Асимптотика
электромагнитного поля в
окрестности ребра в волноводе
А.Н. Боголюбов, А.Л.
Делицын, И.Е. Могилевский, А.Г.
Свешников
Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова
Получена 11 апреля 2000 г.
Исследуется
вопрос о поведении
электромагнитного поля в
окрестности ребра в волноводе на
основе метода, впервые
предложенного В.А. Кондратьевым.
Выписывается явный вид решения
спектральной задачи в окрестности
ребра, где поперечное сечение
волновода совпадает с сектором.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ. Проект № 00-01-00111.
Как известно, при расчете
электромагнитного поля в
волноводах существенные трудности
возникают при наличии ребер на
граничной поверхности волновода.
Существование угловых точек
контура сечения волновода приводит
к особенностям в решениях краевых
задач. В частности, обобщенное
решение задачи может не
принадлежать классу H2
даже при гладкой правой части. В
работе [1] показано, что при наличии
ребер у волновода в решении для
магнитного вектора Герца
появляется добавочный член,
учитывающий влияние угловой линии
и имеющий логарифмическую
особенность на ребре. Применение
численных методов для расчета
подобных волноводов существенно
осложнено. Использование
проекционных методов, например
метода конечных элементов,
оказывается значительно менее
эффективным в связи с резким
уменьшением скорости сходимости по
сравнению со случаем волноводов с
гладкой границей [2-4]. Поскольку
решение уже не обязательно
является гладким, то не удается
получить высокий порядок его
аппроксимации (например, в классе
полиномов высокого порядка). Одним
из способов улучшения
эффективности метода конечных
элементов является выделение
особенностей решения в явном виде.
Вопрос об асимптотике решения
эллиптических краевых задач в
целом решен в работах [5,6].
Дифференциальные свойства точных
решений краевых задач и оценки
сходимости приближенных решений к
точным для уравнений Лапласа и
Пуассона на многоугольниках
установлены в работах [7-10].
Настоящая работа посвящена
применению метода, предложенного
впервые в работе Кондратьева В.А., к
спектральным задачам расчета
электромагнитного поля в
волноводах.
Пусть электромагнитное
поле зависит от времени через
множитель e-iwt, а волновод
представляет собой цилиндр Q = {(x,y)
О W, z О (-Ґ,Ґ)}, граница
области W содержит угловую точку O с
углом произвольной величины.
Дальнейшее изложение также
применимо, если на границе W находится
конечное число угловых точек.
Предполагается, что вне некоторой
окрестности угловой точки граница
области W гладкая. Считаем, что
магнитная проницемость внутри
волновода m є 1, а диэлектрическая
проницаемость e(x,y) вещественная и
имеет ограниченные первые
производные. Система уравнений
Максвелла после сокращения на
временной множитель e-iwt
примет вид:
Будем искать однородные
решения системы уравнений
Максвелла с зависимостью от z
вида:
E
= |
n
е
k = 1 |
|
zn-k
(n-k)!
|
Ek
eibz,
H = |
n
е
k = 1 |
|
zn-k
(n-k)!
|
Hk
eibz. |
|
Аналогично тому, как это
сделано в [11,12] при указанных
условиях на e и m, получается система уравнений
для собственных векторов компонент
поля {H^,Ez} и собственных
значений b2
|
м
п
н
п
о |
|
- С2 H^ + ik rot eEz
-ikerot Ez
- k2eH^ = -b2 H^ |
|
- ik rot eH^ -div egrad Ez
= -b2 eEz |
|
|
|
|
(1) |
Hn |¶W\O = 0, Ez|¶W\O = 0, |
|
(2) |
где использованы
обозначения
|
div H^ = |
¶Hx
¶x
|
+ |
¶Hy
¶y
|
, |
|
rot H^ = |
¶Hy
¶x
|
- |
¶Hx
¶y
|
, |
|
grad Ez
= ix |
¶Ez
¶x
|
+iy |
¶Ez
¶y
|
, |
|
rot Ez
= ix |
¶Ez
¶y
|
- iy |
¶Ez
¶x
|
, |
|
|
|
|
или в случае
цилиндрических координат
|
div H^ = |
1
r
|
|
¶
¶r
|
(rHr
)+ |
1
r
|
|
¶Hj
¶j
|
, |
|
rot H^ = |
1
r
|
|
¶
¶r
|
(rHj )- |
1
r
|
|
¶Hr
¶j
|
, |
|
grad Ez
= ir |
¶Ez
¶r
|
+ ij |
1
r
|
|
¶Ez
¶j
|
, |
|
rot Ez
= ir |
1
r
|
|
¶Ez
¶j
|
- ij |
¶Ez
¶r
|
. |
|
|
|
|
Воспользуемся уравнением
rot H = -ikeE для получения
дополнительного граничного
условия. Вблизи границы ¶W\O введем
систему координат на векторах { n, t}. Тогда в
этой системе
rot
H^ = |
¶Hn
¶t
|
- |
¶Ht
¶n
|
= -ikeEz |
|
так как Hn |¶W\O = 0 и Ez |¶W\O = 0 , то отсюда вытекает условие
Для определения поля в
угловой точке воспользуемся
условием Мейкснера [13-14]: поток
энергии через любую поверхность,
охватывающую ребро, стремится к
нулю при стягивании этой
поверхности к ребру
|
lim
r® 0 |
|
м
н
о |
1
2
|
Re |
у
(з)
х
lr |
|
[E,H*]ndl |
ь
э
ю |
= 0 |
|
(интеграл по поверхности
заменен интегралом по контуру в
силу зависимости поля от
координаты z через множитель eibz).
