О многократных отражениях в неоднородной линии передачи

"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 5 , 2000
оглавление

дискуссия

О МНОГОКРАТНЫХ ОТРАЖЕНИЯХ В НЕОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ

В.В. Меркулов, И.С. Синева
Московский технический университет связи и информатики

Получена 26 марта 2000 г.
Получена после доработки 12 мая 2000 г.

Рассматривается задача рассеяния в одномодовой линии передачи с конечным числом неоднородностей. Получены явные решения для прошедшей и отраженной волн. Для однородных рассеивателей показана связь найденных явных решений с многочленами Белла.

Рассмотрим одномодовую однородную линию передачи, в которую включено s+1 неоднородностей (рассеивателей). Каждая n-ая неоднородность характеризуется комплексным параметром . Преобразование напряжения и тока при попадании соответствующей единичной волны на n-ую неоднородность слева и справа отражены на рисунках 1 и 2.

Рис. 1. Преобразование напряжения при прохождении единичной волны через рассеиватель с номером n

Рис. 2. Преобразование тока при прохождении единичной волны через рассеиватель с номером n

Пусть на вход первой неоднородности падает единичная волна. Она испытывает многократные отражения. В результате на выходе линии будем иметь сигнал T(s+1) , а на входе – отраженный сигнал R(s+1) . Для соответствующих напряжения и тока введем обозначения: , - результат преобразования напряжения при прохождении линии и отражении от нее, , результат преобразования тока.

В простейшем случае (s=1)

, ,

(1)

, .

Здесь d – длина линии, соединяющей первую и вторую неоднородности, а k – волновое число для этой линии. Обобщение формул (1) на случай s>1 приводит к рекуррентным соотношениям:

, ,

(2)

Здесь - расстояние между s-ым и (s+1)-ым рассеивателями, - волновое число на данном участке линии.

Рекуррентные соотношения (2) представляют самостоятельный интерес и могут быть использованы при численном моделировании описанной линии. Вместе с тем, для качественного анализа необходимо иметь непосредственное выражение для , , , через параметры неоднородностей , . Рассмотрим, например, изменение напряжения в такой линии передач.

Пусть на неоднородность с номером n слева падает волна с единичными амплитудой и напряжением. Обозначим через напряжение сигнала, прошедшего через s+1 неоднородность. Если единичная волна падает на рассеиватель с номером n справа, то напряжение сигнала за (s+1)-ым рассеивателем обозначим через . Аналогично вводятся и .

Для введенных величин , , , можно написать рекуррентные соотношения из следующих соображений: единичная волна, упавшая слева на n-ый рассеиватель, разделяется на две: одна волна слева падает на (n+1)-ый рассеиватель, другая падает справа на (n-1)-ый рассеиватель. Обе эти волны дают свой вклад в ( ).

При

(3)

Аналогично, единичная волна, упавшая справа на n-ый рассеиватель, разделяется на волну, падающую справа на (n-1)-ый рассеиватель, и волну, падающую слева на (n+1)-ый рассеиватель. Таким образом, при тех же значениях n

(4)

Граничные условия к уравнениям (3) , (4) имеют вид:

, ,

, , ,

(5)

В терминах переменных и нас интересуют величины , .

Теорема. Решение уравнений (3), (4) с граничными условиями (5) относительно , имеет вид:

(6)

где при

.

Решение для получается для при значениях параметров

,

, а решение для - при значениях

и .

Доказательство теоремы проведем, например, для . Можно считать, что , при . Из (3) и (4) имеем:

(7)

Исключим из (7) переменные ,

. (8)

Переходя в (8) от индекса n-1 к индексу n, получаем

. (9)

Подставив соотношения (8) и (9) в (7), имеем

или

Введя величины

, ,

получим уравнение в виде

. (10)

На решении уравнений (10) с граничным условием мы и сосредоточимся. Докажем, что решение уравнений (10) относительно дается соотношением

(11)

Для доказательства соотношения (11) воспользуемся индукцией по переменной s. Пусть (11) верно при всех . Рассмотрим случай . Покажем, что

(12)

Из (11) следует, что

Тогда

Мы воспользовались тем, что . Таким образом, (12) доказано, а значит и (11) установлено для всех четных s. Доказательство для нечетных s проводится аналогично.

Результат теоремы получается их (11) и того, что .

В качестве частного случая рассмотрим решение (6) при , . Тогда , при и

, (13)

где - число таких разбиений s-множества , , что

, . (14)

Из (14) следует, что . Тогда , где - полином Белла (см., например, [1]). Используя установленное тождество, запишем (13) в виде

. (15)

Из (15), в частности, следует, что в первом приближении , т.е. имеет место экспоненциальное затухание волны как по U, так и по I, а следовательно, и по мощности .

Поскольку

(см. [1] ), то при больших значениях k, т.е. соответствующие слагаемые в (15) очень быстро убывают и экспоненциальное затухание имеет место не только в первом приближении.

Рекуррентные соотношения (2) замечательны тем, что учитывают бесконечное число отражений в линии с s+1 неоднородностями. В этом смысле выражения (2) являются строгими. В тоже время во многих типичных ситуациях необходимо иметь представление об асимптотическом поведении характеристик при увеличении количества параметров (т.е. при росте s). В этом смысле недостатком соотношений (2) является отсутствие «наглядности» предельного поведения характеристик, что в ряде задач заставляет переходить к приближенным выражениям. Например, при изучении волноводов со случайными неоднородностями ограничиваются условиями и учитывают лишь однократные отражения [2]. Результат доказанной теоремы (соотношения (6)) учитывает все отражения без каких-либо ограничений на параметры неоднородностей и позволяет проводить более точный анализ как при фиксированном количестве неоднородностей, так и в различных предельных случаях, например, при увеличении числа неоднородностей в одномодовой линии и/или при изменении их параметров.

Литература

Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. – М.: Наука, 1982.

Сазонов Д.М., Гридин А.И., Мишустин Б.А. Устройства СВЧ. – М., Высшая школа, 1981.

Авторы:
Меркулов Всеволод Владимирович, д.т.н., профессор
Синева Ирина Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент, e-mail: irina.sineva@mtu-net.ru

оглавление

дискуссия