c1.gif (954 bytes) "ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 4 , 2000

оглавление

дискуссия

c2.gif (954 bytes)

Асимптотика электромагнитного поля в окрестности ребра в волноводе

А.Н. Боголюбов, А.Л. Делицын, И.Е. Могилевский, А.Г. Свешников

Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова

Получена 11 апреля 2000 г.

Исследуется вопрос о поведении электромагнитного поля в окрестности ребра в волноводе на основе метода, впервые предложенного В.А. Кондратьевым. Выписывается явный вид решения спектральной задачи в окрестности ребра, где поперечное сечение волновода совпадает с сектором.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ. Проект № 00-01-00111.

Как известно, при расчете электромагнитного поля в волноводах существенные трудности возникают при наличии ребер на граничной поверхности волновода. Существование угловых точек контура сечения волновода приводит к особенностям в решениях краевых задач. В частности, обобщенное решение задачи может не принадлежать классу H2 даже при гладкой правой части. В работе [1] показано, что при наличии ребер у волновода в решении для магнитного вектора Герца появляется добавочный член, учитывающий влияние угловой линии и имеющий логарифмическую особенность на ребре. Применение численных методов для расчета подобных волноводов существенно осложнено. Использование проекционных методов, например метода конечных элементов, оказывается значительно менее эффективным в связи с резким уменьшением скорости сходимости по сравнению со случаем волноводов с гладкой границей [2-4]. Поскольку решение уже не обязательно является гладким, то не удается получить высокий порядок его аппроксимации (например, в классе полиномов высокого порядка). Одним из способов улучшения эффективности метода конечных элементов является выделение особенностей решения в явном виде. Вопрос об асимптотике решения эллиптических краевых задач в целом решен в работах [5,6]. Дифференциальные свойства точных решений краевых задач и оценки сходимости приближенных решений к точным для уравнений Лапласа и Пуассона на многоугольниках установлены в работах [7-10]. Настоящая работа посвящена применению метода, предложенного впервые в работе Кондратьева В.А., к спектральным задачам расчета электромагнитного поля в волноводах.

Пусть электромагнитное поле зависит от времени через множитель e-iwt, а волновод представляет собой цилиндр Q = {(x,y) О W, z О (,Ґ)}, граница области W содержит угловую точку O с углом произвольной величины. Дальнейшее изложение также применимо, если на границе W находится конечное число угловых точек. Предполагается, что вне некоторой окрестности угловой точки граница области W гладкая. Считаем, что магнитная проницемость внутри волновода m є 1, а диэлектрическая проницаемость e(x,y) вещественная и имеет ограниченные первые производные. Система уравнений Максвелла после сокращения на временной множитель e-iwt примет вид:  

 
rot E = ik H 
rot H = -ikeE 
div  eE = 0 
div H = 0,      где k w 

c

 

Будем искать однородные решения системы уравнений Максвелла с зависимостью от z вида:  

E n 
е 
k = 1 
  zn-k 

(n-k)!

Ek eibz,     H n 
е 
k = 1 
  zn-k 

(n-k)!

Hk eibz.

Аналогично тому, как это сделано в [11,12] при указанных условиях на e и m, получается система уравнений для собственных векторов компонент поля {H^,Ez} и собственных значений b2   

  м 
п 
н 
п 
о
 
- С2 H^ + ik rot eEz -ikerot Ez - k2eH^ = -b2 H^ 
- ik rot eH^ -div egrad Ez = -b2 eEz 
 
(1)

Hn |¶W\O = 0,     Ez|¶W\O = 0, 
(2)

где использованы обозначения  

H^ = ixHx + iyHy 
 
div H^ Hx 

x

+ Hy 

y

,
rot H^ Hy 

x

- Hx 

y

,
grad Ez = ix Ez 

x

+iy  Ez 

y

rot Ez = ix Ez 

y

- iy Ez 

x

,
 

или в случае цилиндрических координат  

H^ = irHr + ijHj 
 
div H^ 1 

r

   

r

(rHr )+  1 

r

  Hj  

¶j

,
rot H^ 1 

r

   

r

(rHj )-  1 

r

  Hr 

¶j

,
grad Ez = ir Ez 

r

+ ij 1 

r

  Ez 

¶j

rot Ez = ir 1 

r

  Ez 

¶j

- ij Ez 

r

.
 

