени . Таким образом, вместо (15) имеем

(15б)

или, когда компонента равна нулю,

.

Далее для простоты будем пользоваться уравнениями (15) вместо (15б), полагая, что плоскость в далеком прошлом покоилась.

3. Сила радиационного трения

В случае точечного заряда задача о нахождении уравнений движения с учетом собственного поля излучения сопряжена с многочисленными трудностями (перенормировка массы, самоускорение и т.д.) [14,15]. Формально эти трудности возникают из-за того, что поле в точке нахождения источника обладает сингулярностью. В отличие от поля точечного заряда решения (15) не содержат сингулярностей, поэтому возможно точно и корректно решить задачу о взаимодействии плоскости с собственным полем излучения. Для этого определим поле в точке . Напряженности электрического и магнитного полей испытывают разрыв на поверхности плоскости, поэтому для корректного определения поля в точке разрыва рассмотрим сначала слой конечной толщины с объемной плотностью заряда . Разбивая его на элементарные слои толщиной и интегрируя их вклады в поле излучения (15), можно найти полное поле. Пусть для определенности левый край слоя находится в точке . При достаточно малых , когда можно пренебречь запаздыванием, для поля излучения внутри слоя () имеем

Так как поле внутри слоя зависит от координаты z линейно, среднее поле будет равно полусумме полей на краях слоя. Устремляя теперь L к нулю, видим, что поля в точке разрыва следует полагать равными

.

В результате для полей самодействия плоскости имеем

Отметим, что z-компоненты полей самодействия равны нулю:. Взаимодействие плоскости с полями (17) приводит к появлению эффективной силы самодействия. Ее величина на единицу площади равна или в компонентах

(18)

Уравнение движения плоскости во внешнем однородном по координатам поле , можно записать теперь в виде

где - поверхностная плотность массы.

Таким образом, выражение (19) является точным уравнением поступательного движения заряженной плоскости с учетом силы радиационного трения. Учет сил самодействия приводит к появлению эффективной «вязкой» силы с коэффициентом вязкости для поперечного движения. В то же время продольная сила радиационного трения не приводит к продольному радиационному торможению, хотя ее направление и противоположно . Можно показать, что продольная сила не влияет на скорость , так как действие этой силы компенсируется изменением релятивистской массы плоскости вызванным в свою очередь радиационным торможением в поперечном направлении.

4. Взаимодействие электронного листа с плоской электромагнитной волной

Пусть для определенности заряженная плоскость образована тонким слоем электронов, бесконечно протяженным в x и y направлениях. Такую структуру будем называть электронным листом. Если электроны в процессе движения все время образуют плоский лист с постоянной поверхностной плотностью , то уравнения движения для отдельного электрона этого листа в однородных по x и y полях при учете (19) имеют вид

,                                                             (20)

Здесь - релятивистский импульс электрона, и - масса и заряд электрона.

Это приближение будет справедливо, если изменением конфигурации плоского электронного листа можно пренебречь, что возможно в течение ограниченного времени при достаточно малой концентрации электронов либо в присутствии ионного фона, когда силы кулоновского расталкивания скомпенсированы. В то же время концентрация электронов должна быть достаточной для того, чтобы считать заряд непрерывно распределенным по листу.

Следует отметить, что эта же модель может быть применена и к листу конечных размеров, если время прибытия сигнала с краев существенно больше характерных периодов процесса :

, (21)

где - размер листа в направлениях x и y.

Пусть теперь на электронный лист, расположенный в точке , падает плоская электромагнитная волна:

где - комплексная амплитуда напряженности электрического поля волны, - волновой вектор, направленный вдоль оси Oz. Тогда при уравнение (20) на частоте имеет вид , откуда получим следующее выражение для комплексной амплитуды скорости :

, (23)

где и для поля, излучаемого листом, из выражения (15а) имеем

. (24)

Нетрудно показать, что при происходит полное отражение электромагнитной волны от листа. Действительно, для поля излучения справа от него имеем

,

и полное поле равно нулю, в то время как поле слева описывается выражением

и полное поле представляет собой стоячую волну

.

