"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 11, 2014 |
МОДЕЛИРОВАНИЕ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОГО МНОГОЗАЗОРНОГО РЕЗОНАТОРА
А. Н. Боголюбов, А. И. Ерохин, А. В. Шкитин
МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики
Статья получена 6 ноября 2014 г.
Аннотация. В данной работе предлагается математическая модель для расчета многозазорного аксиально симметричного резонатора. На основе предложенной модели произведен расчет собственных колебаний и собственных частот рассматриваемых систем.
Ключевые слова: атомарные функции, R-функции, многозазорный резонатор
Abstract. The mathematical model for computation of multigap axial-symmetric resonator is developed in this paper. The computation of eigenvalues and eigenmodes of considered system on the base of developed model was carried out.
Key words: atomic functions, R-functions, multigapresonator.
Введение
В данной работе рассматривается аксиально-симметричный трехзазорный резонатор. Резонаторы подобного типа находят широкое применение при конструировании усилительных клистронов с распределённым взаимодействием в миллиметровом и субмиллиметровом диапазоне длин волн [1].
В общем случае поперечное сечение рассматриваемой системы может иметь достаточно сложную форму, поэтому в данной работе для его описания применяется метод R-функций, разработанный Рвачевым В.Л. и развитый Кравченко В.Ф. [2,3]. Данный метод позволяет построить такую числовую функцию, которая равна нулю на границе плоской области достаточно сложной формы.
В работе с помощью метода R-функций строится уравнение вида , состоящее из композиции элементарных функций, которое полностью описывает сечение резонатора. В зависимости от выбора R-функции она обладает некоторыми дополнительными свойствами, например, наперед заданной степенью гладкости, а также удовлетворяет различным типам граничных условий. При этом внутри области больше нуля, а вне области – меньше нуля [3].
Дополнительным преимуществом этого метода является общность математической постановки для большого класса сечений рассматриваемого резонатора [4].
Постановка задачи
Рассмотрим трехзазорный цилиндрический резонатор с идеально проводящей поверхностью, поперечное сечение которого изображено на рис.1:
Рис.1 Поперечное сечение трехзазорного резонатора
Электромагнитные колебания в рассматриваемом резонаторе описываются системой уравнений Максвелла:
(1)
где – волновой вектор, и – вектора электрической и магнитной напряженности поля.
На границе резонатора для касательной компоненты поля выполняется граничное условие Дирихле:
где – касательная компонента поля к поверхности резонатора, включая вырезы.
В данной работе ограничимся рассмотрением колебаний электрического типа, тогда поля и представимы с помощью поляризационного потенциала:
(2)
(3)
где все компоненты потенциала, кроме направленной вдоль оси , равны 0 [5]. Подставим (2) и (3) в (1), получим:
Раскрывая скобки и сокращая слагаемые справа и слева, получим уравнение Гельмгольца с граничными условиями Дирихле:
(4)
(5)
Представим z-компоненту в следующем виде:
(6)
Получим:
Откуда:
(7)
Рассмотрим сначала уравнение для функции
(8)
Отсюда получим :
, (9)
Тогда для получим уравнение:
(10)
Проведя преобразование, аналогичное [6], получим следующую задачу:
Найти такие функции , которые удовлетворяют следующему уравнению для любых функций :
Численная реализация
Решение задачи представим в виде:
, (12)
где – R-функция Рвачева (Рис. 2), для построения которой использовались следующие логические операции [3]:
Рис.2. – R-функция, описывающая сечение резонатора
Для поиска функции будем использовать метод Галеркина. В качестве базисных функций выберем полную систему сдвигов и сжатий атомарной функции , (рис.3), которая с хорошей точностью позволяет приблизить искомую функцию [7]:
(13)
Рис.3
АФ обладает следующими важными свойствами [3]:
1. Одномерная функция является бесконечно дифференцируемой финитной функцией с носителем .