Воспользуемся уравнением rot H = -ikeE для получения дополнительного граничного условия. Вблизи границы ¶W\O введем систему координат на векторах { n, t}. Тогда в этой системе  

rot H^ Hn  

¶t

- Ht  

¶n

= -ikeEz

так как Hn |¶W\O = 0 и Ez |¶W\O = 0 , то отсюда вытекает условие   

  Ht  

¶n

к 
к 
к

¶W\O 

= 0. 
(3)

Для определения поля в угловой точке воспользуемся условием Мейкснера [13-14]: поток энергии через любую поверхность, охватывающую ребро, стремится к нулю при стягивании этой поверхности к ребру  

 
lim 
r® 0 
  м 
н 
о
1 

2

Re  у 
(з) 
х 
lr
[E,H*]ndl ь 
э 
ю
= 0

(интеграл по поверхности заменен интегралом по контуру в силу зависимости поля от координаты z через множитель eibz).

Рассмотрим обобщенную постановку задачи (1)-(3). Аналогично [11,12] введем билинейные формы  

 
a(A, ~ 
A 
 
) = (СH^,С ~ 
H 
 

^ 
)L2(W)+ (egrad Ez,grad  ~ 
E 
 

z 
)L2(W)-
       -k2(eH^, ~ 
H 
 

^ 
)L2(W)- ik(erot Ez, ~ 
H 
 

^ 
)L2(W)- ik(eH^,rot  ~ 
E 
 

z 
)L2(W) 
 
c(A, ~ 
A 
 
) = (H^, ~ 
H 
 

^ 
)L2(W)+ (eEz, ~ 
E 
 

z 
)L2(W)

Будем искать A = {Hx,Hy,Ez } О (H1(W))3 и комплексные b2, удовлетворяющие уравнению  

 
a(A, ~ 
A 
 
) = b2 c(A, ~ 
A 
 
),    " ~ 
A 
 
м 
н 
о
~ 
H 
 

x 
, ~ 
H 
 

y 
, ~ 
E 
 

z 
ь 
э 
ю
О (H1(W))3 ~ 
H 
 

n 
|¶W = 0,  ~ 
E 
 

z 
|¶W = 0,
       Hn |¶W = 0, Ez|¶W = 0. 
 
Билинейная форма a(A, A ) удовлетворяет условию коэрцитивности 
Re a(A,A)+l0 c(A,A) і C||A||2(H1(W))3 ,

где l0 > max(x,y) О W e(x,y), C - константа.

По теореме Лакса-Мильграма существует единственное обобщенное решение A = {Hx, Hy, Ez } О (H1(W))3 краевой задачи   

 
a(A, ~ 
A 
 
) = (F, ~ 
A 
 
" ~ 
A 
 
м 
н 
о
~ 
H 
 

x 
, ~ 
H 
 

y 
, ~ 
E 
 

z 
ь 
э 
ю
О (H1(W))3,
  ~ 
H 
 

n 
|¶W = 0,  ~ 
E 
 

z 
|¶W = 0, 
 
(4)

удовлетворяющее граничным условиям (2)-(3) для любого F = {fx,fy,fz } О (L2(W))3. Кроме того, при достаточно гладком e для декартовых компонент A и F справедлива
Теорема [15] Пусть A = {Hx,Hy,Ez } О (H1(W))3 - обобщенное решение задачи (4), причем F = {fx,fy,fz } О (Hl(Wd))3, l і 0, целое, Wd = W\Bd, Bd - шар радиуса d, d - любое положительное число. Тогда A = {Hx,Hy,Ez } О (Hl+2(W2d))3 и выполнено неравенство

||A||(Hl+2(W2d))3 Ј C2d( ||A||(H1(Wd))3+ ||F||(Hl(W))3).

Если F = b2A, то применяя данную теорему многократно (при достаточно гладкой e), получим, что A О (Hl(Wd))3 для любого фиксированного l, то есть решение является гладким на удалении от угловой точки.

Перейдем в системе (1) к полярным координатам с центром в угловой точке. При использовании полярных координат норма || ·||H1(W) для скалярной функции принимает вид  

||u||2H1(W)
у 
х 
W 
{u|2+ |u|2}dS
у 
х 
W 
  м 
н 
о
к 
к 
к
u 

r

к 
к 
к
2  +  1 

r2

  к 
к 
к
u 

¶j

к 
к 
к
2  +|u|2 ь 
э 
ю
dS,

а для вектор-функции

||B||2H1(W)
у 
х 
W 
{B|2+ |B|2}dS
у 
х 
W 
  м 
н 
о
к 
к 
к
Br 

r

к 
к 
к
2  к 
к 
к
Bj  

r

к 
к 
к
2  к 
к 
к
Bz 

r

к 
к 
к
2 
      +  1 

r2

  к 
к 
к
Br 

¶j

-Bj к 
к 
к
2  1 

r2

  к 
к 
к
Br+ Bj  

¶j

к 
к 
к
2  1 

r2

к 
к 
к
Bz 

¶j

к 
к 
к
2  + |Br|2+|Bj|2+|Bz|2 ь 
э 
ю
dS.

