"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 11, 2001 |
КРАЕВАЯ
ЗАДАЧА МАГНИТОСТАТИКИ НА ПЛОСКОСТИ
ДЛЯ СРЕД С КОНЕЧНОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
С.Н. Кузнецов
Северо-Кавказский
государственный технологический университет
Получена 25 октября 2001 г.
В работе поставлена и решена краевая задача магнитостатики на плоскости для конечной относительной магнитной проницаемости среды. В отличие от работ других авторов, граничные условия для магнитного поля были представлены в комплексной форме. Задача была решена в замкнутом виде с применением конформных преобразований и интеграла типа Коши. Показано применение полученных результатов на простейших примерах.
ВВЕДЕНИЕ
В классических работах по теории электромагнитного поля (в частности [1..3]) в основном рассматриваются граничные условия Неймана и Дирихле для уравнений магнитостатики. Решения этих краевых задач были получены в аналитическом или замкнутом виде.
В общем случае для магнитного поля граничные условия формулируются следующим образом:
на границе раздела магнитных сред для магнитного поля выполняется условие непрерывности тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля - , [4]:
, (1)
для магнитного поля на границе раздела сред выполняется условие непрерывности нормальной составляющей вектора магнитной индукции - [4]:
, (2)
где "+" и "-" - означают предельные значения на границе раздела сред.
Для таких граничных условий в аналитическом или замкнутом виде решены только простейшие задачи (поле тока расположенного над плоской границей, ограничивающей среду с конечной магнитной проницаемостью; бесконечный полый цилиндр с конечной магнитной проницаемостью в однородном магнитном поле и т.д.).
Поэтому нахождение решения краевой задачи на плоскости для граничных условий (1) и (2) является весьма актуальной задачей.
Широкое применение для решения подобных задач находит теория функций комплексного переменного (ТФКП) [5]. Для того, чтобы воспользоваться методами ТФКП, необходимо представить граничные условия (1) и (2) в комплексной форме записи. Затем решить краевую задачу, используя конформные преобразования и интеграл типа Коши.
Следует отметить, что сама теория функций комплексного переменного и в особенности теория конформных отображений - возникла и развилась на основании физических представлений. А интеграл типа Коши для краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного [5], [6] является аналогом потенциалов простого и двойного слоя.
1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Пусть имеется контур , который ограничивает односвязную область , с относительной магнитной проницаемостью (рис. 1). Дополнительную к области часть плоскости обозначим через . Относительная магнитная проницаемость области равняется единице.
Рис. 1.
Обозначим через комплексную магнитную индукцию, а через комплексно-сопряженную магнитную индукцию [2], [3], где - проекция вектора магнитной индукции на ось x, - проекция вектора магнитной индукции на ось y, j- мнимая единица , -комплексная координата, сопряженная комплексная координата ("*"- обозначает сопряженную комплексную величину).
Комплексный магнитный потенциал можно представить , где - действительная функция комплексного переменного , которая называется функцией потока, - действительная функция комплексного переменного , которая называется потенциальной функцией.
Производная от комплексного магнитного потенциала умноженная на j, не что иное, как комплексно-сопряженная магнитная индукция [2], [3]:
.
Перейдем к выводу граничных условий в комплексной форме записи.
Преобразовав (1), с учетом того, что и , получим известное соотношение [1] для тангенциальной составляющей вектора магнитной индукции .
Представим вектор магнитной индукции , как сумму векторов "источника" магнитного поля и отклика от среды :
. (3)
Под "источниками" будем понимать проводники с постоянным током, электрически заряженные частицы и тела, движущиеся с постоянной скоростью в однородной и изотропной среде, а также намагниченные тела, которые и создают статическое магнитное поле (кавычки применяются потому, что магнитное поле - вихревое).
Для тангенциальной составляющей вектора будем иметь . Тангенциальная составляющая "источника" функция непрерывная везде, кроме некоторых точек принадлежащих области "источника" и поэтому можно записать
. (4)
Пусть - угол наклона касательной к точке лежащей на границе раздела магнитных сред, - нормальная составляющая магнитной индукции, - тангенциальная составляющая магнитной индукции, и - орты, - единичный вектор нормали, - единичный вектор касательной (рис. 2).
Рис. 2.