Найдем теперь среднюю по периоду поля силу давления, возникающую при взаимодействии электромагнитной волны с плоским электронным листом. Если при взаимодействии точечного заряда с плоской электромагнитной волной не учитывать радиационные потери, то движение заряда будет происходить по замкнутой траектории [12], т.е. средняя по периоду сила давления волны на электрон равна нулю. Поэтому для вычисления силы давления принципиально необходимо учитывать радиационное трение (самодействие плоскости). Пусть опять на электронный лист перпендикулярно плоскости падает электромагнитная волна. В направлении оси Oz на электрон действует сила Лоренца , которая и определяет величину силы давления. Если в выражении (23) не учитывать член, связанный с радиационным трением (полагать =0), то разность фаз скорости и магнитного поля будет составлять четверть периода, т. е. сила давления будет содержать только вибрационные члены на двойной частоте падающей волны.

Используя полное выражение для скорости электронов (23) с учетом силы радиационного трения, получим следующее выражение для средней по периоду силы Лоренца, действующей на один электрон:

. (25)

Интересно отметить, что выражение (25) имеет максимум при . Физический смысл существования этого максимума состоит в том, что при средняя сила давления на электрон равна нулю. При увеличение радиационного трения приводит к тому, что электроны остаются практически неподвижными (). Ввиду того, что сила давления (25) обусловлена силой Лоренца, также стремится к нулю вместе со скоростью. Таким образом, сила (25) как непрерывная функция параметра должна иметь максимум. Отметим теперь, что сила давления на единицу площади связана с силой давления на один электрон (25) соотношением , где - поверхностная концентрация электронов. С учетом (25) имеем . Таким образом, сила давления на единицу площади максимальна при выполнении условия полного отражения волны от электронного листа ().

Рассмотрим теперь отражение плоской электромагнитной волны от электронного листа в присутствии однородного магнитного поля с напряженностью . Пусть для простоты магнитное поле параллельно оси Oz. Удобно ввести следующие комплексные переменные:

(x и y-компоненты векторов предполагаем вещественными). Рассматривая для определенности электромагнитную волну с круговой поляризацией, запишем для нее следующие выражения:

Уравнения движения электронов (20) на частоте в нерелятивистском приближении имеют вид

где - продольная координата листа (здесь снова полагаем ).

Далее для поперечной скорости имеем

где - циклотронная частота вращения электронов.

Для поля излучения листа из (15) и (29) найдем

В результате для прошедшей и отраженной волн получим следующие выражения:

Как и следовало ожидать, в точке циклотронного резонанса при происходит полное отражение волны от листа:

Отметим, что в этом случае коэффициент отражения волны не зависит от концентрации электронов, так как при циклотронном резонансе амплитуда скорости становится обратно пропорциональной , а поле излучения (15) содержит произведение поверхностной плотности на скорость.

Подсчитаем теперь силу давления, которое оказывает волна на один электрон тонкого электронного листа в присутствии однородного магнитного поля. Для силы Лоренца, возникающей при взаимодействии электронов с магнитной составляющей волны круговой поляризации, справедливо выражение или при использовании (27) . Здесь в отличие от рассмотренного ранее случая линейно поляризованной волны стоит точная сила, неусредненная по периоду колебаний электронов.

Используя теперь (27) и (29), запишем окончательное выражение для силы давления на плоскость в присутствии продольного магнитного поля:

. (33)

В точке циклотронного резонанса сила (33) растет при уменьшении плотности вследствие того, что амплитуда скорости в этом случае также растет.

6. Учет продольных смещений электронного листа. Генерация третьей гармоники

Рассмотрим теперь точные релятивистские уравнения движения электронного листа в поле электромагнитной волны. Пусть для напряженностей электрического и магнитного полей волны справедливы выражения ,

а остальные компоненты равны нулю. Уравнения движения электронного листа (20) имеют следующий вид:

где - релятивистская скорость электронов, - ускорительный параметр.