Рассмотрим обобщенную
постановку задачи (1)-(3). Аналогично [11,12]
введем билинейные формы
|
a(A, |
~
A
|
) = (СH^,С |
~
H
|
^ |
)L2(W)+ (egrad Ez,grad |
~
E
|
z |
)L2(W)- |
|
-k2(eH^, |
~
H
|
^ |
)L2(W)- ik(erot Ez, |
~
H
|
^ |
)L2(W)- ik(eH^,rot |
~
E
|
z |
)L2(W) |
|
|
|
|
c(A, |
~
A
|
) = (H^, |
~
H
|
^ |
)L2(W)+
(eEz, |
~
E
|
z |
)L2(W) |
|
Будем искать A = {Hx,Hy,Ez
} О (H1(W))3 и
комплексные b2, удовлетворяющие
уравнению
|
a(A, |
~
A
|
) = b2 c(A, |
~
A
|
), " |
~
A
|
= |
м
н
о |
~
H
|
x |
, |
~
H
|
y |
, |
~
E
|
z |
ь
э
ю |
О (H1(W))3, |
~
H
|
n |
|¶W = 0, |
~
E
|
z |
|¶W = 0, |
|
|
|
|
|
Билинейная форма a(A, |
A |
) удовлетворяет
условию коэрцитивности |
Re
a(A,A)+l0
c(A,A) і C||A||2(H1(W))3 , |
|
где l0 > max(x,y) О W e(x,y),
C - константа.
По теореме Лакса-Мильграма
существует единственное
обобщенное решение A = {Hx,
Hy, Ez } О (H1(W))3
краевой задачи
|
a(A, |
~
A
|
) = (F, |
~
A
|
) " |
~
A
|
= |
м
н
о |
~
H
|
x |
, |
~
H
|
y |
, |
~
E
|
z |
ь
э
ю |
О (H1(W))3, |
|
|
~
H
|
n |
|¶W = 0, |
~
E
|
z |
|¶W = 0, |
|
|
|
|
(4) |
удовлетворяющее
граничным условиям (2)-(3) для любого F
= {fx,fy,fz
} О (L2(W))3.
Кроме того, при достаточно гладком e для
декартовых компонент A и F
справедлива
Теорема [15] Пусть A
= {Hx,Hy,Ez
} О (H1(W))3 - обобщенное
решение задачи (4), причем F
= {fx,fy,fz
} О (Hl(Wd))3, l і 0,
целое, Wd = W\Bd, Bd - шар радиуса d, d -
любое положительное число. Тогда A
= {Hx,Hy,Ez
} О (Hl+2(W2d))3
и выполнено неравенство
||A||(Hl+2(W2d))3 Ј C2d( ||A||(H1(Wd))3+ ||F||(Hl(W))3). |
|
Если F = b2A, то
применяя данную теорему
многократно (при достаточно
гладкой e), получим, что A О (Hl(Wd))3
для любого фиксированного l, то
есть решение является гладким на
удалении от угловой точки.
Перейдем в системе (1) к
полярным координатам с центром в
угловой точке. При использовании
полярных координат норма || ·||H1(W)
для скалярной функции принимает
вид
||u||2H1(W) = |
у
х
W |
{|Сu|2+
|u|2}dS
= |
у
х
W |
|
м
н
о |
к
к
к |
¶u
¶r
|
к
к
к |
2 |
+ |
1
r2
|
|
к
к
к |
¶u
¶j
|
к
к
к |
2 |
+|u|2 |
ь
э
ю |
dS, |
|
а для вектор-функции
||B||2H1(W) = |
у
х
W |
{|СB|2+
|B|2}dS
= |
у
х
W |
|
м
н
о |
к
к
к |
¶Br
¶r
|
к
к
к |
2 |
+ |
к
к
к |
¶Bj
¶r
|
к
к
к |
2 |
+ |
к
к
к |
¶Bz
¶r
|
к
к
к |
2 |
+ |
|
+ |
1
r2
|
|
к
к
к |
¶Br
¶j
|
-Bj |
к
к
к |
2 |
+ |
1
r2
|
|
к
к
к |
Br+ |
¶Bj
¶j
|
к
к
к |
2 |
+ |
1
r2
|
к
к
к |
¶Bz
¶j
|
к
к
к |
2 |
+ |Br|2+|Bj|2+|Bz|2 |
ь
э
ю |
dS. |
|
Поэтому из
принадлежности A^ = { Hx,Hy
} О (H1(W))2,
вообще говоря, не следует A^ = {Hr,Hj} О (H1(W))2.