 Поэтому из принадлежности A^ = { Hx,Hy } О (H1(W))2, вообще говоря, не следует A^ = {Hr,Hj} О (H1(W))2. Поскольку A = {Hx,Hy,Ez } О (H1(W))3, то каждая из компонент A в полярных координатах {Hr,Hj,Ez } принадлежит L2(W). Кроме того, rot eH^ О L2(W), поскольку это скалярная величина. Так как Ez О H1(W), то Ez|2 = |Ez/r|2+[1/r2]|Ez/¶j|2 - интегрируемая функция, отсюда вытекает, что |rot Ez |2 = |Ez/r|2+[1/r2]|Ez/¶j|2 - также интегрируемая функция, то есть rot Ez О (L2(W))2. Перенося в правую часть все неглавные члены и обозначая их сумму опять F, получим систему уравнений:   

  м 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
н 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
о
  2 Hr 

r2

+ 1 

r

  Hr 

r

-  2 

r2

  Hj  

¶j

1 

r2

  2 Hr 

¶j2

- 1 

r2

Hr = fr 
  2 Hj  

r2

+ 1 

r

  Hj  

r

2 

r2

  Hr 

¶j

1 

r2

  2 Hj  

¶j2

-  1 

r2

Hj = fj 
  2 Ez 

r2

+ 1 

r

  Ez 

r

1 

r2

  2 Ez 

¶j2

= fz 
 
(5)

Рассмотрим сначала эту систему в случае, когда W = K - бесконечный сектор угла w0. Тогда граничные условия примут вид:  

Hj |K\O = 0,     Ez |K\O = 0,  Hr 

¶j

к 
к 
к

K\O 

= 0.

Следуя [5,6], введем пространство Vlg(K) с нормой  

||u||2Vlg(K)
е 
j+k Ј l 
 
у 
х 
K 
r2(g-l+j) к 
к 
к
j+k u 

rj ¶jk

к 
к 
к
2  r dr dj,

l і 0 целое, g - любое число. Рассмотрим систему (5) при правой части F = {fr, fj, fz} О (Vlg(K))3. Случаю F = {fx, fy, fz} О (L2(K))3 соответствует {fr, fj, fz} О (V00(K))3. Следуя [5,6], сделаем замену переменных t = ln[1/r]. Сектор K перейдет в полосу Х = {t О (,Ґ), 0 Ј j Ј w0}. Система (5) примет вид:  

  м 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
н 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
о
  2 Hr 

¶t2

-2 Hj  

¶j

2 Hr 

¶j2

-Hr = fr e-2t є Fr
  2 Hj  

¶t2

+2 Hr 

¶j

2 Hj  

¶j2

-Hj = fj e-2t є Fj
  2 Ez 

¶t2

+ 2 Ez 

¶j2

= fz e-2t є Fz
 

Сделаем преобразование Фурье по t  

  ^ 
A 
 
1 
  Ц

2p

  Ґ 
у 
х 
 
A(t,j)e-iltdt ^ 
F 
 
1 
  Ц

2p

  Ґ 
у 
х 
 
F(t,j)e-iltdt

Система преобразуется в следующую   

  м 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
н 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
п 
о
-l2  ^ 
H 
 

r 
-2
^ 
H 
 

j 

¶j

2  ^ 
H 
 

r 

¶j2

- ^ 
H 
 

r 
^ 
F 
 

r 
 
-l2  ^ 
H 
 

j 
+2
^ 
H 
 

r 

¶j

2  ^ 
H 
 

j 

¶j2

- ^ 
H 
 

j 
^ 
F 
 

j 
 
-l2  ^ 
E 
 

z 
+
2  ^ 
E 
 

z 

¶j2

^ 
F 
 

z 
 
 
(6)

 
  ^ 
E 
 

z 
|j = 0 ^ 
E 
 

z 
|j = w0 = 0
  ^ 
H 
 

j 
|j = 0 ^ 
H 
 

j 
|j = w0 = 0
 
^ 
H 
 

r 

¶j

к 
к 
к 
к 
к

 

j = 0 

^ 
H 
 

r 

¶j

к 
к 
к 
к 
к

 

j = w0 

= 0.
(7)

Принадлежность fi О Vlg(K) (i = {r,j,z }) означает ограниченность интегралов   

 
у 
х 
Х 
  к 
к 
к
i1+i2 Fi 

¶ti1¶ji2

к 
к 
к
2  e-2(g-l-1)t dtdj Ј C||fi||2Vlg(K)i1+i2 Ј l
(8)

Для Фурье образа на основании теоремы Планшереля вытекает неравенство   

  l 
е 
k = 0 
  Ґ+ih 
у 
х 
+ih 
|l|2k ||  ^ 
F 
 

i 
||2Hl-k(0,w0)dl Ј C||fi||2Vlg(K), h = -g+l+1
(9)

Фурье образ определен на R+ih, поскольку квадраты производных Fi интегрируемы с весом e-2(g-l-1)t. Домножим уравнения системы (6) на функции  

yr = cos pn 

w0

jyj = sin pn 

w0

jyz = sin pn 

w0

j, n = 0,1,2,...