Считая малой величиной, будем искать решения уравнений (34) методом последовательных приближений, т.е. представим их в виде ряда:

, (35)

где члены пропорциональны n-й степени параметра .

Подставляя разложения (35) в (34) и группируя члены одинакового порядка малости по , можно получить систему связанных уравнений для функций . Решения (34) в нулевом приближении имеют вид

Уравнения для первого приближения

на частоте имеют решения

, (38)

где

(39)

- фазовая задержка. Выражения (38),(39) тождественны (23). Таким образом, полученные в разд.4 решения справедливы в линейном приближении по ускорительному параметру . Далее для второго приближения имеем

, (40)

откуда , а для продольного движения получаем

Здесь первое слагаемое описывает быстрые осцилляции на двойной частоте, а второе - медленный дрейф под действием силы давления (25). Будем полагать, что сила давления скомпенсирована действием некоторой внешней силы и рассматривать только быстрые осцилляции. В результате для продольной скорости и координаты получим следующие выражения:

. (42)

Далее нам понадобится кубическая поправка к поперечной скорости . Уравнение для запишем в виде

Здесь первые два слагаемых возникают из-за продольного движения листа, а последнее слагаемое описывает релятивистские поправки. Интегрируя это уравнение по времени, получим для следующее выражение:

Выражение для запаздывающего времени с точностью до имеет вид

. (44)

Поле излучения можно представить теперь в виде суммы линейного по (24) и кубичного слагаемых, причем последнее связано с продольными осцилляциями листа и релятивистскими поправками. Для кубичного слагаемого справедливо представление

, (45)

где излучение на частоте имеет вид

• излучение на частоте .

Верхний знак относится к отраженной волне, нижний знак – к прошедшей. Таким образом, продольные колебания листа приводят к генерации третьей гармоники как в прошедшей, так и в отраженной волне. Нетрудно показать, что если пренебречь временной дисперсией электронной среды и релятивистскими поправками, третьей гармоники в прошедшей волне не будет, а в отраженной волне она сохранится.

Пусть на тонкий электронный слой, находящийся в потенциальной яме с жесткостью , падает плоская электромагнитная волна в когерентном состоянии [16] следующего вида:

где - амплитуда поля накачки (для определенности действительная), - комплексная амплитуда шума, - квадратурные компоненты шума [17].

Пусть для простоты параметр достаточно большой. В этом случае происходит полное отражение, и из выражения (24) получаем для поля отраженной волны:

где - смещение слоя под действием силы давления. При больших значениях параметра выражение для силы давления в линейном приближении по шумам принимает следующий вид:

Положение слоя можно определить из равенства (перемещения плоскости вдоль оси z считаются квазистатическими). Тогда для комплексной амплитуды шумов в отраженной волне с точностью до постоянного фазового множителя имеем:

, (49)

где . Из выражения (49) следует, что квадратурные компоненты шума в отраженной волне коррелированы, причем коэффициент корреляции тем больше, чем больше параметр . Чтобы продемонстрировать, что отраженная волна находится в сжатом состоянии [16], введем новые квадратурные компоненты, "повернутые" на угол f относительно старых ("повернем" комплексную амплитуду (49) на угол f ), причем величину f выберем из условия, чтобы спектральная плотность действительной части новой амплитуды принимала минимальное значение. В результате имеем:

где - спектральная плотность квадратурных компонент поля в когерентном состоянии. Из выражения (50) следует, что при справедлива следующая асимптотика

, когда .

Потенциальная яма для электронов может быть образована, например, двумя заданными встречными волнами одинаковой амплитуды и частоты . Действительно, сумма двух таких волн образует стоячую волну. При взаимодействии электронного облака со стоячей волной происходит группировка электронов. Для напряженностей электрического и магнитного полей стоячей волны имеем:

Для решения уравнений движения электронов в поле такой волны воспользуемся дрейфовым приближением [18], т.е. представим движение электронов как сумму быстрых осцилляций вдоль оси Oy и медленный дрейф вдоль оси Oz. Дрейфовая составляющая радиуса-вектора электронов определяется усредненной по периоду быстрых колебаний силой Лоренца . Используя тождество: , где , для средней силы Лоренца получим следующее выражение:

.

