"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 2, 2002

оглавление

дискуссия

УДК 517.958; 621.372.8

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ВЛОЖЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВОЛНОВОДА.

А. Н. Боголюбов, М. Д. Малых

119899 Москва, Воробьевы горы, МГУ, физич. ф-т, каф. математики;

malykham@mtu-net.ru

Задача о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, сведена к интегральному уравнению. Доказано, что собственным и присоединенным функциям этого уравнения соответствуют собственные и присоединенные функции исходной задачи. Показано, что вложенные в непрерывный спектр cобственные значения переходят в комплексные резонансы при малом вещественном возмущении заполнения, хотя они в первом порядке теории возмущений остаются вещественными.

Уравнение Du + lqu = f является модельным для описания колебания электромагнитного поля, возбужденные током f, в неограниченной области W, например, волноводе, заполненном неоднородным веществом, характеризуемым функцией q. Будем далее всюду предполагать, что носители f и q-1 ограничены. Говорят, что значения l, для которых существует нетривиальное решение спектральной задачи

м п н п о Du + lq(x,y) u = 0,     (x,y) О W,     l = k2 u|¶W = 0,

(1)

принадлежит спектру. Если же, для этого решения

у х W  С2  u  dt < Ґ    и     у х W  u2  qdt < Ґ,

то есть u О W  ₂¹(W), тогда энергия, связанная с колебаниями, ограничена, и говорят, что l - точка точечного спектра или собственное значение. Число независимых решений в случае, когда l - собственное значение, называют кратностью. С физической точки зрения такие поля u(x,y) представляют собой стоячие волны, не переносящие энергию. Большая часть энергии таких волн сосредоточена в конечной области, в ''ловушке'', поэтому их называют еще ловушечными модами. Если же энергия колебаний не ограничена так, что выписанные выше интегралы расходятся, то говорят, что l - точка непрерывного спектра.

При возбуждении колебаний явление резонанса имеет место в точках точечного спектра, а в точках непрерывного спектра имеет место излучение и часто можно доказать, что существует только одно решение, если добавить условия излучения. Это обстоятельство придает особую важность исследованию точечного спектра.

Хотя к настоящему моменту известны примеры волноведущих систем, обладающих вложенными ловушечными модами (вложенными в непрерывный спектр собственными значениями) [1]-[6], необходимые условия появления вложенных мод остается неясными. Поэтому, как отмечалось в [3],[6], целесообразно изучить малые возмущения параметров волноведущих систем, обладающих ловушечными модами, и выяснить, сохраняются ли при этом эти моды или уходят в комплексные резонансы.

К сожалению, для вложенных собственных значений не создано столь исчерпывающей теории возмущений как для изолированных, потому разрешение этого вопроса требует некоторых усилий: так, например, для применения теории возмущений, развитой в [7]-[9], требуется построить резольвенту невозмущенной задачи, поскольку в этих работах при помощи резольвенты невозмущенной задачи сводят исходную задачу на собственные значения к виду

v - A(l) v = 0,

(2)

где A(l) - компактный оператор, а уже затем к этой задаче применяют различные теоремы, связанные с теорией определителей Фредгольма.

Однако при доказательстве существования решения у задачи о возбуждении током колебаний в волноводе исходная задача уже была сведена к виду, весьма схожему с (2) ([10] и [11]). Поэтому вместо того, чтобы строить резольвенту невозмущенной задачи, далее можно воспользоваться этими результатами. Только их следует несколько уточнить, поскольку, во-первых, в этих работах речь шла о бесконечно гладких решениях, а не об обобщенных, и, во-вторых, поскольку не было доказано, что кратность собственного значения исходной задачи совпадает с кратностью собственного значения задачи (2).

В этой работе мы изучим поведение вложенных мод цилиндрического волновода с локально неоднородным заполнением, поскольку в этом случае формальное применение теории возмущений, как отмечалось в [6], указывает на то, что вложенные собственные значения уходят в комплексные резонансы.

1  Постановка задачи.

