Описан метод, позволяющий классифицировать на одной фрактальной плоскости стационарные, нестационарные и квазипериодические сигналы. Представлены результаты моделирования сложных сигналов и измерения их характеристик с помощью специальных порядковых шкал, построенных на базе предложенного метода.

1. Теоретические основы (R/R) – метода

Для того, чтобы иметь возможность сравнивать фрактальные свойства различных природных процессов, таких, как сток рек, отложение ила или рост колец деревьев, Херст [1] использовал при анализе временных рядов наблюдений безразмерный показатель в виде отношения размаха (R) накопленного отклонения от среднего к среднеквадратическому отклонению (S) – (R/S) метод.

где: a – некоторая постоянная, N – текущее значение объема выборки, Н – показатель Херста, принимающий значения от 0 до 1.

Классификационные свойства фрактального показателя Н в методе Херста-Мандельброта иллюстрирует рис.1, на котором прямыми линиями изображены границы особых областей фрактальной плоскости, образованной координатами: X=LOG(R/S), Y=LOG(N). Процессы, фрактальные линии которых расположены в области, где 0<H<0.5, называются антиперсистентными (пунктирная линия В) и для них характерна знакопеременная тенденция в сочетании с относительно высоким уровнем зашумленности. Процессы, фрактальные линии которых расположены в области, где 0.5<H<1, называются персистентными (пунктирная линия F) и для них характерно сохранение наблюдаемой тенденции в сочетании с относительно низким уровнем зашумленности. При H=0.5 имеют место процессы, в которых тренд отсутствует, а степень зашумленности определяется факторами, которые нельзя учесть в методе Херста-Мандельброта. В частности, фрактальные линии всех стационарных сигналов вырождаются в прямую с H=0.5 и, таким образом, никак не разделяются.

Рис.1. Фрактальная плоскость (R/S) метода с примерами фрактальных линий персистентного (F) и антиперсистентного (В) процессов

Рис.2. Типовые реализации фрактальных временных рядов наблюдений c H=0.1; H=0.5; H=0.9 и белого шума с нормальным распределением

Суть предложения сводится к тому, чтобы исследовать свойства особых фрактальных (R/R) функций, представляющих собой зависимости квадрата отношения размаха накопленного отклонения от среднего к размаху отклонения от среднего, от времени наблюдения (объема выборки) N:

где: A, B, C – коэффициенты, зависящие от типа исследуемого процесса.

Задача исследований сводится, таким образом, к установлению логической связи между совокупностью численных оценок классификационных параметров A, B и С модели (3) и интегрированной, качественной характеристикой процесса, выраженной, например, в виде собственного имени этого процесса.

Методика измерения стационарных случайных сигналов заключалась в следующем. С помощью программных генераторов формировались выборки случайных чисел. От каждого генератора анализировалось по L – реализаций, объема N. Для каждой реализации вычислялась фрактальная (R/R) функция и оценивались параметры A, B и С ее степенной модели (3). Эти параметры усреднялись по числу реализаций, в результате чего формировались индивидуальные модельные коэффициенты, которые сопоставлялись с именем соответствующего программного генератора. В свою очередь, имя генератора совпадало с именем распределения вероятности, которому подчинялись случайные числа, извлекаемые из этого генератора.

                                            а)                                                               б)

Рис.3. Фрактальные (R/R) функции стационарных случайных сигналов с различными распределениями вероятности (а – 2МОД, АРКС и РАВН; б – СИМП, РЕЛЕ и НОРМ; в – ЛЭКС, ЭКСП и КОШИ)

Вид полученных графиков четко указывает на линейный характер фрактальных функций (R/R)=f(N), по крайней мере в пределах рассматриваемого диапазона объемов выборки N=400. Естественно, что в данных условиях, в качестве упорядочивающего идентификационного параметра проще всего взять коэффициент наклона фрактальной (R/R) линии к оси абсцисс – параметр B, т.к. при этом параметр С для всех распределений будет равен 1.

По аналогии с методом виртуальных объемов параметру B можно придать физический смысл коэффициента передачи некоторой линейной электрической цепи, на входе которой действует входная величина N, а на выходе – величина, равная NF=max(R/R). Однако, в отличие от МВО, фрактальные зависимости в (R/R) методе линейны, что упрощает построение классификационной шкалы распределений.

В табл.1 представлены результаты анализа метрологических характеристик фрактальной идентификационной шкалы (ФИШ), основанной на (R/R) – методе. В качестве оцениваемых параметров были приняты: средние значения для max(R/R) и B, систематическая погрешность (абсолютная и относительная) модели и случайная погрешность (абсолютная и относительная) для коэффициента B при уровне доверительной вероятности 95%.

Случайная погрешность, составляющая » 25%, на порядок и более превышает систематическую погрешность (1.6%). Поэтому можно округлить до целых значений оценки для max(R/R) и использовать эти оценки в качестве "оцифрованных" отметок шкалы при работе с постоянным объемом выборки N=400. Если же измерения предполагается вести в условиях, когда объем выборки может варьироваться, то рекомендуется использовать шкалу, оцифрованную в значениях углового коэффициента B (табл.2).

 Как и ожидалось, полученная ФИШ имеет обратную к шкале МВО упорядоченность имен распределений вероятности. Таким образом, для стационарных сигналов степенная модель переходит в линейную (параметр С модели равен 1), а разделение сигналов осуществляется с помощью коэффициента B, характеризующего упорядоченную систему распределений вероятностей. 

