ТЕПЛОВЫЕ НАГРУЗКИ РЕНТГЕНОВСКИХ ТРУБОК С ВРАЩАЮЩИМСЯ АНОДОМ В ИМПУЛЬСНОМ РЕЖИМЕ ИЗЛУЧЕНИЯ

Е. Л. Панкратов

Институт физики микроструктур РАН, г. Нижний Новгород

Получена 8 октября 2007 г.
 

С помощью дальнейшего развития предложенной ранее методики проведен анализ динамики температурного поля в многослойном вращающемся с частотой  аноде (материал №1/AgSn/Cu) рентгеновской трубки с водяным охлаждением в процессе его импульсного облучения пучком электронов. Получена оценка предельной мощности и поверхностной плотности мощности электронного пучка на облучаемой поверхности анода, соответствующих заданной величине давления паров материала мишени. Исследована зависимость их величин от размера пучка, вида материала мишени и ее толщины.

ВВЕДЕНИЕ

Рентгеновские трубки (РТ) являются наиболее универсальными и хорошо изученными источниками жесткого рентгеновского излучения в диапазоне длин волн  нм. Традиционные материалы анодов РТ – тугоплавкие (W, Re, Mo и др.) и переходные (Cu, Fe, Cr и др.) металлы. Однако в последнее время наметилось расширение области применения РТ в мягкий рентгеновский, с длинами волн  нм [1] и экстремальный ультрафиолетовый,  нм [2] диапазоны. Это привело к существенному расширению применяемых материалов анодов. Одним из таких материалов является кремний. Интерес к нему связан прежде всего с проблемой литографии в экстремальном ультрафиолетовом (EUV) диапазоне на длине волны 13,5 нм, поскольку максимум эмиссионной линии кремния Si L как раз приходится на данную длину волны [3]. В этой связи актуальной проблемой стало получение максимальной яркости таких источников.

Основным фактором, ограничивающим яркость РТ, является нагрев ее элементов и, прежде всего, материала анода (мишени). Проблема усложняется тем, что при решении конкретных задач размеры и формы фокусных пятен могут сильно различаться. Поэтому, для совершенствования РТ возникла задача расчета тепловых нагрузок на конструкционные элементы, а также динамики тепловых полей.

В данной работе рассмотрена методика расчета температурного поля в трехслойном аноде, вращающемся с частотой , при облучении анода импульсами электронов длительностью  с частотой следования импульсов . Получены оценки предельных мощности и поверхностной плотности мощности электронного пучка на мишени в зависимости от размера пучка для ряда материалов, обобщающие полученные в [4] результаты. В качестве предельно допустимой мощности электронного пучка выбиралась его мощность, приводящая к разогреву анода до температуры, при которой давление паров материала мишени достигает заданного предельно допустимого значения [5]. В настоящей работе также проведено сопоставление результатов расчета с имеющимися в литературе экспериментальными данными по некоторым материалам.
 

РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРЫ В АНОДЕ РТ В ПРОЦЕССЕ ЕЕ РАБОТЫ И ПРЕДЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ ДЛИТЕЛЬНЫХ ВЫДЕРЖКАХ

Рассмотрим вращающийся вокруг своей оси с частотой w цилиндрический анод РТ радиуса b и высоты h, состоящий из некоторого количества слоев, поперечных его оси z. Основание анода z=0 облучается пучком электронов с мощностью W. Для простоты аппроксимируем облучаемую пучком площадку функцией следующего вида:  с площадью , где r – радиальная координата,  - угловая координата, t – текущее время,  – расстояние от начала координат до ближайшей к нему границы облучаемой пучком области,  – расстояние от начала координат до дальней к нему границы облучаемой пучком области,  - угловой размер пучка. Облучение считалось импульсным. Импульсы длительностью  начинаются в моменты времени ,  - номер импульса, L – количество импульсов, частота следования импульсов равна , 1(x) - единичная функция [6]. Электронный пучок разогревает анод до температуры . С противоположной стороны анода расположен конвективный водяной теплоотвод (водяное охлаждение). Температура рассматриваемого анода может быть описана вторым законом Фурье

,                        (1)

где  – тепловой поток;  – коэффициент теплопроводности;  – объемная теплоемкость;  – объемная плотность мощности, выделяемая в аноде. Фактически тепловая мощность выделяется в приповерхностной области анода, т.е. в окрестности  плоскости z=0 (). Температурная зависимость объемной теплоемкости имеет следующий вид:  [7,8], где  – асимптотическое значение теплоемкости,  – температура Дебая [7]. Для ряда материалов температура Дебая приведена в таблице:

Табл. 1. Значения температуры Дебая для некоторых материалов [7,8]

Материал	Si	W	Cu	Ag	Sn
Температура Дебая, °К	528	383	315	227	206

 

Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры в области температур, близких к температуре Дебая и превышающих ее, можно аппроксимировать следующей функцией: , где  – асимптотическое значение коэффициента теплопроводности [7-9].