В [4] было показано, что если

q(x,y) є q0(x)

и q₀(x) -1 і 0, то у задачи (3) имеется собственная функция u₀ (x,y), отвечающая вложенному собственному значению e₀ . Попытаемся выяснить, сохраниться ли оно, если мы возмутим это заполнение

q(x,y) = q0(x) + eq1(x,y)

где q₁ - вещественная функция, а e характеризует малость возмущения.

2  Резольвента регулярного волновода.

Определение 1 Пусть a_n² - собственные значения задачи Дирихле на сечении S. Если при x > b имеет место представление

u = е  Cmўў 2 gm (l) ei gm (l) x,

где g_n(l) = Ц{l-a_n²}, и аналогичное при x < a, то есть при больших x поле u представляет собой суперпозицию волн бегущих от источника и к источнику, то говорят, что u удовлетворяет (парциальным) условиям излучения. Поскольку с физической точки зрения при возбуждении поля u током f волны должны бежать от источника, говорят, что u удовлетворяет физическим или главным условиям излучения, если в этой формуле стоят только главные значения корней g_n, то есть такие, что при l not  О (a²_n, +Ґ) верно неравенство

Бgn (l) > 0 ,

а при l О (a²_n, +Ґ) -

gn (l) > 0 .

Если конечное число корней имеет побочное значение, то и условия излучения называют побочными.

Предположим, что задача (4) имеет обобщенное решение u(x,y) О W  ₂¹(W) при данном l. Заметим, что его можно разложить в сходящийся по норме ряд по собственным функциям задачи

м п н п о D^ y+ a2 y = 0 u| ¶S = 0,

(5)

на сечении S, предварительно перенумеровав собственные значения этой задачи (так называемые квадраты частот отсечки) в порядке возрастания. Подставим тогда в (4) ряд

u = Ґ е n=1  un(x) yn(y),

(6)

и получим

umўў+(l-a2m)um = vm,

Решение этого уравнения при помощи функции Грина можно представить в виде:

um(x) =  i 2 gm (l) Ґ у х -Ґ  d xei gm (l) |x-x| vm(x) + Cm ei gm (l) x +Cmўe- i gm (l) x ,

(7)

где значение корня g_n (l) ² = l- a²_n может быть как главным так и побочным. [13]

При x > b имеет место представление

u = е  Cmўў 2 gm (l) ei gm (l) x + Cm ei gm (l) x +Cmўe- i gm (l) x

(8)

и аналогично при x < a

u = е  Cmўўў 2 gm (l) e- i gm (l) x + Cm ei gm (l) x +Cmўe- i gm (l) x,

(9)

то есть при больших x поле u представляет собой суперпозицию волн бегущих от источника, к источнику и плоских волн, бегущих вдоль волновода. С физической точки зрения при возбуждении поля u током v волны должны бежать от источника. Это условие означает, что в формуле (8), а значит и в (7), коэффициент C_m должен быть равен нулю, корень g_n принимает только главные значения, то есть такие, что при l not  О (a²_n, +Ґ) верно неравенство

Бgn (l) > 0 ,

а при l О (a²_n, +Ґ) -

gn (l) > 0 .

По тем же причинам, в формуле (9), а значит и в исходной формуле (7), следует взять Cў_m=0. В дальнейшим, однако, возникнет необходимость рассматривать случаи, когда конечное число из корней g_n имеет побочное значение, тогда условимся говорить, что определенная по формулам (6)- (7) функция u удовлетворяет побочным условиям излучения. Итак, удовлетворяющее главным или побочным условиям излучения решение задачи (4), если оно вообще существует, имеет вид

u = R0(l) v,

где

R0(l)= Ґ е n=1   i 2 gn (l) Ґ у х -Ґ  dxei gn (l) |x-x| (yn,   .  ) yn (y)

(10)

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1 Пусть v О L²(Wў) и в формуле (10) все корни g_n(l), начиная с некоторого n, имеют главное значение. Тогда ряд для R₀(l)v сходится по норме W  ₂¹(W) и является обобщенным решением задачи (4). Более того, в этом случае в окрестности любой точки l₀  not  = a²_n, найдется такое N, что N-ый остаток R₀^N ряда для R₀(l) принадлежит L(L²(Wў), W  ₂¹(W)) и регулярен там.