Используя выражение (23) получаем окончательно:

где .

Положение устойчивого равновесия электронов определяется равенством , откуда следует, что центр эффективной потенциальной ямы находится в узле электрической составляющей стоячей волны . Разлагая выражение (52) в ряд по вблизи , для эффективной жесткости потенциальной ямы получим:

Следует отметить, что в отсутствии падающей на слой электромагнитной волны электроны, находящиеся в узлах электрического поля стоячей волны, не излучают.

Пусть на электронный слой падают две встречные волны с произвольными комплексными амплитудами.

Проводя вычисления, аналогичные пункту 6, получим для средней дрейфовой силы вдоль оси Oz:

Пусть теперь , где - амплитуда накачки, а - комплексные амплитуды шумов, идущих, соответственно, слева и справа:

Из выражения (55), в линейном приближении по шумам, имеем для силы вдоль оси Oz:

(56)

В результате, в том же приближении, для положения устойчивого равновесия электронов получим:

. (57)

Снова используя выражение (24) с полем вида

получим для поля излучения, уходящего вправо от плоскости:

Для поля излучения, уходящего влево от плоскости , имеем:

Поэтому для полного шума справа и слева от плоскости имеем, соответственно:

Из выражения (60) следует, что квадратурные компоненты уходящего вправо и влево излучения коррелированы. Опять вводя новые квадратурные компоненты, как и в пункте 6, для минимальной спектральной плотности получим:

Оптимизация выражения (61) по параметру показывает, что минимальная спектральная плотность одной из квадратурных компонент уходящего вправо и влево от плоскости излучения всегда оказывается не меньше чем /2. Таким образом, максимальный коэффициент сжатия оказывается меньше 2.

Следует, однако, отметить, что помимо корреляции квадратурных компонент отдельно для излучения, уходящего вправо, и для излучения, уходящего влево, из выражений (60) следует, что имеется также перекрестная корреляция квадратурных компонент. Для использования этой перекрестной корреляции необходимо смешать на дополнительном полупрозрачном зеркале волны, уходящие вправо и влево от плоскости, причем для каждой волны надо выбрать соответствующую фазовую задержку. Пусть для определенности задерживается относительно на угол , а и - коэффициенты отражения и прохождения для волн и соответственно, связанные соотношением (для определенности и выбраны действительными, так как их фаза всегда может быть учтена введением дополнительных задержек). В результате после смешения на полупрозрачном зеркале имеем для комплексной амплитуды на одном из выходов:

(62)

Для спектральной плотности одной из квадратурных компонент имеем:

В выражении (38) параметры , и являются свободными, т. е. по ним должна быть проведена оптимизация. В общем случае аналитически провести оптимизацию оказывается затруднительно. Однако следует учесть, что коэффициент корреляции квадратурных компонент оказывается согласно выражению (60) тем больше, чем больше параметр , поэтому сильного сжатия поля также следует ожидать для больших . Нетрудно показать, что в этом случае одним из возможных наборов параметров , и является

.

Тогда плотность квадратурной компоненты имеет асимптотику:

, (64)

т. е. коэффициент сжатия неограниченно растет с ростом .

9. Взаимодействие электронного слоя конечной толщины с плоской электромагнитной волной

Рассмотрим взаимодействие слоя конечной толщины с электромагнитным полем. Разобьем его на тонкие электронные листы толщиной . Состояние слоя будем описывать переменными Лагранжа: -продольное смещение листа, первоначально находившегося в точке ; - его продольная скорость, и - поперечная скорость. Таким образом, в качестве индекса, нумерующего листы, будем использовать его начальную координату . Запишем систему уравнений, описывающую эволюцию первоначально однородного слоя, с объемной плотностью. Для отдельного электрона, принадлежащего листу с индексом , запишем релятивистское уравнение движения:

(65)

где

- релятивистский импульс электрона, - электрическое и магнитное поля, создаваемые остальными листами вдоль траектории электрона, принадлежащего листу с индексом . Используя выражение (15) для поля отдельного листа, получим

-запаздывание по времени при взаимодействии листов и , определяемое из уравнения

- внешние поля, также рассматриваемые вдоль траектории листа .

