"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 9 , 2000 |
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕКОГЕРЕНТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ТОМОГРАФИИ СРЕД С ПОГЛОЩЕНИЕМ
В. П. Якубов, Д.В. Лосев
Томский государственный университет
Получена 22 сентября 2000 г.
Рассматривается задача о томографии пространственно распределенного некогерентного источника излучения. Задача решается на основе обращения интегрального уравнения, сформулированного для углового распределения интенсивности, измеряемого на поверхности определенного радиуса. Предлагаемое обратное интегральное преобразование обобщает известные решения и учитывает ослабление, как за счет сферической расходимости, так и за счет экспоненциального ослабления.
1. Введение
В настоящее время методы
томографии признаются самыми
перспективными для целей интроскопии
неоднородных сред и диагностики
биологических тканей [1].
Получаемая с их помощью информация
отличается как объемом, так и точностью при
сохранении наглядности представления.
Область применения этих методов
чрезвычайно широка: от медицины до
геофизики и аэрономии. Постоянное
расширение области применения
томографических методов определяет
непрерывное совершенствование как самих
этих методов, так и способов зондирования
сред. Для зондирования сред начинают
использоваться более низкочастотные виды
электромагнитных полей (радиотомография [2,
3], импедансная томография [4],
магнитная томография [5]). Методы
обработки волновых проекций становятся
более тонкими, начинают учитываться
эффекты, которыми ранее пренебрегалось (дифракция,
рефракция, поглощение), а также их
комбинации. Сдерживающим здесь является
сложность рассматриваемых явлений и слабая
разработанность математических методов.
Что касается применения прямых численных
решений, то их устойчивость и точность
оставляет желать лучшего. Базовым методом математического
обеспечения современных томографов
является метод обратных проекций и его
модификации. Наиболее устойчивыми и
точными являются методы, основанные на
использовании различных интегральных
преобразований. Например, для
восстановления двумерных неоднородностей
при круговой схеме обзора эффективным
методом является разложение снятых теневых
проекций по круговым гармоникам в
сочетании с т.н. каузальным или
некаузальным решениями [6]. Однако
ядра этих преобразований обладают
особенностями в окрестности начала
координат, и это приводит к неустойчивости
решения. Для томографии распределения
некогерентных источников предложен метод
сведения задачи к интегральному уравнению
типа свертки и решения его с использованием
алгоритма быстрого преобразования Фурье [7].
Во всех этих случаях поглощением излучения
в среде приходится пренебрегать или
считать его исчезающе малым, иначе задача
просто не решается. Неучет этого влияния (особенно,
при использовании слабого по интенсивности
излучения или сильного поглощения в среде)
может приводить к значительным
погрешностям восстановления томограмм.
Несмотря на актуальность этой задачи, как
отмечается в обзоре [8], методов,
учитывающих фоновое поглощение излучения в
произвольной неоднородной среде, вплоть до
последнего времени в мире не разработано.
Исключение составляет малоинтересный
случай осесимметричных сред. В настоящей
работе предлагается математическое
решение общей задачи. Рассмотрим задачу о
пространственном распределении плотности
интенсивности источника излучения
в предположении его некогерентности и
локализации внутри объема ,
ограниченного сферой радиуса
(рис.1). На границе этой сферы
наблюдаемая интегральная интенсивность
некогерентного излучения описывается
выражением [9]: Рис. 1. Геометрия задачи.
Здесь - коэффициент линейного поглощения по интенсивности для фоновой среды в которой распространяется поле излучения. Как видно из (1), при этом наряду с фоновым поглощением учитывается ослабление излучения за счет сферической расходимости.
