ОБНАРУЖЕНИЕ  СЛОЖНЫХ  СИГНАЛОВ  С  ФЛУКТУИРУЮЩИМИ АМПЛИТУДАМИ  И  НАЧАЛЬНЫМИ  ФАЗАМИ

 

М. А. Киреев

Филиал  “Московский  центр  автоматизированного  управления  воздушным  движением”  ФГУП  “Госкорпорация  по  ОрВД”,  г. Москва

 

Получена 12 октября 2013 г.

 

Аннотация. В  работе  решается  задача  синтеза  эффективных  алгоритмов  приема  полезного  сигнала  с  флуктуирующими  амплитудами  и  начальными  фазами  на  фоне  негауссовых  помех.  Получены  рабочие  характеристики  приемников  обнаружения  полезного  сигнала  на  фоне  негауссовых  помех.

Ключевые  слова:  оптимальный  приемник,  негауссова  помеха,  аддитивная  смесь,  нелинейный  четырехполюсник,  квадратурная  составляющая,  пороговый  уровень.

Abstract. The problem of synthesis of effective algorithms of reception of a useful signal is solved with fluctuating amplitudes and initial phases against non-Gaussian hindrances. Performance data of receivers of detection of a useful signal against non-Gaussian hindrances are received.

Keywords: optimum receiver, non-Gaussian hindrance, additive mix, nonlinear two-port network, quadrature component, threshold level.

 

В  настоящее  время  в  связи  с  ростом  числа  совместно  работающих  радиотехнических  систем  различного  назначения  много  внимания  уделяется  вопросам  синтеза  оптимальных  приемников  обнаружения  полезных  сигналов  на   фоне  активных  и  пассивных  мешающих  сигналов  и  помех. Активные  помехи  представляют  собой  излучаемые  зондирующие  сигналы  других  РЛС,  мощные  сигналы  связных  передающих  связных  станций,  запросные  сигналы  бортовых  и  наземных  радионавигационных   систем.  Пассивными  помехами  служат  отраженные  радиосигналы  от  подстилающей  поверхности,  метеообразований  (зоны  облачности,  тумана),  искусственных  предметов   возвышающихся  над  местностью. На  практике   амплитуды  и  фазы  сигналов  в  результате   отражения  от  целей,  объектов  сложной  формы   и  подстилающей  поверхности,  многолучевого  распространения  радиоволн,  прохождения  через  области  гидрометеоров  могут  иметь  распределение  отличное  от  нормального.

В  литературе  описано  достаточно  методов  и  способов  построения оптимальных  приемников  [1,2],  при  воздействии  на  их  входы  различных   мешающих  сигналов  и  помех,  которые,  однако,  имеют  сложную  техническую  реализацию. 

В  настоящей   работе   рассматриваются  алгоритмы  приемников  полезных  сигналов,  полученные  при  следующих  допущениях:

1)   негауссовская  помеха  предполагается  заградительной  (или  прицельно – заградительной),  т.е.  ширина  энергетического  спектра  помехи    намного  превосходит  ширину  спектра  анализируемого  сигнала  :

                                              .                                                  (1)

Причем  спектр  частот  помехи  предполагается  достаточно  равномерным  хотя  бы  в  полосе  частот  полезного  сигнала  (так  называемая  негауссовая  помеха  типа  белого  шума).  Для  негауссовой  помехи  типа  белого  шума  функционал  вероятности    как  показано  в  [3],  равен:

                                   ,                         (2)

где   - одномерная  плотность  вероятности  негауссовской  помехи  ,  а   -  интервал  наблюдения,  равный  длительности  сигнала.  В  случае  белого гауссовского  шума  из  выражения  (2)  вытекает  известная  из  литературы  формула  для  функционала  вероятности  белого  гауссовского  процесса,  что  приводит  к  корреляционному  приемнику, эквивалентному  согласованному  фильтру  (СФ);

