Вывод уравнения типа уравнения Гинзбурга-Ландау для нанопроволоки вблизи критического магнитного поля

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТИПА УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ ДЛЯ НАНОПРОВОЛОКИ ВБЛИЗИ КРИТИЧЕСКОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

А. В. Семенов¹, И. А. Девятов², И. В. Третьяков¹ , Ю. В. Лобанов¹, Р. В. Ожегов¹, Д. В. Петренко¹, С. В. Селиверстов¹, М. И. Финкель¹

¹ Московский педагогический государственный университет

² НИИЯФ им. Д. В. Скобельцина МГУ им. М.В. Ломоносова

Получена 14 октября 2011 г.

Аннотация. В пределе больших магнитных полей выведено нелинейное уравнение Гинзбурга-Ландау, описывающее состояние одномерной «грязной» нанопроволоки.

Ключевые слова: сверхпроводимость, нанопроволока, уравнение Гинзбурга-Ландау.

Abstract. Nonlinear Ginzburg-Landau equation for dirty supercondicting 1D wire is derived in the limit of high magnetic field.

Keywords: superconductivity, nanowire, Ginzburg-Landau equation.

В ряде современных экспериментов [1, 2] исследуются одномерные сверхпроводниковые нанопроволоки (сверхпроводники, размер которых в сечении меньше или порядка длины когерентности ξ), помещённые во внешнее магнитное поле. Наложение внешнего магнитного поля позволяет управлять сверхпроводниковыми свойствами нанопроволоки, например, изменять частоту проскальзываний фазы или время жизни квазичастиц [Anthore2], не меняя температуры нанопроволоки, что представляет интерес как для фундаментальных исследований, так и для применений в микроэлектронике.

При достижении магнитным полем некоторого критического значения нанопроволока испытывает фазовый переход второго рода, при котором параметр порядка обращается в ноль. Эти обстоятельство позволяет вблизи критического магнитного поля свести уравнения микроскопической теории, описывающие состояние нанопроволоки, (в случае «грязной» нанопроволоки – уравнения Узаделя) к замкнутому уравнению для параметра порядка, аналогичному уравнению Гинзбурга-Ландау. Линеаризованное уравнение Гинзбурга-Ландау для сверхпроводника второго рода вблизи второго критического поля было получено в [3]. В одномерном случае одновременно с обращением в ноль параметра порядка расходится характерный пространственный масштаб ξ, на котором происходят изменения параметра порядка, благодаря чему, как мы покажем в настоящей работе, оказывается возможным получить полный аналог уравнения Гинзбурга-Ландау, содержащий нелинейный член. В идейном отношении процедура производится так же, как при предельном переходе от уравнений Узаделя к уравнению Гинзбурга-Ландау вблизи критической температуры перехода из сверхпроводящего в нормальное состояние [4].

Рассмотрим сначала пространственно-однородную ситуацию. Состояние нанопроволоки может быть описано уравнением Узаделя [5]

, (1)

где G и F – функции Грина, связанные условием нормировки

, (2)

Δ – параметр порядка, ω – мацубаровская частота, а Γ – т.н. энергия распаривания, описывающая влияние магнитного поля. В случае, когда нанопроволока представляет собой полоску шириной w, а поле H ориентировано перпендикулярно поверхности полоски, Γ=e²DH²w²/6 (D – коэффициент диффузии). Параметр порядка выражается через функции Грина уравнением самосогласования

, (3)

Будем искать решение уравнения (1) разложением F в ряд по малому Δ. В нулевом порядке по Δ имеем, очевидно, G⁽⁰⁾=1, F⁽⁰⁾=0

1-й порядок. Уравнение Узаделя, записанное в первом порядке по Δ

, (1.1)

имеет решением . Из условия нормировки (2), записанного в первом порядке, , следует .

Подставив F⁽¹⁾ в уравнение самосогласования (3), имеем равенство

, (2.1)

которое должно выполняться точно при критическом значении энергии распаривания Γ=Γ_c. Взяв сумму по мацубаровским частотам, , в пределе T<<Γ_c получаем Γ_c=½Δ₀. Здесь использованы асимптотическое поведение дигамма-функции при больших значениях аргумента, ψ(x)≈lnx, и известное соотношение между критической температурой и модулем параметра порядка при нулевой температуре T_c=(e^γ/π)Δ₀.

Для дальнейшего удобно переписать уравнение самосогласования вблизи Γ_c в виде

, (2а)

Во втором порядке из уравнения Узаделя получается F⁽²⁾=0, а условие нормировки даёт

В третьем порядке решением уравнения Узаделя

, (1.3)

является . Подставив это в уравнение самосогласования в форме (2а) и взяв сумму по мацубаровским частотам (которую в пределе T<<T_c естественно заменить интегралом), получаем формулу, дающую закон обращения в нуль Δ вблизи Γ_c:

. (3)

В пространственно-неоднородной ситуации в левую часть уравнения Узаделя (1) добавляется слагаемое

( означает дифференцирование по координате вдоль нанопроволоки). В силу упомянутой выше малости градиентов, оно даст вклад лишь в третьем порядке по Δ. Теперь вместо (1.3) будем иметь

, (1.3а)

откуда . Подставив это в (2а), приходим к уравнению для параметра порядка

, (4)

вполне аналогичному уравнению Гинзбурга-Ландау.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки, мероприятие 2011-1.9-519-005, государственный контракт № 11.519.11.4005, и в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013.

Литература