Поскольку A = {Hx,Hy,Ez
} О (H1(W))3,
то каждая из компонент A в
полярных координатах {Hr,Hj,Ez
} принадлежит L2(W). Кроме
того, rot eH^ О L2(W), поскольку это
скалярная величина. Так как Ez
О H1(W), то |СEz|2 = |¶Ez/¶r|2+[1/r2]|¶Ez/¶j|2 -
интегрируемая функция, отсюда
вытекает, что |rot Ez
|2 = |¶Ez/¶r|2+[1/r2]|¶Ez/¶j|2 -
также интегрируемая функция, то
есть rot Ez О (L2(W))2.
Перенося в правую часть все
неглавные члены и обозначая их
сумму опять F, получим систему
уравнений:
|
м
п
п
п
п
п
п
п
п
н
п
п
п
п
п
п
п
п
о |
|
¶2 Hr
¶r2
|
+ |
1
r
|
|
¶Hr
¶r
|
- |
2
r2
|
|
¶Hj
¶j
|
+ |
1
r2
|
|
¶2 Hr
¶j2
|
- |
1
r2
|
Hr
= fr |
|
|
¶2 Hj
¶r2
|
+ |
1
r
|
|
¶Hj
¶r
|
+ |
2
r2
|
|
¶Hr
¶j
|
+ |
1
r2
|
|
¶2 Hj
¶j2
|
- |
1
r2
|
Hj = fj |
|
|
¶2 Ez
¶r2
|
+ |
1
r
|
|
¶Ez
¶r
|
+ |
1
r2
|
|
¶2 Ez
¶j2
|
= fz |
|
|
|
|
(5) |
Рассмотрим сначала эту
систему в случае, когда W = K -
бесконечный сектор угла w0.
Тогда граничные условия примут вид:
Hj |¶K\O = 0,
Ez |¶K\O
= 0, |
¶Hr
¶j
|
к
к
к |
¶K\O
|
= 0. |
|
Следуя [5,6], введем
пространство Vlg(K)
с нормой
||u||2Vlg(K) = |
е
j+k Ј l |
|
у
х
K |
r2(g-l+j) |
к
к
к |
¶j+k
u
¶rj ¶jk
|
к
к
к |
2 |
r
dr dj, |
|
l і 0 целое, g - любое число. Рассмотрим
систему (5) при правой части F = {fr,
fj, fz} О (Vlg(K))3.
Случаю F = {fx, fy,
fz} О (L2(K))3
соответствует {fr, fj, fz}
О (V00(K))3.
Следуя [5,6], сделаем замену
переменных t = ln[1/r]. Сектор K
перейдет в полосу Х = {t О (-Ґ,Ґ), 0 Ј j Ј w0}.
Система (5) примет вид:
|
м
п
п
п
п
п
п
п
п
н
п
п
п
п
п
п
п
п
о |
|
¶2 Hr
¶t2
|
-2 |
¶Hj
¶j
|
+ |
¶2 Hr
¶j2
|
-Hr
= fr e-2t є Fr |
|
|
¶2 Hj
¶t2
|
+2 |
¶Hr
¶j
|
+ |
¶2 Hj
¶j2
|
-Hj = fj e-2t є Fj |
|
|
¶2 Ez
¶t2
|
+ |
¶2 Ez
¶j2
|
= fz
e-2t є Fz |
|
|
|
|
Сделаем преобразование
Фурье по t
|
^
A
|
= |
1
|
|
Ґ
у
х
-Ґ |
A(t,j)e-iltdt, |
^
F
|
= |
1
|
|
Ґ
у
х
-Ґ |
F(t,j)e-iltdt |
|
Система преобразуется в
следующую
|
м
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
н
п
п
п
п
п
п
п
п
п
о |
-l2 |
^
H
|
r |
-2 |
¶j
|
+ |
¶j2
|
- |
^
H
|
r |
= |
^
F
|
r |
|
|
-l2 |
^
H
|
j |
+2 |
¶j
|
+ |
¶j2
|
- |
^
H
|
j |
= |
^
F
|
j |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
^
E
|
z |
|j = 0 = |
^
E
|
z |
|j = w0 = 0 |
|
|
^
H
|
j |
|j = 0 = |
^
H
|
j |
|j = w0 = 0 |
|
|
|
¶j
|
к
к
к
к
к |
j = 0
|
= |
¶j
|
к
к
к
к
к |
j = w0
|
= 0. |
|
(7) |
Принадлежность fi
О Vlg(K)
(i = {r,j,z }) означает
ограниченность интегралов
|
у
х
Х |
|
к
к
к |
¶i1+i2 Fi
¶ti1¶ji2
|
к
к
к |
2 |
e-2(g-l-1)t dtdj Ј C||fi||2Vlg(K), i1+i2 Ј l |
|
(8) |
Для Фурье образа на
основании теоремы Планшереля
вытекает неравенство
|
l
е
k = 0 |
|
Ґ+ih
у
х
-Ґ+ih |
|l|2k
|| |
^
F
|
i |
||2Hl-k(0,w0)dl Ј C||fi||2Vlg(K), h = -g+l+1 |
|
(9) |
Фурье образ определен на R+ih,
поскольку квадраты производных Fi
интегрируемы с весом e-2(g-l-1)t.