2)  мощность  сигнала    значительно  меньше  мощности  помехи  :

                                              .                                                   (3)

Это  условие  всегда  выполняется  при  воздействии  мощных  помех  на  приемники  связных  или  радиолокационных  систем.  Кроме  того,  оптимизация  систем  всегда  целесообразна  для  слабых  сигналов;

3)  на  вход  приемники  системы  обнаружения  поступает  смесь  полностью  известного  сигнала    и  негауссовой  помехи  :

                                                                (4)

Используя  выражение  (2),  нетрудно  записать  отношение  правдоподобия  ,  и,  с  учетом  условий  (3,4)  получить  алгоритм  обнаружения    оптимального  приемника:

                                     ,                            (5)

и  для  вынесения  решения  о  наличии  (или  отсутствии)  сигнала  во   входной  смеси  случайная  величина    должна  сравниваться  с  порогом  ,  величина  которого  выбирается  из  обеспечения  требуемого  уровня  ложных  тревог.  В  формуле  (5)    есть  случайный  процесс  на выходе  нелинейного  четырехполюсника  (НЧ)  [3],  амплитудная  характеристика  которого  равна:

                                           .                                        (6)

Анализ   алгоритма  (5)  показывает,  что  оптимальный  приемник  после  усилителя  промежуточной  частоты  (УПЧ)  должен  состоять  из  НЧ  с  амплитудной  характеристикой  (6),  и,  как  показано  в  [4],  коррелятора  или  оптимального  линейного  фильтра  (ОФ),  частотная  характеристика  которого т сопряжена  со  спектром  сигнала  .  Далее  следует  пороговое  устройство (ПУ).

 

             

              Рис.1  Структурная  схема  оптимального  приемника.

 

Нетрудно  привести  физическое  толкование   тому  факту,  что  ОФ  сопряжен  со  спектром  входного  сигнала,  а  не  со  спектром  сигнала  на  выходе  НЧ.  Действительно,  т.к.  сигнал  слабый,  то  НЧ  для  сигнала  линеаризуется,  и  сигнал  на  выход  НЧ  в  первом  приближении  проходит  практически  без  искажений.  Спектр  помехи  остается  не  менее  широкополосным  на  выходе  НЧ  (и,  конечно,  более  широким,  чем  спектр  сигнала).

В  общей  форме  сигнал  можно  записать  в виде:

                                         ,                 (7) 

     

где    и    есть  случайная  амплитуда  и  неизвестная  начальная  фаза  распределений,  которые,  соответственно,  релеевское  и  равномерное  (равновероятное):

                                                         (8)

                                                       ,                 (9)

а    и    есть  медленные  (по  сравнению  с  несущей  )  регулярные  функции,  характеризующие  законы  амплитудной  и  фазовой  модуляции  соответственно.

В  практике  радиосвязи  и  радиолокации  возможны  случаи  приема  сигналов,  когда  неизвестная  начальная  фаза    от  импульса    к  импульсу    меняется  независимо:

                            ,                 (10)

 

где    и    характеризуют  медленные  (по  сравнению  с  несущей  )  процессы,  модулирующие  амплитуды  и  фазы  элементарных  сигналов,  соответственно,  либо  когда  случайная  фаза  всюду  одинакова:

                            .                 (11)

 

Распределение  начальных  фаз  в  каждом  случае  равновероятное  (9).