и проинтегрируем по j от 0 до w0. Построим резольвенту

R(l):  ( ^ 
H 
 

r ,
^ 
H 
 

j ,
^ 
E 
 

z ,
)T = R(l) ( ^ 
F 
 

r ,
^ 
F 
 

j ,
^ 
F 
 

z ,
)T
 
  ^ 
H 
 

r 
(l,j) = 
       = - 2 

w0

  Ґ 
е 
n = 0 
  1 

(1+dn0)

  м 
п 
п 
п 
п 
н 
п 
п 
п 
п 
о 
 
  й 
к 
л
l2 ж 
з 
и
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2  +1 щ 
ъ 
ы 
  ^ 
F 
 
c 
rn 
(l)

  й 
к 
л 
l2 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 2
ч 
ш 
+1 щ 
ъ 
ы 
2  -4 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2   
-
2 pn 

w0

  ^ 
F 
 
s 
jn 
(l)

  й 
к 
л 
l2 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2  +1 щ 
ъ 
ы 
2  -4 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2   
ь 
п 
п 
п 
п 
э 
п 
п 
п 
п 
ю 
cos pn 

w0

j
  ^ 
H 
 

j 
(l,j) = - 2 

w0

  Ґ 
е 
n = 1 
  м 
п 
п 
п 
п 
н 
п 
п 
п 
п 
о 
 
  й 
к 
л 
l2 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2  +1 щ 
ъ 
ы 
  ^ 
F 
 
s 
jn 
(l)

  й 
к 
л 
l2 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2  +1 щ 
ъ 
ы 
2  -4 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2   
-
2 pn 

w0

  ^ 
F 
 
c 
rn 
(l)

  й 
к 
л 
l2 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2  +1 щ 
ъ 
ы 
2  -4 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2   
ь 
п 
п 
п 
п 
э 
п 
п 
п 
п 
ю 
sin pn 

w0

j
  ^ 
E 
 

z 
(l,j) = - 2 

w0

  Ґ 
е 
n = 1 
 
^ 
F 
 
s 
zn 
(l)

l2 ж 
з 
и 
pn 

w0

ц 
ч 
ш 
2 
sin pn 

w0

j
где  ^ 
F 
 
s 
in 
(l) =  w0 
у 
х 
0 
  ^ 
F 
 

i 
(l,j) sin pn 

w0

jdj ^ 
F 
 
c 
in 
(l) =  w0 
у 
х 
0 
  ^ 
F 
 

i 
(l,j) cos pn 

w0

jdj
 

Полюсы резольвенты  

l1,2 = ±i pn 

w0

, n = 1,2,...,  l3,4,5,6 = ±i ж 
з 
и
pn 

w0

±1 ц 
ч 
ш
, n = 0,1,2,... 
 Если на прямой Iml = -g+l+1 нет полюсов R(l), для A(l,j) = R(l) ^ 
F 
 
(l,j) справедливо

неравенство  

  l+2 
е 
k = 0 
  Ґ+ih 
у 
х 
+ih 
|l|2k ||  ^ 
A 
 
||2Hl+2-k(0,w0)dl Ј C||f||2Vlg(K), h = -g+l+1,

интеграл  

A(t,j) =  1 
  Ц

2p

  Ґ+ih 
у 
х 
+ih 
R(l) ^ 
F 
 
(l,j)eiltdl

сходится и определяет вектор-функцию A(t,j), для которой справедлива оценка (8) с i1+i2 Ј l+2. Возвращаясь к переменным (r,j), получим решение системы (5), принадлежащее пространству Vl+2g(K). Таким образом, справедлива следующая

Теорема 1 Пусть f = {fr, fj, fz} О (Vlg(K))3, l+1-g ±[pn/w0], l+1-g ±([pn/w0]±1). Тогда существует единственное решение {Hr,Hj,Ez} О (Vl+2g(K))3, при этом ||{Hr,Hj,Ez}||(Vl+2g(K))3 Ј С ||{fr,fj,fz}||(Vlg(K))3

Поскольку уравнения системы (5) для H^ и Ez не связаны в главной части, то H^ и Ez могут принадлежать пространствам Vgl(K) с разными индексами g.