Домножим уравнения системы (6) на
функции
yr
= cos |
pn
w0
|
j, yj = sin |
pn
w0
|
j, yz
= sin |
pn
w0
|
j, n =
0,1,2,... |
|
и проинтегрируем по j от 0 до w0.
Построим резольвенту
R(l):
( |
^
H
|
r , |
^
H
|
j , |
^
E
|
z , |
)T |
= |
R(l) ( |
^
F
|
r , |
^
F
|
j , |
^
F
|
z , |
)T |
|
|
= - |
2
w0
|
|
Ґ
е
n = 0 |
|
1
(1+dn0)
|
|
м
п
п
п
п
н
п
п
п
п
о |
|
|
й
к
л |
l2+ |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц
ч
ш |
2 |
+1 |
щ
ъ
ы |
|
^
F
|
c
rn |
(l) |
|
й
к
л |
l2+ |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц 2
ч
ш |
+1 |
щ
ъ
ы |
2 |
-4 |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц
ч
ш |
2 |
|
|
- |
|
й
к
л |
l2+ |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц
ч
ш |
2 |
+1 |
щ
ъ
ы |
2 |
-4 |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц
ч
ш |
2 |
|
|
ь
п
п
п
п
э
п
п
п
п
ю |
cos |
pn
w0
|
j |
|
|
^
H
|
j |
(l,j) = - |
2
w0
|
|
Ґ
е
n = 1 |
|
м
п
п
п
п
н
п
п
п
п
о |
|
|
й
к
л |
l2+ |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц
ч
ш |
2 |
+1 |
щ
ъ
ы |
|
^
F
|
s
jn |
(l) |
|
й
к
л |
l2+ |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц
ч
ш |
2 |
+1 |
щ
ъ
ы |
2 |
-4 |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц
ч
ш |
2 |
|
|
- |
|
й
к
л |
l2+ |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц
ч
ш |
2 |
+1 |
щ
ъ
ы |
2 |
-4 |
ж
з
и |
pn
w0
|
ц
ч
ш |
2 |
|
|
ь
п
п
п
п
э
п
п
п
п
ю |
sin |
pn
w0
|
j |
|
|
^
E
|
z |
(l,j) = - |
2
w0
|
|
Ґ
е
n = 1 |
|
|
sin |
pn
w0
|
j, |
|
где |
^
F
|
s
in |
(l) = |
w0
у
х
0 |
|
^
F
|
i |
(l,j) sin |
pn
w0
|
jdj, |
^
F
|
c
in |
(l) = |
w0
у
х
0 |
|
^
F
|
i |
(l,j) cos |
pn
w0
|
jdj. |
|
|
|
|
Полюсы резольвенты
l1,2 = ±i |
pn
w0
|
, n
= 1,2,..., l3,4,5,6
= ±i |
ж
з
и |
pn
w0
|
±1 |
ц
ч
ш |
, n
= 0,1,2,... |
|
Если на
прямой Iml = -g+l+1 нет полюсов R(l), для
A(l,j) = R(l) |
^
F
|
(l,j)
справедливо |
неравенство
|
l+2
е
k = 0 |
|
Ґ+ih
у
х
-Ґ+ih |
|l|2k || |
^
A
|
||2Hl+2-k(0,w0)dl Ј C||f||2Vlg(K), h = -g+l+1, |
|
интеграл
A(t,j) = |
1
|
|
Ґ+ih
у
х
-Ґ+ih |
R(l) |
^
F
|
(l,j)eiltdl |
|
сходится и определяет
вектор-функцию A(t,j), для которой
справедлива оценка (8) с i1+i2 Ј l+2.
Возвращаясь к переменным (r,j), получим
решение системы (5), принадлежащее пространству Vl+2g(K). Таким образом,
справедлива следующая
Теорема 1 Пусть f
= {fr, fj, fz}
О (Vlg(K))3,
l+1-g № ±[pn/w0], l+1-g № ±([pn/w0]±1).
Тогда существует единственное
решение {Hr,Hj,Ez}
О (Vl+2g(K))3,
при этом ||{Hr,Hj,Ez}||(Vl+2g(K))3 Ј С ||{fr,fj,fz}||(Vlg(K))3.
Поскольку уравнения
системы (5) для H^ и Ez не связаны в
главной части, то H^ и Ez
могут принадлежать пространствам Vgl(K)
с разными индексами g.