1)  Пусть  требуется  обнаружить  сложный  квазидетерминированный  сигнал  с  флуктуирующей  амплитудой  и  неизвестной  начальной  фазой

                             ,             (12)

 

где  распределения   определяются  выражением  (8).  Подставляя  (12)  в   (5),  получаем: 

где

                                       (13)

Из  выражения  (13):

                                     ,      

получаем,  что

                              .                                (14)

 

Усредняя  отношение  правдоподобия   по  неизвестным  фазам  ,  которые  распределены  равномерно:

                                 ,

получаем:

                               .                                     (15)

 

Полагая  все   при    независимыми  и  распределенными  равномерно  и  усредняя  дополнительно  по ,  получим:

 

                   (16)

 

где  интеграл  в  предпоследнем  равенстве  равен  единице  в  силу  условия  нормировки  плотностей  вероятностей  (интеграл  берется  от  райсовского  распределения).  Из  (16)  получаем  алгоритм  оптимального  приемника  обнаружения  слабых  флуктуирующих  сигналов  (ФС):

                                                                                      (17)

 

Блок-схема  приемника,  реализующая  полученный  алгоритм  изображена  на  рис.2.

 

 

Рис.2  Функциональная  схема  приемника  слабых  флуктуирующих сигналов.

 

Пусть  теперь  обнаруживается  неизвестный   радиосигнал,  когда  в  (12)   все    одинаковы.  Тогда  из  (14,15)  следует,  что:

                                                                                          (18)

                                                               

откуда  после  усреднения  по    получаем:

                                      .                         (19)  

          

Интеграл  в  (19)  является   неберущимся.  Поэтому  запишем  теперь  (18)   в  виде:

                                                                        (20)         

и  предполагая,  в  силу  малости  сигнала  ,  что  ,  из  (20)  получаем:

                                           .                               (21)     

      

Усредняя     по  ,  получим:

                                                           (22)     

      

Вычислим  интеграл  в  (22)  по  частям:

        (23)  

 

      

ибо  интеграл  в (23)  равен  единице   в  силу  условия  нормировки.  Поэтому  алгоритм  (22)  равен:

                                                     .                                              (24)

                                                        

2)  Пусть  теперь  обнаруживается  ФРС,  т.е.  когда  в  (12)    различны,  а  все    одинаковы,  и  равны  .  Тогда  из  (13)  следует  что:

                     

                 ,

 

и,  следовательно

 

                      .                   (25)

 

 Из  (25)  получаем:

                                            ,                                    (26)

                        

и  после  усреднения  по  случайной  фазе    получаем:

                                         ,                               (27)  

       

откуда

                                             .                                      (28) 

                                       

Усредняя  (28)  дополнительно  по  флуктуирующим  амплитудам  ,  ,  получаем:

 

                           

             .      (29) 

 

Поскольку:

                         ,     

                          ,                (30)

 

 то  выражение  (29)  равно:

               

                                             .                                                 (31) 

 

Интеграл   (31)  не  является  табличным.  Поэтому,  снова  обращаясь  к  (27),  в  предположении  малости  огибающей    (в  силу  малости  )  получаем:

                                                      ,                                            (32) 

 

откуда  с  учетом  выражений   (25)  и  (30)  получаем:

                                         .                                (33) 

 

Усредняя  теперь  (33)  дополнительно  по  флуктуирующим  амплитудам,   с  использованием  выражения  (8)  получаем:

                ,        (34) 

 

где  _,   поэтому,  вычисляя 

,                                                          (35) 

 

 

и подставляя  в  (34),  получаем:

                                        .                      (36)

 

 В  соответствии  с  полученным  алгоритмом  и  с  учетом  выражений   (25)   для    и  ,  блок-схема  оптимального  приемника  (рис.3) состоит  из  НЧ  вида  (6)  и    квадратурных  каналов.  Каждый  квадратурный  канал  состоит  из  формирователя  квадратурных  составляющих  (Кв),  перемножителя  ()  и  интегратора  ,  причем  на  первые  входы  перемножителей  поступают  составляющие    или  ,   а  на  другие  входы - опорные  квадратурные  сигналы  от  генератора  опорных  сигналов  (ГОС).  Составляющие  всех  каналов  _,    перемножаются  при  ,  или  возводятся  в  квадрат  при  .  Аналогично  и  для  составляющих  ,  .  Произведения  вида     и     поступают  на  сумматор  и  далее  на  пороговое  устройство. 