Пусть теперь f(r,j) = {fr,fj,fz} О (Vlg1(K)ЗVlg2(K))3, g1 > g2, на прямых h1 = -g1+l+1,

h2 = -g2+l+1 нет полюсов функции R(l) ^ 
F 
 

(l,j). В силу неравенства
 
 
е 
i1+i2 Ј l 
 
у 
х 
Х 
  к 
к 
к
i1+i2 Fi 

¶ti1¶ji2

к 
к 
к
2  e2ht dtdj < Ґ, i = {r,j,z},
 каждая ^ 
Fi 
 
(l,j) аналитическая функция в полосе h1 Ј Iml Ј h2, а R(l) ^ 
F 
 
(l,j)

мероморфная вектор-функция.

Применяя теорему о вычетах для прямоугольного контура, ограниченного прямыми Iml = h1, Iml = h2 и Re l = ±N, и переходя к пределу при N®Ґ, получаем представление  

A(t,j) =  1 
  Ц

2p

  у 
х 
Ґ+ih2 

+ih2 

eiltR(l ^ 
F 
 
(l,j)dl Ц 
 

2p 
 

i
е 
h1 < Im ln < h2 
Res eilntR(l ^ 
F 
 
(l,j) = 

 

= W(t,j)+  Ц 
 

2p 
 

i
е 
h1 < Im ln < h2 
Res eilntR(l ^ 
F 
 
(l,j), где W(t,j) = {Wr,Wj,Wz} О (Vlg2(П))3

Выпишем значения вычетов в точках h1 < Im ln < h2  

ln = i ж 
з 
и
pn 

w0

+1 ц 
ч 
ш
,   H^n(1)(r,j) = - ( f^, U(1)^,-n)K 

2(pn+w0)

  r[pn/w0]+1  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
 

   

где U^,-n(1) = r-([pn/w0]+1)  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
f^ = {fr,fj}

   

ln = i ж 
з 
и
pn 

w0

-1 ц 
ч 
ш
,   H^n(2)(r,j) = - (f^, U(2)^,-n)K 

2(pn-w0)

  r[pn/w0]-1  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
 

 

где U^,-n(2) = r-([pn/w0]-1)  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
,

   

ln = i pn 

w0

,   Ez(r,j) = - (fz, U-n)K 

pn

  r[pn/w0]sin pn 

w0

j,   где U-n = r-[pn/w0] sin pn 

w0

j.

Отсюда вытекает справедливость следующей теоремы

Теорема 2 Пусть f(r,j) = {fr,fj,fz} О (Vlg1(K)ЗVlg2(K))3, g1 > g2, на прямых h1 = -g1+l+1, h2 = -g2+l+1 нет полюсов резольвенты. Тогда для решения в любой конечной окрестности угловой точки справедливо следующее представление   

 
H^(r,j) = 
е 
h1 < [pn/w0]+1 < h2 
A(1)n r[pn/w0]+1  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
+
       +
е 
h1 < [pn/w0]-1 < h2 
A(2)n r[pn/w0]-1  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
+ W^(r,j
Ez(r,j) = 
е 
h1 < [pn/w0] < h2 
An(z) r[pn/w0] sin pn 

w0

j+Wz(r,j), 
 
(10)

где An(1), An(2), An(z) - постоянные, определяемые равенствами  

An(1) = - ( f^, U(1)^,-n)K 

2(pn+w0)

,  An(2) = - (f^, U(2)^,-n)K 

2(pn-w0)

,  An(z) = - (fz, U-n)K 

pn

 

W^(r,j) О (Vg2l+2(K))2, Wz(r,j) О Vg2l+2(K).

Рассмотрим задачу (5) с правой частью вида  

 
f^ = U^, n,k(j)(r,j) k = -1,0,1,2,...,  n = -1,0,1,2,..., j = 1,2 
fz = Un,k(r,j) k = 0,1,2,..., n = -1,1,2,... 
 

  где 

 
U^, n,k(1)(r,j) = r[pn/w0]+k  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
 
U^, n,k(2)(r,j) = r[pn/w0]+k  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
 
Un,k(r,j) = r[pn/w0]+k sin pn 

w0

j
 

Прямой проверкой можно убедиться, что вектора  

 
  1 
(k+2)2+2(k+1) pn 

w0

-1
r[pn/w0]+k+2  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
 
  1 
(k+2)2+2(k+3) pn 

w0

-1
r[pn/w0]+k+2  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
 
 

удовлетворяют первым двум уравнениям системы (5) с правыми частями r[pn/w0]+k {cos[pn/w0]j, sin[pn/w0]j}, r[pn/w0]+k {cos[pn/w0]j, -sin[pn/w0]j} соответственно, а функция [1/((k+2)2+2(k+2)[pn/w0])]r[pn/w0]+k+2 sin[pn/w0]j удовлетворяет третьему уравнению системы (5) с правой частью r[pn/w0]+ksin[pn/w0]j.