Пусть теперь f(r,j) = {fr,fj,fz}
О (Vlg1(K)ЗVlg2(K))3, g1 > g2, на
прямых h1 = -g1+l+1,
h2 = -g2+l+1 нет полюсов функции
|
R(l) |
^
F
|
(l,j). В силу неравенства
|
|
е
i1+i2
Ј l |
|
у
х
Х |
|
к
к
к |
¶i1+i2 Fi
¶ti1¶ji2
|
к
к
к |
2 |
e2ht dtdj
< Ґ, i = {r,j,z}, |
|
каждая |
^
Fi
|
(l,j) |
аналитическая
функция в полосе h1 Ј Iml Ј h2,
а |
R(l) |
^
F
|
(l,j) |
мероморфная вектор-функция.
Применяя теорему о
вычетах для прямоугольного контура,
ограниченного прямыми Iml = h1,
Iml = h2 и Re l = ±N, и
переходя к пределу при N®Ґ,
получаем представление
A(t,j) = |
1
|
|
у
х |
Ґ+ih2
-Ґ+ih2
|
eiltR(l) |
^
F
|
(l,j)dl+ |
Ц
|
2p
|
i |
е
h1 < Im ln
< h2 |
Res
eilntR(l) |
^
F
|
(l,j) = |
|
= W(t,j)+ |
Ц
|
2p
|
i |
е
h1 < Im ln
< h2 |
Res
eilntR(l) |
^
F
|
(l,j),
где W(t,j) =
{Wr,Wj,Wz} О (Vlg2(П))3 |
|
Выпишем значения вычетов
в точках h1 < Im ln
< h2
ln
= i |
ж
з
и |
pn
w0
|
+1 |
ц
ч
ш |
, H^n(1)(r,j) =
- |
( f^, U(1)^,-n)K
2(pn+w0)
|
r[pn/w0]+1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
|
|
где U^,-n(1)
= r-([pn/w0]+1) |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
, f^ = {fr,fj} |
|
ln
= i |
ж
з
и |
pn
w0
|
-1 |
ц
ч
ш |
, H^n(2)(r,j) =
- |
(f^, U(2)^,-n)K
2(pn-w0)
|
r[pn/w0]-1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
|
|
где U^,-n(2)
= r-([pn/w0]-1) |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
, |
|
ln
= i |
pn
w0
|
, Ez(r,j) =
- |
(fz,
U-n)K
pn
|
r[pn/w0]sin |
pn
w0
|
j, где
U-n = r-[pn/w0] sin |
pn
w0
|
j. |
|
Отсюда вытекает
справедливость следующей теоремы
Теорема 2 Пусть f(r,j) = {fr,fj,fz}
О (Vlg1(K)ЗVlg2(K))3, g1 > g2, на
прямых h1 = -g1+l+1, h2 = -g2+l+1 нет полюсов резольвенты.
Тогда для решения в любой конечной
окрестности угловой точки
справедливо следующее
представление
|
H^(r,j) = |
е
h1
< [pn/w0]+1
< h2 |
A(1)n
r[pn/w0]+1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+ |
|
+ |
е
h1
< [pn/w0]-1 < h2 |
A(2)n
r[pn/w0]-1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+ W^(r,j) |
|
Ez(r,j) = |
е
h1
< [pn/w0]
< h2 |
An(z)
r[pn/w0]
sin |
pn
w0
|
j+Wz(r,j), |
|
|
|
|
(10) |
где An(1),
An(2), An(z)
- постоянные, определяемые
равенствами
An(1)
= - |
( f^, U(1)^,-n)K
2(pn+w0)
|
, An(2)
= - |
(f^, U(2)^,-n)K
2(pn-w0)
|
, An(z)
= - |
(fz,
U-n)K
pn
|
|
|
W^(r,j) О (Vg2l+2(K))2, Wz(r,j) О Vg2l+2(K).
Рассмотрим задачу (5) с
правой частью вида
|
f^ = U^, n,k(j)(r,j) k = -1,0,1,2,..., n
= -1,0,1,2,..., j =
1,2 |
|
fz
= Un,k(r,j) k = 0,1,2,..., n
= -1,1,2,... |
|
|
|
|
где
|
U^, n,k(1)(r,j) = r[pn/w0]+k |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
|
|
U^, n,k(2)(r,j) = r[pn/w0]+k |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
|
|
Un,k(r,j) = r[pn/w0]+k
sin |
pn
w0
|
j |
|
|
|
|
Прямой проверкой можно
убедиться, что вектора
|
|
1
|
r[pn/w0]+k+2 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
|
|
|
1
|
r[pn/w0]+k+2 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
|
|
|
|
|
удовлетворяют первым
двум уравнениям системы (5) с правыми
частями r[pn/w0]+k {cos[pn/w0]j, sin[pn/w0]j}, r[pn/w0]+k {cos[pn/w0]j, -sin[pn/w0]j}
соответственно, а функция [1/((k+2)2+2(k+2)[pn/w0])]r[pn/w0]+k+2 sin[pn/w0]j
удовлетворяет третьему уравнению
системы (5) с правой частью r[pn/w0]+ksin[pn/w0]j.