Для простоты будем рассматривать случай - диаграммы направленности приемной антенны в двух плоскостях с ориентацией максимума по прямой с прицельным расстоянием . Обозначим через угловое положение точки приема в плоскости наблюдения, проходящей через центр сферы. При этом в системе координат, связанной с точкой приема, интегрирование по телесному углу снимается, и выделяемое излучение определяется как
(2) |
где интегрирование ведется вдоль прямой, проведенной из точки наблюдения
в направлении с прицельным расстоянием (рис. 1). Полученное выражение напоминает собой как бы "взвешенные" теневые проекции, используемые в классической томографии. Весовой экспоненциальный множитель введен для учета фонового поглощения в среде распространения. Подчеркнем, что именно появление этого множителя не позволяет для обращения (2) воспользоваться известными томографическими решениями, что и отмечается в [8].Заметим, что радиус вектор
, соответствующий текущей точке на прямой интегрирования в выбранном сечении объема, определяется полярным углом и полярным радиусом , который связан с переменной интегрирования соотношением: . Верхний знак (-) берется, когда точка интегрирования лежит на прямой интегрирования ближе к точке наблюдения , чем прицельная точка . Нижний знак (+) берется, когда точка интегрирования лежит дальше. При этом соответственно полярный угол определяется как .Для дальнейшего анализа удобно перейти в интеграле (2) к интегрированию по полярной переменной , предварительно представив распределение интенсивности источника излучения
в виде ряда Фурье по круговым гармоникам:
(3) |
В результате интеграл (2) представляется в виде разложения:
(4) |
где
(5) |
Соотношения (3) - (5) представляют собой решение прямой задачи многоракурсного сканирования распределенного источника излучения
. Интегральное соотношение (5) является интегральным уравнением для решения обратной задачи – восстановления внутреннего распределения по измерениям интенсивности излучения на поверхности объема .3. Решение задачи томографии в условиях поглощения
Уравнение (5) является уравнением, обобщающим два известных частных случая. Во-первых, это случай отсутствия фонового затухания в среде , но произвольного распределения . Для этого случая известны четыре решения: каузальное, некаузальное [6], с использованием обратного интегрального преобразования Меллина [1] и
с использованием преобразования к уравнению в свертках [7]. Укажем здесь лишь каузальное решение:
(6) |
Во-вторых, это случай осевой симметрии (
), но при наличии затухания . Решение для этого случая предложено в [10]:
(7) |
Предлагаемое нами общее решение уравнения (5) имеет вид:
(8) |
Очевидно, что выражение (8) содержит в себе как частные случаи и решение (6) при
, и решение (7) при .Для доказательства справедливости решения (8) подставим его в исходное уравнение (5), которое при этом должно превратиться в тождество. Меняя порядок интегрирования, получаем, что
(9) |
где для внутреннего интеграла введено обозначение:
(10) |
В приложении будет показано, этот интеграл тождественно (при любых входящих в него параметрах!) равен
. Но если , то соотношение (9) переходит в равенство:
. |
Это равенство становится тождеством, если выполняется условие
, означающее условие отсутствия излучения из объема при визировании по касательной к нему. Последнее всегда выполняется, если все источники располагаются внутри сферы радиуса . Достаточно лишь сделать величину большой.Восстановление томограммы по многоракусным измерениям интенсивности излучения сводится к нахождению коэффициентов разложения
и последовательному выполнению интегрального преобразования (8) и суммирования (3).
4. Заключение
Таким образом, было показано, что
задача томографии может быть решена не
только в классическом случае непоглощающей
среды, чему соответствуют различные методы
обращения преобразования Радона, но и в
случае учета произвольного постоянного
поглощения в среде. Это дает возможность
повышения точности известных методов и
расширения сферы применения
томографических методов на новые области
науки и техники. Работа выполнена по грантам
Минобразования и РФФИ № 01-02-16546.
Литература
Приложение
Для доказательства тождества
воспользуемся методом вычисления интегралов с помощью теории вычетов. Сначала, путем замены и введения обозначения , сведем интеграл (10) к видугде:
Интегралы такого типа вычисляются как вычет в бесконечно удаленной точке [11]:, .
Интеграл для мнимой части элементарно вычисляется, если переписать
какОчевидно, что при
имеем , и . Таким образом, искомый интеграл представляет собой чисто вещественную величину.Для нахождения значения оставшегося интеграла с помощью простых тригонометрических преобразований перепишем функцию
в видеи найдем ее производную по переменной
:С учетом этого очевидно, что
Отсюда можно записать, что
,
но при доказываемое тождество прямо вытекает из каузального решения. Таким образом тождество доказано в случае наличия поглощения.
Авторы:
Якубов Владимир Петрович, е-mail: yvlp@ic.tsu.ru;
Лосев Дмитрий Витальевич,
Томский государственный
университет