Рассматриваемый анод является цилиндрическим. По этой причине целесообразно записать уравнение (1) в цилиндрической системе координат

.                            (2)

В рассматриваемой модели предполагается, что вся мощность, выделяемая в трубке, передается в виде теплоты системе анод-водяное охлаждение и в окружающую среду за счёт больцмановского излучения. В действительности тепловая мощность, выделяющаяся на аноде, несколько меньше мощности трубки, так как часть энергии уносится вторичными электронами. Однако большая их часть возвращается на анод вне электронного пучка, что позволяет приближенно считать тепловую мощность равной мощности электронной бомбардировки. Уравнение теплопроводности (1) и его частный случай (2) необходимо дополнить граничными и начальным условиями, которые могут быть представлены в следующем виде

; ;                           ;                        ;                                                    ; ,

(3)

где  – совпадающая с комнатной начальная температура системы анод-вода до начала ее разогрева электронным пучком,  Вт м^-2 К^-4 – постоянная Стефана-Больцмана [10],  - коэффициент теплообмена [10]. Первое граничное условие позволяет получить физически реализуемое решение уравнения (2). Второе и предпоследнее граничные условия соответствуют больцмановскому теплоизлучению с облучаемой электронным пучком и боковой поверхностей анода. Последнее граничное условие соответствует теплопередаче в теплоотвод. Третье и четвертое условия соответствуют непрерывности температуры и потока по угловым координатам. Присутствующие в граничных условиях потери теплоты могут быть перенесены в уравнение (2) следующим образом
 

                                                                (2а)

,

где ,  - -функцией Дирака [6]. После такого преобразования уравнения теплопроводности граничные и начальное условия существенно упрощаются

; ;

;
                 (3а)

.

Для решения уравнения теплопроводности используются различные аналитические методы (см., например, [11,12]). Однако они имеют узкую область применимости и позволяют анализировать динамику температурного поля только в случае временной зависимости коэффициента теплопроводности или при некоторых частных видах его зависимости от координаты (как правило, проводится анализ многослойных структур с идеально резкими границами раздела). Целью данной работы является оценка температурного поля в трехслойном аноде, который позволяет оценивать предельную мощность рентгеновской трубки, а также развитие методики анализа динамики температурного поля для более общей зависимости коэффициента теплопроводности от различных параметров. Основные компоненты анода – мишень (в данной работе рассматривались кремниевая и вольфрамовая мишени) и медный теплоотвод. Для улучшения контакта мишень и теплоотвод соединены спаем без шлифовки границы раздела. Таким образом, границы раздела между слоями являются плавными, а не идеально резкими. В данной работе применяется существенно более общая методика решения уравнений параболического типа, позволяющая учитывать плавную зависимость коэффициентов уравнения от координаты, времени и решения уравнения (например, зависимость коэффициента теплопроводности от температуры), а также – произвольное количество слоев многослойной структуры без использования граничных условий четвертого рода [4,13-15]. Найдем решение уравнения (2a) с помощью предложенной в [4,13,14] методики, т.е. представим не зависящий от температуры множитель коэффициента теплопроводности в виде суммы постоянной и переменной составляющих: , где  – среднее значение коэффициента теплопроводности, , . Обе составляющие коэффициента теплопроводности известны из экспериментальных данных (см., например, [8]). Далее будем искать решение уравнения теплопроводности в виде степенного ряда по параметру e

.                             (4)

Подстановка ряда (4) в уравнение (2а) и простейшие преобразования позволяют получить систему уравнений для нулевого приближения температуры  и поправок к ней
 

                                                (5)

,

где  - оператор Лапласа в цилиндрической системе координат,  – среднее значение коэффициента температуропроводности, .