Вернемся к случаю
конечной области W. Пусть начало
координат O принадлежит ¶W, вне
любой окрестности точки O
контур ¶W гладкий, а в круге Bd
= {(r,j):0 < r < d, j О [0,2p]} область W совпадает
с сектором K. Пусть пока правая
часть f О CҐ([`(W)]). Система уравнений (1) с
граничными условиями (2), (3) при заданной
правой части имеет единственное
решение A = {Hx,Hy,Ez}
О (H1(W))3 в
силу единственности решения задачи
(4).
Следуя [6], введем срезающую функцию c(r) О CҐ [0,d),
и рассмотрим вектор-функцию
cA.
Далее понадобится
Лемма ([5], Лемма 4.4) Если
функция f(x), определенная
при x і 0, обращается в нуль при достаточно
больших x и такова, что
|
Ґ
у
х
0 |
xa|fў(x)|2
dx < Ґ (a
> 1), |
|
то
|
Ґ
у
х
0 |
xa-2|f(x)|2
dx Ј |
4
(1-a)2
|
|
Ґ
у
х
0 |
xa|fў(x)|2
dx. |
|
Из леммы вытекает оценка
для cA
= {cHr,cHj,cEz}
|
||cA||2(H1(W))3 і |
у
х
K |
|С(cA)|2 dx
і C |
у
х
K |
|С(cA)|2 r2b dx і |
|
і C |
w0
у
х
0 |
dj |
Ґ
у
х
0 |
|
к
к
к |
¶
¶r
|
(cA) |
к
к
к |
2 |
r2b+1 dr і C(a) |
w0
у
х
0 |
dj |
Ґ
у
х
0 |
|cA|2 r2b-1 dr = |
|
= C(a) |
у
х
K |
|cA|2 r2b-2 dx |
|
|
|
|
Таким образом, cA О (Vb1(K))3.
Кроме того, cA - решение задачи
|
м
п
п
п
н
п
п
п
о |
|
|
cHn |¶K = 0, |
¶(cHt)
¶n
|
к
к
к |
¶K
|
= 0, cEz|¶K = 0, |
|
|
|
|
(11) |
где
|
[С2,c]H^ = С2(cH^)-cС2 H^ = 2СcСH^+H^С2c = |
|
= 2 |
¶c
¶r
|
|
¶H^
¶r
|
+ H^ |
1
r
|
|
¶
¶r
|
|
ж
з
и |
r |
¶c
¶r
|
ц
ч
ш |
, |
|
[D,c]Ez
= D(cEz)-cDEz
= 2СcСEz+EzDc = 2 |
¶c
¶r
|
|
¶Ez
¶r
|
+ Ez |
1
r
|
|
¶
¶r
|
|
ж
з
и |
r |
¶c
¶r
|
ц
ч
ш |
. |
|
|
|
|
Поскольку между прямыми Im
l = h1
= 0 и Im l = h2 = -b (b мало) нет
полюсов резольвенты, то cA О (V01(K))3.
Рассмотрим задачу (11) для вектор-функции
B(r,j). В силу теоремы 1 существует
единственное решение B = {Br,
Bj, Bz} О (Vl+2l+1(K))3.
cA
О (V01(K))3,
B О (Vl+1l+2)3
М (V01(K))3
- решения задачи с однородными
граничными условиями и одинаковой
правой частью, поэтому cA = B .
Отсюда вытекает, что A = {Hr,
Hj, Ez} О (Vl+2l+1(W))3.
Кроме того, из теоремы 1 следует оценка
||{Hr,
Hj, Ez}||(Vl+2l+1(W))3 Ј C||{fr,
fj, fz}||(Vll+1(W))3 |
|
(12) |
Аналогично тому, как это
было проделано в [6], заключаем, что
поскольку множество CҐ`(W) плотно в
пространстве Vlg(W), то
справедлива
Теорема 3 Пусть f
О Vlg(W), g < l+1.
Тогда существует единственное
решение A = {Hr,
Hj, Ez} О (Vl+2l+1(W))3
задачи (11) и верна оценка (12).
Пусть на прямых Im l = h1
= 0 и Im l = h2 = -g+l+1 > 0 нет
полюсов резольвенты. Применяя
теорему 2 к вектор-функции Aў = cA,
получаем следующее представление
решения
|
H^(r,j) = c(r) |
е
0 < [pn/w0]+1 < l-g+1 |
C(1)n
r[pn/w0]+1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+ |
|
+c(r) |
е
0 < [pn/w0]-1 < l-g+1 |
C(2)n
r[pn/w0]-1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+W^(r,j) |
|
Ez(r,j) = c(r) |
е
0 < [pn/w0] < l-g+1 |
C(z)n
r[pn/w0]sin |
pn
w0
|
j+ Wz(r,j), |
|
|
|
|
где W(r,j) = {Wr,Wj,Wz}
О (Vl+2g(W))3 .