Вернемся к случаю конечной области W. Пусть начало координат O принадлежит ¶W, вне любой окрестности точки O контур ¶W гладкий, а в круге Bd = {(r,j):0 < r < d, j О [0,2p]} область W совпадает с сектором K. Пусть пока правая часть f О CҐ([`(W)]). Система уравнений (1) с граничными условиями (2), (3) при заданной правой части имеет единственное решение A = {Hx,Hy,Ez} О (H1(W))3 в силу единственности решения задачи (4). Следуя [6], введем срезающую функцию c(r) О CҐ [0,d),  

c(r) =  м 
н 
о
1,  r Ј d/2 
0,  r > d 
 

и рассмотрим вектор-функцию cA. Далее понадобится


Лемма ([5], Лемма 4.4) Если функция f(x), определенная при x і 0, обращается в нуль при достаточно больших x и такова, что  

  Ґ 
у 
х 
0 
xa|fў(x)|2 dx < Ґ    (a > 1),

то  

  Ґ 
у 
х 
0 
xa-2|f(x)|2 dx Ј  4 

(1-a)2

  Ґ 
у 
х 
0 
xa|fў(x)|2 dx.

Из леммы вытекает оценка для cA = {cHr,cHj,cEz}  

 
||cA||2(H1(W))3 і 
у 
х 
K 
|С(cA)|2 dx і C
у 
х 
K 
|С(cA)|2 r2b dx і 
       і C w0 
у 
х 
0 
dj Ґ 
у 
х 
0 
  к 
к 
к
 

r

(cA) к 
к 
к
2  r2b+1 dr і C(a) w0 
у 
х 
0 
dj Ґ 
у 
х 
0 
|cA|2 r2b-1 dr
       = C(a)
у 
х 
K 
|cA|2 r2b-2 dx 
 

Таким образом, cA О (Vb1(K))3. Кроме того, cA - решение задачи   

  м 
п 
п 
п 
н 
п 
п 
п 
о
С2(cH^) = cf^+[С2,c] H^
D(cEz) = cfz + [D,c] Ez 
cHn |K = 0,  (cHt) 

¶n

к 
к 
к

K 

= 0,    cEz|K = 0, 
 
(11)

где  

 
[С2,c]H^ = С2(cH^)-cС2 H^ = 2СcСH^+H^С2c
       = 2 ¶c 

r

  H^ 

r

+ H^ 1 

r

   

r

  ж 
з 
и
r ¶c 

r

ц 
ч 
ш
,
[D,c]Ez = D(cEz)-cDEz = 2СcСEz+EzDc = 2 ¶c 

r

  Ez 

r

+ Ez 1 

r

   

r

  ж 
з 
и
r ¶c 

r

ц 
ч 
ш
 

Поскольку между прямыми Im l = h1 = 0 и Im l = h2 = -b (b мало) нет полюсов резольвенты, то cA О (V01(K))3. Рассмотрим задачу (11) для вектор-функции B(r,j). В силу теоремы 1 существует единственное решение B = {Br, Bj, Bz} О (Vl+2l+1(K))3. cA О (V01(K))3, B О (Vl+1l+2)3 М (V01(K))3 - решения задачи с однородными граничными условиями и одинаковой правой частью, поэтому cA = B . Отсюда вытекает, что A = {Hr, Hj, Ez} О (Vl+2l+1(W))3. Кроме того, из теоремы 1 следует оценка   

||{Hr, Hj, Ez}||(Vl+2l+1(W))3 Ј C||{fr, fj, fz}||(Vll+1(W))3
(12)

Аналогично тому, как это было проделано в [6], заключаем, что поскольку множество CҐ`(W) плотно в пространстве Vlg(W), то справедлива

Теорема 3 Пусть f О Vlg(W), g < l+1. Тогда существует единственное решение A = {Hr, Hj, Ez} О (Vl+2l+1(W))3 задачи (11) и верна оценка (12). 