 

 

    

Рис.3  Функциональная  схема  квадратурного  приемника.

 

Отметим,  что  в  сумматоре   происходит  как  некогерентное,  так  и  когерентное  суммировании,  ибо  хотя  начальная  фаза    и  неизвестна,  но  она  одинакова   для  всех   элементарных  сигналов   в  (7).  По  этой  причине  обработка  поступающего  сигнала  оказывается  довольно  сложная.  Если  же  элементарные  сигналы   являются  ортогональными,  то  совершенно  очевидно,  что  ,  при  ,  и  из    (36)  получаем:

                                    ,                                       (37) 

 

 т.е.  алгоритм  обработки  совпадает  (с  точностью  до  мультипликативной  константы)  с  (17).  Полученный  результат  означает,  что  независимо  от  того,  одинакова  в  (12)  начальная  фаза  или  нет,  структура  приемника обнаружения  ортогональных  сигналов   не  меняется.  С  физической  точки  зрения  этот  результат  понятен,  так  как  рассматриваемые  в  работе  методы   синтеза  оптимальных  приемников  являются  в  принципе  амплитудными,  то  именно  вид  амплитуды     сигналов   определяет  структуру  обнаружителя  в  целом. Отметим,  что   алгоритм   (36)  допускает  некоторое  упрощение.   Допустим,  для  общности,  что  несущие  частоты        в  элементарных  сигналах  не  совпадают.  Тогда  подставляя    и    из  (25)  в  (36),  легко   убедиться,  что:

 (38)

 

 В  частности,   если   все  ,  ,  то  из  выражения  (38)  получаем:  

                               ,                      (39)

 

   где  функция

,           (40)

 

является  опорной  и  формируется  из  сигналов  ГОС.

3)  Пусть  требуется  обнаружить  (ФС),  когда  в  (12)  все  ,  и  ,  .  Тогда  из  (24-26)  следует,  что

                                                           (41)

 где     

_.                     (42)

Усредняя  отношение  правдоподобия

                                                                                                                  

по  фазе  ,  получаем  (15):

                                                      ,

и  после  дополнительного  усреднения  по    см.(25)  получаем:

                                                  ,                                      (43)

 

поэтому  в  силу  монотонности   экспоненциальной  и  квадратичной  функций   алгоритм  оптимального  приемника  примет  вид:

                                                ,                                                (44)

 

  а  блок-схема  приемника  его  реализующая  изображена  на  рис.4,  где  функциональный  узел  после  сумматора  есть  детектор  огибающей  (ДО).

 

Рис.4  Функциональная  схема  приемника  с  “дружно”  флуктуирующими  параметрами.

 

Перейдем  к  вычислению   характеристик.   Пусть  сигнал  (12)  отсутствует  во  входной  смеси  на  входе  приемника.  Тогда  в  отсутствие  сигнала   среднее  значение  случайной   величины  (17)  равно:

                                                                                                        (45)

ибо   ,  и   ,  а  дисперсия 

.    (46) 

 

Используя   (13),  получаем:

    

 

.                                                         (47)

 

 

 Рассмотрим  отдельно  момент  4-го  порядка  в  (47):

,

(48)

где   – четырехмерная  плотность  вероятности.  Предполагая,  что  помеха  типа  белого  шума,   получаем  [5],  что  процесс    также  типа  белого  шума.   Можно  показать,  что  для  процессов  типа  белого  шума:

              

 

Тогда

                            ,                            (49)

 

 и  из  (47)  с  учетом  выводов  в  [2]  получаем:

                                          .                                             (50)

Аналогично,  для       получаем:

                                                                                        (51) 

Рассмотрим  теперь  произведение:

                           

                    

 

 откуда  с  учетом  (49)  получаем:

                                         .                                                  (52) 

 

Подставляя  (50) ¸ (52)  в  (46),  получаем:

                                            .                                            (53)

 

  Отметим,  что  выражение  (53)  можно  получить  более  простым  путем,  если  учесть  [5],  что  .