Система уравнений (65)-(68), дополненная начальными условиями, имеет единственное решение, описывающее эволюцию всего слоя. Уравнения (65)-(68) имеют довольно сложную структуру и, по-видимому, не допускают точного аналитического решения. Однако можно рассмотреть некоторые предельные случаи. Если мы, например, пренебрежем поперечными колебаниями электронов, полагая , то получим известную безызлучательную модель листов, которую успешно используют в физике плазмы [6].

Рассмотрим более подробно взаимодействие слоя электронов толщиной L с плоской электромагнитной волной . Как показано в разделе 5, в линейном по приближении можно рассматривать только поперечные колебания электронов в поле электромагнитной волны, полагая .Пусть - поперечная скорость листа толщины , с поверхностной плотностью заряда ( - объемная плотность) находящегося в точке . Система (65)-(68) в линейном по приближении будет сведена к следующему интегро-дифференциальному уравнению для поперечной скорости :

.(69)

Выражение в правой части есть полное поле в точке , умноженное на заряд электрона. Будем искать решение (69) в виде . Тогда для получим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:

При его решении поступим следующим образом. Продифференцируем левую и правую части уравнения (70) по переменной z и умножим их на . В результате получим:

. (71)

Складывая теперь (70) с (71), имеем:

или после повторного дифференцирования по z и приведения подобных слагаемых

. (72)

Общее решение уравнения (72) имеет вид

, , (73)

где , -плазменная частота, - некоторые комплексные коэффициенты, -комплексная проводимость. Это решение представляет собой сумму двух встречных волн с фазовыми скоростями , в соответствии с известными результатами [19]. Коэффициенты и однозначно определяются после подстановки (73) в уравнение (70). Таким образом, уравнение (70) автоматически содержит условия сопряжения на границах слоя для прошедшей и отраженной волн. Для учета влияния продольных смещений как и в разделе 5 следует решить с точностью до уравнения движения листов в поле линейного приближения и затем при использовании (15) просуммировать вклады от отдельных листов. В результате можно получить поправку к полю порядка .

Рассмотрим теперь взаимодействие слоя конечной толщины с плоской электромагнитной волной круговой поляризации в присутствии однородного магнитного поля , параллельного оси 0z. Снова будем полагать . Уравнение для поперечной скорости листа, находящегося в точке z , имеет теперь вид

(74)

Его решение можно найти тем же методом, что и решение уравнения (70). В результате получим выражение (73) со следующим параметром :

Проанализируем случай точного циклотронного резонанса . Уравнение (74) сводится к виду

. (76)

Можно показать, что уравнение (76) не имеет регулярных решений. Действительно, в точке циклотронного резонанса происходит полное отражение волны от листа с произвольной поверхностной плотностью (см. (32)). Поэтому в рассматриваемом случае полное отражение происходит от самого первого листа исследуемого слоя несмотря на то, что поверхностная плотность его зарядастремится к нулю вместе с . Из формулы (29) следует также, что амплитуда скорости этого листа неограниченно растет. Поэтому решение уравнения (76) следует искать в виде

. (77)

Подставляя (77) в (76) и принимая для получим

. (78)

Разумеется, решение (78) имеет формальный характер в силу того, что время установления стационарного режима при резонансе будет стремиться к бесконечности. Заметим, что выражение (78) можно получить и непосредственно из (29), если формально полагать и .