Пусть на прямых Im l = h1 = 0 и Im l = h2 = -g+l+1 > 0 нет полюсов резольвенты. Применяя теорему 2 к вектор-функции Aў = cA, получаем следующее представление решения  

 
H^(r,j) = c(r)
е 
0 < [pn/w0]+1 < l-g+1 
C(1)n r[pn/w0]+1 м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
+
       +c(r)
е 
0 < [pn/w0]-1 < l-g+1 
C(2)n r[pn/w0]-1 м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
+W^(r,j)
Ez(r,j) = c(r)
е 
0 < [pn/w0] < l-g+1 
C(z)n r[pn/w0]sin pn 

w0

j+ Wz(r,j), 
 

где W(r,j) = {Wr,Wj,Wz} О (Vl+2g(W))3 . Введем функции  

 
h^j(1)(r,j) = c(r) r-([pj/w0]+1)  м 
н 
о
cos pj 

w0

j, sin pj 

w0

j ь 
э 
ю
+Z^j(1)(r,j)   j = -1,0,1,2,...
h^j(2)(r,j) = c(r) r-([pj/w0]-1)  м 
н 
о
cos pj 

w0

j, -sin pj 

w0

j ь 
э 
ю
+Z^j(2)(r,j)   j = 1,2,...
xj (r,j) = c(r) r-[pj/w0] sin pj 

w0

j+Zj (r,j),  j = 1,2,...
 

где Z^j(k), k = 1,2,  Zj - решения задач  

  м 
п 
п 
н 
п 
п 
о 
С2 Z^j(k) = -[С2,c]h^j(k),
Zjn(k) |¶W = 0,  Zj t(k) 

¶n

к 
к 
к

¶W 

= 0 
  м 
н 
о
DZj = -[D,c]xj 
Zj |¶W = 0. 
 

Используя формулу Грина и определение h^j(k)(r,j), можно получить  

 
у 
х 
W 
(f^,h^j(1))dx
lim 
0 
 
у 
х 
Wd 
(f^,h^j(1))dx = -2Cj(1)(pj+w0),

где Wd = W\Bd, Bd - шар радиуса d. Отсюда  

Cj(1) = - (f^,h^j(1))L2(W) 

2(pj+w0)

j = -1,0,1,2,...

Аналогично  

 
Cj(2) = - (f^,h^j(2))L2(W) 

2(pj-w0)

j = 1,2,... 
Cj(z) = - (fz,xj)L2(W) 

pj

j = 1,2,... 
 

Применим теорему 3 к задаче   

  м 
п 
п 
п 
н 
п 
п 
п 
о
С2 H^ = f^   в  W
DEz = fz   в  W
Hn |¶W = 0,  Ht  

¶n

к 
к 
к

¶W 

= 0,    Ez|¶W = 0, 
 
(13)

где f^ О (L2(W))2 = (V00(W))2 М (Vd0 (W))2 для любого малого d, fz О L2(W) = V00(W).

Получаем, что существует единственное решение A = {H^, Ez } О V12(W), которое в силу теоремы 2 представимо в виде   

 
H^(r,j) = c(r
е 
0 < [pn/w0]+1 < 1-d 
Cn(1) r1+[pn/w0]  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
       +c(r
е 
0 < [pn/w0]-1 < 1-d 
Cn(2) r[pn/w0]-1  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
+W^(r,j
Ez(r,j) = c(r)
е 
0 < [pn/w0] < 1 
Cn(z)r[pn/w0] sin pn 

w0

j+ Wz (r,j), 
 
(14)

где W^(r,j) = {Wr, Wj} О (Vd2(W))2, Wz (r,j) О V02(W). В случае входящего угла w0 > p первая сумма для H^(r,j) содержит лишь одно слагаемое c(r) C(1)-1 r1-[p/w0]{cos[p/w0]j,-sin[p/w0]j}. Вторая сумма содержит или только одно слагаемое c(r) C(2)2 r[2p/w0]-1{cos[2p/w0]j,-sin[2p/w0]j} или еще одно слагаемое c(r) C(2)3 r[3p/(w0]-1{cos[3p/w0]j,-sin[3p/w0]j} (при условии, что w0 > 3/2 p). Сумма для Ez(r,j) содержит только одно слагаемое c(r) C(z)1 r[p/w0]sin[p/w0]j. В случае угла 0 < w0 < p первая сумма для H^(r,j) не содержит ни одного слагаемого, а вторая сумма в зависимости от величины угла w0 может содержать одно или несколько слагаемых, первое из которых c(r) C(2)1 r[p/w0]-1{cos[p/w0]j,-sin[p/w0]j}. Сумма для Ez(r,j) не содержит ни одного слагаемого, то есть Ez(r,j) О V20(W).