При  наличии  сигнала  дисперсия   величины     в  силу  малости  сигнала  совпадает  с  (53),  а  среднее   значение   равно  [3]:

                                        .                                   (54)

 

 В  отсутствие  сигнала  распределение  величины    определяется  выражением

 

                                           .

а  вероятность   как  показано  в  [3]  равна:

                                   

 

 

Тогда  вероятность  правильного  обнаружения  равна:

 

                               ,                        (55)

 

 где,   в   соответствии  с  (14):

 

              .             (56) 

 

Интеграл  (55)   не  является  табличным,  однако  с  помощью  ЭВМ  вычислить    возможно.  При    (один  элементарный  сигнал)  соответствующие  выражения  приведены  в   [4]. 

б)  Пусть  в  (12)    одинаковы,    различны,  и  алгоритм  приемника  равен  (23).  Тогда  в  отсутствие  сигнала  ,  и     определяется  (53).  При  наличии  сигнала  дисперсия  совпадает  с  (53),   а  среднее  значение  равно:

                                          ,        

                        

Тогда  вероятность  ложной  тревоги  равна  [4], 

 

                               ,              (57)     

             

а  вероятность  правильного  обнаружения  равна: 

 

.          (58)

в)  Пусть  в  (12)    различные,  а    одинаковы,  при  этом  алгоритм  соответствует  (32).  В  этом  случае  ,   а  выражения  для  дисперсии  и  среднего   при  наличии  сигнала  получаются  довольно   громоздкими,  поэтому  не  приводятся.  Необходимо  отметить,  что   характеристики  качества   обнаружения     в  этом  случае  будут  лучше,   чем  в  случае,  когда    все    различны  (56),  но   хуже,  чем   в  случае,  когда  все    одинаковы,  и  нет  флюктуации  амплитуд   (30).   Этим  определены  границы  вероятностей  ложной  тревоги  и  правильного   обнаружения.

г)  Пусть  в  (12)  все    и      одинаковы,  а  алгоритм  обнаружения  соответствует  (35).  Тогда  среднее  значение   ,  а  дисперсия  равна:

                                                  ,               (59)  

 

где   при  выводе  была   использована  формула  [5]:

            ,

 

где  были  отброшены  интегралы  от  быстроосциллирующих  функций.  При  наличии  сигнала  дисперсия  определяется   формулой  (58),  а  среднее  значение  с  учетом  (13)  равно:

.                        (60)

 

Вероятность    определяется  формулой  (57),  а    -  (58),  в  которой  составляющие    и     необходимо  заменить  выражениями  (60)  и  (59)  соответственно.

д)  Если  сигнал  (12)  обнаруживается  на  фоне  нестационарной  помехи,  то  аналитическое  исследование  значительно   усложняется.  Это  происходит  в  силу  того,  что  средние,   дисперсии   и  т.д.  будут  зависить  от  времени.

 

Литература

1.  Зюко А. Г.,  Кловский Д. Д.,  Назаров М.В.,  Финк  Л.М.  Теория  передачи  сигналов. – М.:  Связь,  1980. – 228 с.: ил.  

2. Фалькович С.Е. Оценка  параметров  сигнала. – М.:  Изд-во  “Советское  радио”,  1970. – 336 с.: ил.

3.  Киреев  М.  А.  Выделение  полностью  известного  сигнала  на  фоне  негауссовых  помех.  Телекоммуникации  №3,  2012. –  с.13 – 18.

4.  Голяницкий И.А. Пространственно-временные  статистические  характеристики  модулированных  полей  и  процессов. – М.:  Изд-во МАИ,  1991. – 160 с.: ил.

5.  Голяницкий И.А.  Оптимальная  пространственно-временная  обработка  негауссовых  полей  и  процессов. – М.:  Изд-во МАИ,  1994. – 208 с.: ил.