Заключение

Полученные результаты могут быть использованы для многих электродинамических задач, имеющих допустимый тип симметрии среды и электромагнитного поля. Таковы, например, конфигурации, возникающие в теории лазеров на свободных электронах [20], в задаче о генерации сжатых состояний электромагнитного поля [9,10], в теории отражения сверхмощной электромагнитной волны от плазменного слоя [21,22]. В последнем случае рассмотренная модель справедлива как для нормально, так и наклонно падающей волны. Для этого достаточно совершить переход в движущуюся систему отсчета, в которой тангенциальная компонента волнового вектора равна нулю [23].

Следует отметить, что система уравнений (65)-(68) является полной (в рамках модели) и учитывает как кулоновские, так и радиационные процессы. В отличие от известных численных (3+1) - моделей [22] в предлагаемой схеме решения самосогласованной задачи взаимодействия электронной среды и поля явно вычислены силы взаимодействия между листами, что позволяет рассматривать только уравнения движения и значительно сократить объем вычислений при численном моделировании.

Кроме того, предлагаемая модель допускает сравнительно простые аналитические решения в виде ряда по степеням амплитуды внешнего поля. Так, в задаче о падении волны на плоский электронный слой (или среду с известным показателем преломления) в линейном приближении получаются известные классические решения [19], а первая нелинейная поправка описывает генерацию третьей гармоники в отраженной и прошедшей волнах.

Достоинством предложенной модели является также то, что она позволяет исследовать взаимодействие электромагнитной волны с электронной средой с учетом быстроосциллирующих членов на двойной частоте волны. В этом случае может быть реализован режим оптического вырожденного параметрического усилителя с большим коэффициентом сжатия выходного поля.

1. Лоренц Г.А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения: пер. с англ. М.: Наука, 1953.
2. Клеммоу Ф., Доуэрти Дж. Электродинамика частиц и плазмы: пер. с англ. под ред. Рухадзе А.А. М.: Мир, 1996.
3. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц: пер. с англ. под ред. Коломенского А.А. М.: Мир, 1980.
4. Бугаев С.П., Канавец В.И., Кошелев В.И., Черепенин В.А. Релятивистские многоволновые СВЧ-генераторы. Новосибирск: Наука, 1991.
5. Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков. М.: Атомиздат, 1979.
6. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование: пер с англ. под ред. Рухадзе А.А. М.: Энергоатомиздат, 1989.
7. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: пер. с англ. под ред. Сагдеева Р.З. и Шевченко В.И. М: Мир, 1987.
8. Канавец В.И., Черепенин В.А. // РЭ. 1975. Т.20. N.12. С. 2539.
9. Slusher R. E., Hollberg L. W., Yurke B., Mertz J. C., Valley J. F. // Phys. Rev. Lett., 1985, V. 55. P. 2409.
10. Wu L.-A., Kimble H. J., Hall J. L., Wu H. // Phys. Rev. Lett., 1996, V. 67. P. 2520.
11. Кулагин В. В., Черепенин В. А. // Письма в ЖЭТФ, 1996. Т.63. С. 160
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1967.
13. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Борисов А.В. Квантовая электродинамика. М.: Изд-во МГУ,1983.
14. Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М.: Наука,1974.
15. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука, 1987.
16. Клышко Д. Н. Физические основы квантовой электроники. // М.: Наука, 1986, С. 130.
17. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С.. Введение в статистическую радиофизику и оптику. // М.: Наука, 1981. С. 203.
18. Миллер М.А. //Известия вузов, сер. Радиофизика, 1958, Т.1, N 3, с. 110-123.
19. Борн М., Вольф И. Основы оптики: пер. с англ. под ред. Мотулевич Г. П. М.: Наука, 1970.
20. Генераторы когерентного излучения на свободных электронах./ Под ред. Рухадзе А.А. М.: Мир, 1983.
21. Von der Linde D., Rzazewski K. // Appl. Phys. B. 1996.V. 63. P.499.
22. Lichters R., Meyer-ter-Vehn J., Pukhov A., // Phys. Plasmas. 1996. V.3 №9. P.1714.
23. Bourdier A., Phys. Fluids. 1983, V. 26. №9. P.1804.

оглавление

дискуссия