3. Результаты измерения (R/R) методом смеси периодического и стационарного случайного сигналов 

Методология исследований основывается на измерении отклонений показаний по фрактальной шкале (R/R) метода в зависимости от отношения сигнал-шум аддитивной смеси детерминированного периодического сигнала и стационарного шума с нормальным распределеним. В данном случае под отношением сигнал-шум (ОСШ) понимается отношение мощностей периодического и стационарного случайного сигналов.

Представленные на рис.4 и 5 графики, иллюстрируют характерное поведение (R/R)-функции при изменении отношения сигнал-шум, когда длительность интервала наблюдения не превышает половины периода детерминированного сигнала. В табл.3 приведены численные оценки коэффициентов A, B, C степенной модели для данного случая.

Основной вывод, который следует из сравнительного анализа результатов моделирования, заключается в том, что наличие трендовых компонент в исследуемом сигнале идентифицируется в (R/R) методе увеличением значения показателя степени С модели с 1 – для малых значений ОСШ, до примерно 2 – для ОСШ, равного 1. Таким образом, (R/R) метод может быть использован для выявления эффектов нестационарности исследуемых сигналов.

Корреляция роста фрактального показателя С и ОСШ наблюдается для всех исследованных смесей, кроме тех, в которых случайная компонента имеет распределение (табл.2), КОШИ.

Особенность фрактальных (R/R)-линий для периодических сигналов, когда длительность интервала наблюдения превышает период детерминированной составляющей, заключается в наличии уровня ограничения. Это непосредственно сказывается на значении фрактального показателя С, который становится меньше 1.

В качестве примера на рис.6 показана фрактальная (R/R)-функция выбрки синусоидального сигнала с 3-мя периодами. Оценка значения фрактального показателя С для такого сигнала составляет 0.38.

Рис.4. Пример (R/R)-функции смеси стационарного шума с НОРМ распределением и полупериода гармонического сигнала: ОСШ=0.1

Рис.5. Пример (R/R)-функции смеси стационарного шума с НОРМ распределением и полупериода гармонического сигнала: ОСШ=0.25

Таблица 3 

Рис.6. Пример фрактальной (R/R)-функции для выборки синусоидального сигнала с 3-мя периодами

Особенность примера рис.7 состоит в том, что анализируемый сигнал 99 моделирует шум морского прибоя. Этот шум содержит периодическую компоненту, связанную с движением волн. Поскольку период наката волн на берег непостоянен, фрактальная линия на рис.7, б размыта. Однако, среднее значение фрактальной траектории совершенно четко указывает на сублинейный (С<1, C = 0.23) характер имеющихся вариаций, сигнализируя о наличии фрактальной периодической закономерности.

В частности, для примера с сигналом 99 оценка времени наблюдения, при которой фрактальный показатель С достигает максимума, равного 3.23, полученная методом последовательных приближений, составила Nt = 117 отсчетов. Другой метод вычисления оценки Nt длительности скрытого периода состоит в совместном решении системы уравнений, определяющей равенство угловых коэффициентов хорды и касательной фрактальной (R/R) функции:

a)

б)

Рис.7. Пример сублинейной (С<1) фрактальной (R/R)-функции (б) для выборки случайного сигнала 99 (а)

Рис.8. Зависимость фрактального параметра С(k) степенной модели (R/R)-функции аддитивной смеси сигнала с шумом от числа k периодов гармонического сигнала (ОСШ=0.1)

В уравнении (4): В и С – оценки параметров модели (3), К – угловой коэффициент хорды, соединяющей начальную и конечную точки (R/R) функции, равный max(R/R)/max(N). Подстановка в (4) численных оценок параметров В=5.2; С=0.23 и К=13/400=0.03, дает: Nt=120. Следовательно, оба метода вычисления скрытой периодичности дают близкие результаты.

Таким образом, параметр С степенной модели (R/R) фрактальных линий служит переключателем типа исследуемого процесса следующим образом. При С=1 имеет место стационарный шум, фрактальные линии которого линейны, а вид распределения вероятностей идентифицируется коэффициентом наклона этих линий к оси абсцисс. Если С>1, значит во входном сигнале присутствует трендовая компонента. Когда С<1, фрактальные линии имеют уровень насыщения, а сигнал, соответственно, содержит явные или скрытые периодические составляющие. Эти составляющие могут быть оценены даже при малых уровнях отношения сигнал-шум, используя "резонансный" характер зависимости фрактального показателя С от соотношения длительности скрытого периода и времени наблюдения.

http//www.omgtu.omskelecom.ru/~lab308 – страница лаборатории Интеллектуальных систем измерения, контроля и диагностики при кафедре "Информационно-измерительная техника".

1. Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 254 с.
2. Кликушин Ю.Н. Фрактальные идентификационные шкалы// Рук.депон. в ВИНИТИ, №3870-В98, Омский гос.техн. университет, Омск, 1998, 16 c.
3. Кликушин Ю.Н. Фрактальная шкала для измерения формы распределения вероятности// Интернет публикация – Журнал Радиоэлектроники, № 3, 2000. – http//jre.cplire.ru/jre/mar00/2/text.html

Автор: Кликушин Юрий Николаевич, доцент кафедры Информационно-измерительная техника" Омского государственного технического университета
Адрес: 644050, Омск-50, пр.Мира, 11, ОмГТУ
E-mail: lab308@omgtu.omskelecom.ru

оглавление

дискуссия