Подстановка ряда (4) в граничные и начальное условия (3a) позволяет получить соответствующие условия для функций T_k³0(r,j,z,t)
 

; ;

;                     (6)

; .

Решение первого уравнения системы (5) определим с помощью метода осреднения функциональных поправок [15,16]. В рамках данного метода функция  в четвертом и последующем слагаемых правой части первого уравнения системы (5) заменяется на ее среднее значение  () при получении первого приближения  рассматриваемой функции,  - момент окончания облучения анода. Для получения второго и последующего приближений функция  в рассматриваемых слагаемых заменяется на сумму , где  – порядок приближения рассматриваемой функции, . Первые два приближения функции  могут быть представлены в следующем виде
 

,

где  ,   , , , , ,  – функция Бесселя первого рода нулевого порядка (см., например, [17]). Вычисление параметров  и  позволяет получить: , . Соотношения для первых двух приближений функций  и  вынесены в Приложение из-за громоздкости.

Далее будем рассматривать анод, состоящий из мишени (материал 1, толщина , одновременно  и координата границы раздела между мишенью и спаем), стержня, соприкасающегося с водяным охлаждением (материал 3, толщина , где  – координаты границы раздела между спаем и теплоотводом) и спая (материал 2, толщина ). Структура такого анода приведена на рис. 1. Функция  в случае трехслойного анода является плавной, однако переходные области между слоями разных материалов малы относительно толщины слоев. По этой причине аппроксимируем  кусочно-постоянной функцией

где  и  – параметры, зависящие от материалов анода и связанные условием равенства нулю среднего значения функции . Из анализа температурного поля следует, что в области анода с хорошей тепловой проводимостью (теплоотвод) градиент температуры существенно меньше, чем в имеющей плохую тепловую проводимость мишени. Таким образом, длина теплоотвода не оказывает существенного влияния на температурное поле и ее можно существенно сократить. Однако для улучшения контакта медного участка анода с водой целесообразно в качестве теплоотвода использовать не сплошной цилиндр, а радиатор.

Рис.1. Структура анода
 

Для определения предельно допустимых нагрузок трубки необходимо знать предельно допустимые значения температуры опасных в отношении нагрева участков и, как следствие, предельно допустимую мощность пучка электронов . При рассматриваемых граничных и начальном условиях температура является монотонной функцией времени. Таким образом, в случае высокой частоты следования импульсов (постоянная времени нагрева и охлаждения материала существенно превышает период следования импульсов ) предельно допустимая мощность электронного пучка определяется длительностью облучения мишени. В противоположном предельном случае (период следования импульсов  существенно превышает постоянную времени нагрева и охлаждения материала) предельно допустимая мощность электронного пучка определяется длительностью одиночного импульса . Путем простых преобразований температурного поля не представляет труда получить предельную мощность электронного пучка. В нулевом приближении по параметру  она определяется следующим соотношением
 

,

где  – предельная температура разогрева анода в области падения пучка на анод, соответствующая предельно допустимой мощности  пучка электронов. Соотношения для приближений предельно допустимой мощности более высокого порядка не приводятся из-за их громоздкости. В качестве предельно допустимой температуры при разогреве анода следует принять температуру, соответствующую заданному максимально допустимому значению давления паров материала мишени в рентгеновской трубке [5]. Зависимость предельных мощности  и ее поверхностной плотности  от площади сечения пучка электронов приведены соответственно на рис. 2 и 3. В качестве материала мишени выбирался кремний и вольфрам; в качестве материала спая рассматривался сплав серебра и олова в соотношении 3:1 (область спая толщиной 0,1 мм); в качестве материала 3 – медь, толщина слоя полагалась равной 5 мм. В процессе работы РТ происходит испарение материала мишени в окружающий объем. Таким образом, для увеличения срока службы РТ необходимо ограничивать мощность электронного пучка, т.е. давление паров материала мишени не должно превышать заданной величины, определяемой требуемым сроком службы мишени. Для кремниевой мишени величина предельного давления паров со сроком службы РТ в сотни ¸ тысячи часов, составляет  мм рт. ст. Максимальная температура разогрева мишени, соответствующая данному давлению, равна 1090 К [18]. Сравнение предельной мощности и ее плотности (рис. 2 и 3), с экспериментальными данными [19] показывает их хорошее качественное согласие. Некоторое количественное расхождение объясняется отсутствием полной информации о материалах мишени и пространственных размеров различных частей анода, рассмотренных в [19]. Рис. 2 показывает, что уменьшение толщины мишени с малой относительно теплоотвода величиной тепловой проводимости позволяет увеличить предельную мощность электронного пучка. При использовании кремниевой мишени такое уменьшение может составить более 25% для указанных на рисунке параметров. Из данного рисунка также следует, что использование вольфрамовой мишени вместо кремниевой приводит к увеличению предельной мощности электронного пучка примерно на 20% при предельной температуре кремния  К, соответствующей давлению его паров в трубке, равному  мм рт. ст. Различие в величине предельной мощности можно объяснить большей тепловой проводимостью вольфрама по сравнению с кремнием. Однако рассматриваемая температура соответствует существенно меньшему предельному давлению паров вольфрама. При одинаковом давлении насыщенных паров вольфрама и кремния предельная плотность мощности на вольфрамовой мишени примерно в 1,6 раза больше, чем на кремниевой. Уменьшение толщины мишени также приводит к увеличению предельной мощности.