Введем функции
|
h^j(1)(r,j) = c(r) r-([pj/w0]+1) |
м
н
о |
cos |
pj
w0
|
j, sin |
pj
w0
|
j |
ь
э
ю |
+Z^j(1)(r,j) j = -1,0,1,2,... |
|
h^j(2)(r,j) = c(r) r-([pj/w0]-1) |
м
н
о |
cos |
pj
w0
|
j, -sin |
pj
w0
|
j |
ь
э
ю |
+Z^j(2)(r,j) j = 1,2,... |
|
xj (r,j) = c(r) r-[pj/w0]
sin |
pj
w0
|
j+Zj
(r,j), j = 1,2,... |
|
|
|
|
где Z^j(k),
k = 1,2, Zj - решения
задач
|
м
п
п
н
п
п
о |
С2 Z^j(k)
= -[С2,c]h^j(k), |
|
Zjn(k) |¶W = 0, |
¶Zj t(k)
¶n
|
к
к
к |
¶W
|
= 0 |
|
|
|
м
н
о |
|
|
|
Используя формулу Грина и
определение h^j(k)(r,j), можно
получить
|
у
х
W |
(f^,h^j(1))dx
= |
lim
d® 0 |
|
у
х
Wd |
(f^,h^j(1))dx
= -2Cj(1)(pj+w0), |
|
где Wd = W\Bd, Bd - шар радиуса d. Отсюда
Cj(1)
= - |
(f^,h^j(1))L2(W)
2(pj+w0)
|
, j
= -1,0,1,2,... |
|
Аналогично
|
Cj(2)
= - |
(f^,h^j(2))L2(W)
2(pj-w0)
|
, j = 1,2,... |
|
Cj(z)
= - |
(fz,xj)L2(W)
pj
|
, j = 1,2,... |
|
|
|
|
Применим теорему 3 к
задаче
|
м
п
п
п
н
п
п
п
о |
|
|
Hn |¶W = 0, |
¶Ht
¶n
|
к
к
к |
¶W
|
= 0, Ez|¶W = 0, |
|
|
|
|
(13) |
где f^ О (L2(W))2 = (V00(W))2 М (Vd0
(W))2
для любого малого d, fz
О L2(W) = V00(W).
Получаем, что существует
единственное решение A = {H^, Ez
} О V12(W), которое
в силу теоремы 2 представимо в виде
|
H^(r,j) = c(r) |
е
0 < [pn/w0]+1 < 1-d |
Cn(1)
r1+[pn/w0] |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+ |
|
+c(r) |
е
0 < [pn/w0]-1 < 1-d |
Cn(2)
r[pn/w0]-1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+W^(r,j) |
|
Ez(r,j) = c(r) |
е
0 < [pn/w0] < 1 |
Cn(z)r[pn/w0]
sin |
pn
w0
|
j+ Wz
(r,j), |
|
|
|
|
(14) |
где W^(r,j) = {Wr,
Wj} О (Vd2(W))2, Wz (r,j) О V02(W). В случае
входящего угла w0 > p первая сумма для H^(r,j) содержит
лишь одно слагаемое c(r) C(1)-1
r1-[p/w0]{cos[p/w0]j,-sin[p/w0]j}. Вторая
сумма содержит или только одно
слагаемое c(r) C(2)2 r[2p/w0]-1{cos[2p/w0]j,-sin[2p/w0]j} или еще одно слагаемое c(r) C(2)3
r[3p/(w0]-1{cos[3p/w0]j,-sin[3p/w0]j} (при
условии, что w0 > 3/2 p). Сумма для Ez(r,j) содержит
только одно слагаемое c(r) C(z)1
r[p/w0]sin[p/w0]j. В случае
угла 0 < w0 < p первая сумма для H^(r,j) не
содержит ни одного слагаемого, а
вторая сумма в зависимости от
величины угла w0 может содержать одно
или несколько слагаемых, первое из
которых c(r) C(2)1 r[p/w0]-1{cos[p/w0]j,-sin[p/w0]j}. Сумма для Ez(r,j) не
содержит ни одного слагаемого, то
есть Ez(r,j) О V20(W).
Для случая, когда
диэлектрическая проницаемость e = const
при r < d (в той части
области W, которая совпадает с сектором)
и достаточно гладкая в оставшейся
части W, можно получить более
подробное представление
электромагнитного поля в
окрестности угловой точки.