Повернем вектор на угол , тогда тангенциальная составляющая также повернется на угол и будет параллельна оси x, а нормальная составляющая , после порота будет параллельна оси y (рис. 2). В комплексной форме поворот на угол , можно представить, как:
,
или для сопряженных комплексных величин
. (5)
Из соотношения (5) для тангенциальной составляющей получим
. (6)
Тогда подставив (6) в (4), будем иметь
.
Умножив левую и правую часть на , получим
.
Дифференциал комплексно сопряжен с дифференциалом , следовательно
. (7)
Подставляя выражение (7) в предыдущее, получим граничное условие для тангенциальной составляющей в комплексной форме записи
. (8)
Из выражения (5) для нормальной составляющей, будем иметь
. (9)
Подставим соотношение (3) в граничное условие (2), затем в полученное выражение подставим (9), имеем
.
Умножим левую и правую часть на , подставим далее выражение (7) в полученное, будем иметь граничное условие для нормальной составляющей в комплексной форме записи
. (10)
2. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Краевая задача формулируется следующим образом: найти функцию аналитическую в областях и , предельное значение которой, удовлетворяет на контуре (рис. 1) краевому условию вида (8) и (10).
Решение краевой задачи:
Отобразим область на нижнюю полуплоскость при помощи конформного преобразования , где , а принадлежит нижней полуплоскости (рис.3).
Рис. 3.
Для точки принадлежащей контуру и точки принадлежащей действительной оси, можно записать , тогда
. (11)
Из выражения для комплексно-сопряженной магнитной индукции будем иметь
, (12)
а для комплексной магнитной индукции
. (13)
Подставляя соотношения (11), (13) и (13) в граничное условие (8), имеем
.
Производя несложные преобразования, получим выражение граничного условия для тангенциальной составляющей в случае плоской границы
. (14)
Аналогично для нормальной составляющей , граничное условие в случае плоской границы можно получить из соотношения (10):
. (15)
Для нахождения решение краевой задачи для плоской границы будем использовать интеграл типа Коши [5..8] (подобный подход предложен Ф.Д. Гаховым для решения краевой задачи общего типа [7]), в виде которого можно представить производную комплексного магнитного потенциала:
,
где - плотность, которая должна удовлетворять условиям Гёльдера, а - ядро.
Проинтегрировав по , получим для комплексного магнитного потенциала решение в виде
. (16)
По формуле Сохоцкого [6..8] определим для нижней полуплоскости предельное значение производной комплексного магнитного потенциала в виде
, (17)
где точка принадлежит границе между верхней и нижней полуплоскостью (рис. 3).
Для верхней полуплоскости по формуле Сохоцкого предельное значение производной комплексного магнитного потенциала имеет вид
. (18)
Для комплексно-сопряженной величины выполняется следующее соотношение , так как , в следствии того, что точка лежит на действительной оси.
Вычтем из выражения (17) сопряженную комплексную величину и получим
.
Вычитая из соотношения (18) сопряженную комплексную величину, будем иметь
.
Вычитая из предыдущего выражения последнее, получим
Тогда исходя из того, что граничное условие (15) равно нулю, следует что .
Сложим с соотношением (17) сопряженную комплексную величину, получим
.
А с выражением (18) также сложим сопряженную комплексную величину, будем иметь
.
Интеграл в двух последних выражениях равен нулю, следовательно
и
.
Подставляя полученные соотношения в граничное условие (14), будем иметь
.
Делая простые преобразования, получим для плотности следующую формулу
. (19)
Подставив формулу для определения плотности (19) в соотношение (16) и прибавляя , получим выражение для комплексного магнитного потенциала
,
,
где - контур, ограничивающий нижнюю полуплоскость и - конформное преобразование нижней полуплоскости на область .
Применяя обратное конформное преобразование , получим выражение для комплексного магнитного потенциала
, (20)
где - контур, ограничивающий область . Или используя то, что и , так как лежит на действительной оси, получим другое представление для комплексного магнитного потенциала
, (21)
где - контур, сопряженный к контуру .
Дифференцируя комплексный магнитный потенциал (20) и умножая на мнимую единицу, получим решение краевой задачи для комплексно-сопряженной магнитной индукции
, (22)
Аналогично комплексному магнитному потенциалу решение краевой задачи для комплексно-сопряженной магнитной индукции можно представить и в виде
. (23)
Проверим полученные формулы (22) и (23) для частных случаев.
3. ПРИМЕРЫ
3.1. Произвольный "источник" магнитного поля над полуплоскостью с относительной магнитной проницаемостью (рис. 4.).