Рис.2. Зависимость предельной мощности электронного пучка от площади его сечения для: кремниевой мишени толщиной 1 мм – 1, 0,5 мм – 2, 0,25 мм – 3, 0,1 мм – 4; вольфрамовой мишени толщиной 0,5 мм – 5; экспериментальные данные [19] – точки 6
 

Рис.3. Зависимость поверхностной плотности предельной мощности электронного пучка от площади его сечения для: кремниевой мишени толщиной 1 мм – 1, 0,5 мм – 2, 0,25 мм – 3, 0,1 мм – 4; вольфрамовой мишени толщиной 0,5 мм – 5; экспериментальные данные [19] – точки 6
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе сделана оценка температурного поля в многослойном аноде рентгеновской трубки. Она позволила получить зависимости предельных мощности и поверхностной плотности мощности электронного пучка от площади его сечения в общем виде и для некоторых материалов анода. Для оценки температурного поля использована методика решения уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности, позволяющая решать широкий класс тепловых задач.
 

ПРИЛОЖЕНИЕ
 

Соотношения для первых двух приближений функций  и  имеют вид
 

,

,

где a₁₁=a₁₂=a₂₁=a₂₁=0.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
 

[1] М.С. Бибишкин, И.Г. Забродин, Е.Б. Клюенков и др. // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2003. №2. С. 41.

[2] A. Egbert, B. Mader, B. Tkachenko et al. // Proc. of SPIE. 2003. V. 5037. P. 784.

[3] М.А. Блохин, И.Г. Швейцер. В кн.: Рентгеноспектральный справочник. М.: Наука, 1982. С. 24.

[4] Е.Л. Панкратов, Н.И. Чхало. // Теплофизика высоких температур. 2006. Т.44, №5. С. 770.

[5] Ю.Д. Денискин, Ю.А. Чижунова. Медицинские рентгеновские трубки и излучатели. М.: Энергоатомиздат, 1984. 209 с.

[6] Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 831 с.

[7] К.В. Шалимова. Физика полупроводников. М.: Энергоатомиздат, 1985. 391 с.

[8] Физические величины. Спр./Под ред. Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1231 с.

[9] С.М. Зи. Физика полупроводниковых приборов. М.:Энергия,1973. 656 с.

[10] В.Е. Кузьмичeв. Законы и формулы физики. Киев:Наукова Думка,1989.862 с.

[11] Г. Карслоу, Д. Егер. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.

[12] A.F. Carballo Sánchez, G. González de la Cruz, Y.G. Gurevich, G.N. Logvinov // Phys. Rev. B. 1999. V. 59. № 16. P. 10630.

[13] Е.Л. Пакратов // ЖТФ. 2004. Т. 74. № 1. С. 115.

[14] E.L. Pankratov // Phys. Rev. B. 2005. V. 72. № 8. P. 075201.

[15] Е.Л. Панкратов // Журнал радиоэлектроники.2007. №1. С. 1-16.

[16] Ю.Д. Соколов // Прикладная механика. 1955. Т.1. С. 23.

[17] А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. М. Наука, 1984. 344 с.

[18] Технология тонких пленок. Спр. / Под ред. Л. Майссела, Р. М. Глэнга. Советское радио, 1977. 664 с.

[19] Рентгенотехника. Спр. / Под ред. Клюева В.В. М. Машиностроение, 1980. Т. 1. 432 с.