Поскольку рассматривается задача
на собственные векторы и
собственные значения, то при r
< d правая часть системы (13)
примет вид:
Подставляя сюда (14),
получаем
|
f^ = c(r)(b2-k2e) |
й
к
л |
|
е
0 < [pn/w0]+1 < 1-d |
Cn(1)
r1+[pn/w0] |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+ |
|
+ |
е
0 < [pn/w0]-1 < 1-d |
Cn(2)
r[pn/w0]-1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
щ
ъ
ы |
+ W^(r,j) |
|
fz
= c(r)(b2-k2e) |
е
0 < [pn/w0] < 1 |
Cn(z)
r[pn/w0]
sin |
pn
w0
|
j+ Wz(r,j) |
|
|
|
|
где W^(r,j) О (Vd2(W))2, Wz(r,j) О V02(W).
Используя снова теорему 3 при l = 2, g = d, а также
решения задачи (5) с правой частью { U^, n,k(j)(r,j),Un,k(r,j)},
получаем
|
H^(r,j) = c(r) |
й
к
л |
|
е
0 < [pn/w0]+1 < 3-d |
Cn(1)
r1+[pn/w0] |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+ |
|
+ |
е
0 < [pn/w0]-1 < 3-d |
Cn(2)
r[pn/w0]-1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+ |
|
+ |
е
0 < [pn/w0]+1 < 1-d |
|
Cn(1)(b2-k2e)
|
r3+[pn/w0] |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
+ |
|
+ |
е
0 < [pn/w0]-1 < 1-d |
|
Cn(2)(b2-k2e)
|
r[pn/w0]+1 |
м
н
о |
cos |
pn
w0
|
j, -sin |
pn
w0
|
j |
ь
э
ю |
щ
ъ
ъ
ъ
ъ
ы |
+ W^(r,j) |
|
Ez(r,j) = c(r) |
й
к
л |
|
е
0 < [pn/w0] < 3 |
Cn(z)
r[pn/w0]
sin |
pn
w0
|
j+ |
|
+ |
е
0 < [pn/w0] < 1 |
|
Cn(z)(b2-k2e)
|
r[pn/w0]+2sin |
pn
w0
|
j |
щ
ъ
ъ
ъ
ъ
ы |
Wz(r,j) |
|
|
|
|
где W^(r,j) О (Vd4(W))2 , Wz(r,j) О V04(W).
Подставляя
полученную асимптотику в правую
часть и вновь используя теорему 3, можно
получить еще более подробное
представление решения.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Ильин В.А. Дифракция
электромагнитных волн на некоторых
неоднородностях. Диссертация на
соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук. М. 1953.
2. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л.,
Могилевский И.Е. О математическом
обосновании вариационно-разностного
подхода к численному моделированию
волноведущих систем // Вестн. МГУ.
Сер. 3. Физ., астрон. 1998. № 5. С.14.
3. Оганесян Л.А., Руховец Л.А.
Вариационно-разностные методы
решения эллиптических уравнений.
Ереван, 1979.
4. Babuska I., Guo B.Q. The h-p
Versions of the Finite Element Method for Domains with Curved
Boundaries. // SIAM J. Numer. Anal., vol.25, 4, 1988, P.837-861.
5. Кондратьев В.А. Краевые
задачи для эллиптических уравнений
в областях с коническими и угловыми
точками. // Тр. Моск. матем. о-ва. 1967. 16.
C.209-292.
6. Назаров С.А., Пламеневский
Б.А. Эллиптические задачи в
областях с кусочно-гладкой
границей. М., 1991.
7. Волков Е.А. О
дифференциальных свойствах
решений краевых задач для
уравнений Лапласа на
многоугольниках. // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. 1965. Т.77. С.113-142.
8. Волков Е.А. О границах
подобластей, весовых классах
Гельдера и решении в этих классах
уравнения Пуассона. // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. 1972. Т.117. С.75-99.
9. Волков Е.А. Приближенное
решение блочным методом уравнения
Лапласа на многоугольниках при
аналитических смешанных краевых
условиях. // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1992.
Т.201. С.165-185.
10. Волков Е.А. Быстрый
блочный метод решения уравнения
Лапласа на многоугольниках при
кусочно-постоянных граничных
условиях. // Тр. Мат. ин-та РАН. 1995. Т.210.
С.90-100.
11. Делицын А.Л. О проблеме
применения метода конечных
элементов к задаче вычисления мод
диэлектрических волноводов. // Ж.
вычисл. матем. и матем. физ. 1999. 39.
№ 2. С.315-322.
12. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л.
Новая постановка задачи расчета
мод диэлектрических волноводов
методом конечных элементов // Вестн.
МГУ. Сер. 3. Физ., астрон. 1995. 36. № 2.
C.95-98.
13. Ильинский А.С., Кравцов В.В.,
Свешников А.Г. Математические
модели электродинамики. М., 1991.
14. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г.
Дифракция электромагнитных волн на
проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные
операторы в задачах дифракции) М.,
1996.
15. Ладыженская О.А. Краевые
задачи математической физики. М., 1973.
Авторы:
Боголюбов Александр Николаевич,
Делицын Андрей Леонидович,
Могилевский Илья Ефимович, e-mail: mogilevsky@afrodita.phys.msu.su,
Свешников Алексей Георгиевич,
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.