Рис. 4.
Исходя из формулы (23) и того, что для среды в виде нижней полуплоскости имеем
.
В следствии того, что и аналитические функции в нижней и верхней полуплоскости соответственно, и непрерывные на границе раздела сред (на действительной оси) - интегралы в последнем выражении - будут интегралами Коши.
Тогда комплексно-сопряженная магнитная индукция для верхней полуплоскости примет вид:
,
то есть поле будет создаваться двумя "источниками" и (рис. 4).
Для нижней полуплоскости поле создается источником (рис. 4), то есть
.
Таким образом, получены хорошо известные выражения для магнитной индукции, которые получены методом зеркальных изображений [1..3].
3.2. Произвольный "источник" магнитного поля над угловой границей среды с относительной магнитной проницаемостью (рис. 5).
Рис. 5.
Для среды с границей в виде прямого угла - конформное отображение и производная . И тогда из формулы (23) получим
Делая несложные преобразования, имеем
.
Поскольку аналитическая функция в области ограниченной контуром и непрерывна на этом контуре, первый интеграл в предыдущей формуле - интеграл Коши.
аналитична в области ограниченной контуром и непрерывна на , поэтому и второй интеграл также будет интегралом Коши.
Третий интеграл также является интегралом Коши в следствии того, что аналитическая функция в области ограниченной контуром и непрерывная функция на данном контуре.
Аналогично и четвертый интеграл - интеграл Коши из-за аналитичности в области ограниченной контуром и непрерывности на контуре .
Тогда комплексно-сопряженная магнитная индукция для первого квадранта примет вид:
,
для второго квадранта
,
для третьего квадранта
,
и, наконец, для четвертого квадранта
.
Метод зеркальных изображений позволяет также получить эти выражения для магнитной индукции [1..3].
3.3. Произвольный "источник" магнитного поля над границей в виде окружности, ограничивающей среду с относительной магнитной проницаемостью .
Рис. 6.
Полуплоскость является предельным случаем круга, когда его радиус стремится к бесконечности. Для случая круга формула (23) будет иметь вид
, или
.
В следствии того, что аналитическая функция в области ограниченной контуром и непрерывна на этом контуре, первый интеграл в предыдущей формуле - интеграл Коши. Поэтому внутри круга комплексно-сопряженная магнитная индукция имеет вид:
.
Для внешней области аналитическая функция непрерывная на контуре , поэтому второй интеграл является интегралом Коши. Следовательно вне круга комплексно-сопряженная магнитная индукция будет имеет вид:
.
Подобный результат можно получить методом зеркальных изображений [1..3].
Частным случаем предыдущего примера является поле тока над цилиндрической средой с относительной магнитной проницаемостью . Комплексно-сопряженная магнитная индукция оси с током , а комплексная индукция .
Вне цилиндрической среды
.
Внутри среды
.
Приведенные примеры подтверждают правильность полученных выражений (22) и (23).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе поставлена и решена краевая задача магнитостатики на плоскости для конечной магнитной проницаемости среды. Для того, чтобы воспользоваться хорошо разработанным аппаратом теории функций комплексного переменного, граничные условия были представлены в комплексной форме. Применяя конформные преобразования и интеграл типа Коши, было получено решение задачи в замкнутом виде.
Следует отметить, что:
§
решение было получено только для односвязных областей, но его
можно распространить и на многосвязные области,
§
для получения инженерных методик расчета необходимо использовать
приближенные конформные преобразования,
§
полученные результаты легко распространяются и на электростатику.
Решение этих задач и является предметом дальнейших исследований.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шимони К. Теоретическая электротехника:
пер. с нем. - М.: Мир, 1964.
2. Бинс К., Лоуренс П. Анализ и расчёт электрических
и магнитных полей. - М.: Энергия, 1970.
3. Бухгольц Г. Расчёт электрических и магнитных полей.
- М.: ИЛ, 1961.
4. Зоммерфельд А. Электродинамика. - М.: ИЛ, 1958.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций
комплексного переменного. - М.: Наука, 1987.
6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука,
1977.
7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи Римана для
систем n пар функций // Успехи мат. наук. - 1952. - т. VII, вып. 4(50).
8. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т. III.- М.:
Наука, 1974.
Автор: С.Н. Кузнецов, к.т.н., с.н.с. Информационного Центра СКГТУ, E-mail: apinf@globalalania.ru