2. АФ связана с АФ . Эта связь может быть выражена следующим образом:
(14)
При :
При :
3. В точках вида функция принимает рациональные значения, которые могут быть точно вычислены по формуле:
(15)
Из свойств 2, 3 следует, что значения функции в точках вида принимает рациональные значения, которые могут быть найдены с помощью формулы (15) для функции .
Так как функция должна удовлетворять однородным граничным условиям, представим в виде:
(16)
и подставим в (11). Получим:
Введем следующие обозначения:
(17)
(18)
(19)
Учитывая, что равенство должно выполняться для любых наборов , получим следующую матричную задачу:
(20)
– столбец неизвестных коэффициентов разложения, а – симметричные ленточные матрицы.
Результаты
Ограничимся рассмотрением колебаний, не зависящих от индекса m, то есть .
На основе рассмотренной математической модели был реализован алгоритм расчета собственных колебаний и собственных частот трехзазорного аксиально-симметричного резонатора с сечением, изображенным на рис. 1.
Параметры резонатора были выбраны следующие: длина =15 мм, высота =5 мм. Размер металлической вставки: длина =2 мм, ширина =1 мм.
Расстояние по горизонтали между металлическими вставками мм, расстояние по вертикали между металлическими вставками мм.
В качестве теста программы проводился расчет собственных мод беззазорного резонатора, то есть цилиндра. Для данной задачи существует аналитическое решение, которое с высокой точностью совпадает с решением, полученным с помощью написанной программы. При увеличении количества базисных функций наблюдается быстрая сходимость алгоритма.
В качестве результатов работы программы были получены первые гармоники и соответствующие им распределения полей в указанном трехзазорном резонаторе.
Нормируя скорость света , получим первую собственную частоту . Соответствующая собственная мода и распределение и компонент поля показаны на рис. 4-6:
Рис. 4. Первая собственная мода трехзазорного резонатора
Рис. 5. Распределение компоненты для первой собственной моды
Рис. 6. Распределение компоненты для первой собственной моды
Пятая собственная частота . Соответствующая собственная мода и распределение и компонент поля показаны на рис. 7-9:
Рис.7. Пятая собственная мода трехзазорного резонатора
Рис. 8. Распределение компоненты для первой собственной моды
Рис. 9. Распределение компоненты для первой собственной моды
Из рисунков 5 и 8 видно, что поля в углах имеют особенности, что хорошо согласуется с физикой данного процесса. [8]
Заключение
Был реализован математический пакет по расчету собственных колебаний и собственных значений трехзазорного резонатора. Благодаря реализации метода R-функций данную программу можно легко модернизировать для расчета сечений более сложных форм, в том числе для расчета резонаторов с любым количеством зазоров. В результате быстрой сходимости алгоритма данная модель может быть рекомендована для расчета конструкций подобного типа.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 14-01-31397 мол_а, а так же гранта № 12-01-00479.
Литература
1. Фисенко Р.Н и др., «Резонаторная система для многолучевого клистрона», 13th Crimean Conference «Microwave & Telecommunication Technology», 2003.
2. Рвачев В. Л., «Теория R-функций и некоторые ее приложения», Киев, изд. «Думка», 1982 г.
3. Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л., «Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях», Москва, изд. «Физматлит», 2006 г.
4. Кравченко В. Ф.,Басараб М.А., «Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики», изд. «Физматлит», 2004 г.
5. Тихонов А.Н., Самарский Н. А., «Уравнения математической физики», М.: Изд-во МГУ, 1999 г.
6. А.Н. Боголюбов, А.И. Ерохин, И.Е. Могилевский, Н.Е. Шапкина, «Расчет резонансных частот открытого диэлектрического аксиально-симметричного резонатора с кусочно-постоянным радиусом», Вестник Московского Университета, Серия 3. Физика. Астрономия. 2009 г., №2, стр. 21-23.
7. Кравченко В.Ф. «Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям». Монография. – М.: Радиотехника, 2003
8. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Особенности нормальных волн неоднородного волновода с входящими ребрами // Радиотехника и электроника. 2003. Т.48. N7. C.787-794