Для случая, когда диэлектрическая проницаемость e = const при r < d (в той части области W, которая совпадает с сектором) и достаточно гладкая в оставшейся части W, можно получить более подробное представление электромагнитного поля в окрестности угловой точки. Поскольку рассматривается задача на собственные векторы и собственные значения, то при r < d правая часть системы (13) примет вид: 

  м 
н 
о
f^ = -k2eH^+b2 H^
fz = -k2eEz+b2 Ez 
 

Подставляя сюда (14), получаем  

 
f^ = c(r)(b2-k2e) й 
к 
л
 
е 
0 < [pn/w0]+1 < 1-d 
Cn(1) r1+[pn/w0]  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
       +
е 
0 < [pn/w0]-1 < 1-d 
Cn(2) r[pn/w0]-1  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
щ 
ъ 
ы
+ W^(r,j
fz = c(r)(b2-k2e
е 
0 < [pn/w0] < 1 
Cn(z) r[pn/w0] sin pn 

w0

j+ Wz(r,j
 

где W^(r,j) О (Vd2(W))2, Wz(r,j) О V02(W). Используя снова теорему 3 при l = 2, g = d, а также решения задачи (5) с правой частью { U^, n,k(j)(r,j),Un,k(r,j)}, получаем  

 
H^(r,j) = c(r) й 
к 
л
 
е 
0 < [pn/w0]+1 < 3-d 
Cn(1) r1+[pn/w0]  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
       +
е 
0 < [pn/w0]-1 < 3-d 
Cn(2) r[pn/w0]-1  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
       +
е 
0 < [pn/w0]+1 < 1-d 
  Cn(1)(b2-k2e) 
4 ж 
з 
и
2+ pn 

w0

ц 
ч 
ш
r3+[pn/w0]  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
       +
е 
0 < [pn/w0]-1 < 1-d 
  Cn(2)(b2-k2e) 
4 pn 

w0

r[pn/w0]+1  м 
н 
о
cos pn 

w0

j, -sin pn 

w0

j ь 
э 
ю
щ 
ъ 
ъ 
ъ 
ъ 
ы
+ W^(r,j
Ez(r,j) = c(r) й 
к 
л
 
е 
0 < [pn/w0] < 3 
Cn(z) r[pn/w0] sin pn 

w0

j
       +
е 
0 < [pn/w0] < 1 
  Cn(z)(b2-k2e) 
4 ж 
з 
и
pn 

w0

+1 ц 
ч 
ш
r[pn/w0]+2sin pn 

w0

j щ 
ъ 
ъ 
ъ 
ъ 
ы
Wz(r,j
 

где W^(r,j) О (Vd4(W))2 , Wz(r,j) О V04(W).

Подставляя полученную асимптотику в правую часть и вновь используя теорему 3, можно получить еще более подробное представление решения.

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Ильин В.А. Дифракция электромагнитных волн на некоторых неоднородностях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М. 1953.
2. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е. О математическом обосновании вариационно-разностного подхода к численному моделированию волноведущих систем // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физ., астрон. 1998. № 5. С.14.
3. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван, 1979.
4. Babuska I., Guo B.Q. The h-p Versions of the Finite Element Method for Domains with Curved Boundaries. // SIAM J. Numer. Anal., vol.25, 4, 1988, P.837-861.
5. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. // Тр. Моск. матем. о-ва. 1967. 16. C.209-292.
6. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М., 1991.
7. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа на многоугольниках. // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1965. Т.77. С.113-142.
8. Волков Е.А. О границах подобластей, весовых классах Гельдера и решении в этих классах уравнения Пуассона. // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1972. Т.117. С.75-99.
9. Волков Е.А. Приближенное решение блочным методом уравнения Лапласа на многоугольниках при аналитических смешанных краевых условиях. // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1992. Т.201. С.165-185.
10. Волков Е.А. Быстрый блочный метод решения уравнения Лапласа на многоугольниках при кусочно-постоянных граничных условиях. // Тр. Мат. ин-та РАН. 1995. Т.210. С.90-100.
11. Делицын А.Л. О проблеме применения метода конечных элементов к задаче вычисления мод диэлектрических волноводов. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. 39. № 2. С.315-322.
12. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л. Новая постановка задачи расчета мод диэлектрических волноводов методом конечных элементов // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физ., астрон. 1995. 36. № 2. C.95-98.
13. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М., 1991.
14. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) М., 1996.
15. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.


Авторы:
Боголюбов Александр Николаевич,
Делицын Андрей Леонидович,
Могилевский Илья Ефимович, e-mail: mogilevsky@afrodita.phys.msu.su,
Свешников Алексей Георгиевич,
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.
c3.gif (955 bytes)

оглавление

дискуссия

c4.gif (956 bytes)