Замечание 1 Запись A О L(E, F) означает, что оператор A является ограниченным оператором, переводящим банахово пространство E в подмножество банахова пространства F. [14]

Замечание 2 В [2], [11] разбирался случай, когда v О C^Ґ₀(W). В работе [2] указано, что ряд для R₀ v при физическом выборе корней сходится равномерно в норме С, если v О C^Ґ₀(W) и поэтому является классическим решением задачи (4).

Пусть l принадлежат достаточно малой окрестности l₀. По условию значения g_n(l) становятся главными, начиная с некоторого номера, тогда найдется столь большое N, что Бg_n(l) > 0 при n і N. Но любая функция v О L²(Wў) может быть представлена в виде

v(x,y) = N-1 е n=1  (yn, v)L2(S) yn (y) + vў,

где vў - функция, ортогональная к y₁, ... y_N-1. Подстановка

u = N-1 е n=1   i 2 gn (l) Ґ у х -Ґ  ei gn (l) |x-x| (yn, v(x, h)) yn (y) + uў,

приводит к задаче

([D+ l] wў,   uў)L2(W) = (wў,  vў)L2 (W)     "wў О CҐ0(W)

(11)

У этой задачи существует решение из W  ₂¹(W).

В самом деле, в силу теоремы Рисса [15],[16] задача (11) в пространстве

{ u О W  21(W) :     (u,   yn) = 0,     n=1, ..., N-1 }

имеет вид

uў+ lA uў = H vў,

где A О L (W  ₂¹(W), W  ₂¹(W)) и H О L(L²(W), W  ₂¹(W)) - ограниченные эрмитовы операторы, причем для любой w О W  ₂¹(W)

(w, H v)W21=(w,v)L2 Ј ||w||L2||v||L2

и поскольку ||w||²_L² Ј 4 (diam S)² ||w||²_W2¹ (см. [17]), получается, что

|| H || Ј 2 diam S є h.

При неположительных l₀ существует резольвента (E+lA)^-1, регулярная в окрестности точки l₀. Поэтому справедлива оценка

(w, (E+lA)-1 H v)W21 Ј h ||(E+lA)-1||W21 ||v||L2 ||w||W21

Это означает, что в окрестности точки l₀

(E+lA)-1 H О L (L2(Wў), W  21(W))

Поэтому в этой окрестности существует решение последней задачи, именно:

uў = (E+lA)-1H vў

а значит, и решение задачи (4), которое, следовательно, имеет вид

u = N-1 е n=1   i 2 gn (l) Ґ у х -Ґ  ei gn (l) |x-x| (yn, v(x, h)) yn (y) + (E+lA)-1 H vў.

С другой стороны по доказанному оно представимо в виде R₀ v, поэтому

R0N(l) = (E+lA)-1 H

и следовательно, этот остаток является регулярной в окрестности l₀ оператор функцией, принадлежащей L (L²(Wў), W  ₂¹(W)).

Если же a²_N > l₀ > 0, то отсюда следует, что у задачи (4) имеются решения при l₀ + 0i и l₀ - 0i, и они стремятся друг к другу. Поэтому непрерывный спектр A начинается с a²_N, а собственных значений у него нет. (Ср. [1]) Значит, и при таких l₀ опять существует резольвента (E+lA)^-1, регулярная в окрестности точки l₀. Повторяя сказанное выше про комплексные l₀, видим, что опять

R0N (l) = (E+lA)-1 H О L(L2(Wў), W  21(W))

3  Сведение исходной задачи к интегральному уравнению.

Предыдущая теорема означает, что резольвента полого волновода является регулярной аналитической функцией на римановой поверхности F с точками ветвления a²_n. Весьма замечательно, что ту же риманову поверхность можно взять и для резольвенты исходной задачи.

В самом деле, пусть v О L²(Wў) удовлетворяет задаче

v - A(l) v = f,     где     A(l)=- l(q-1) R0 (l)

(12)

(здесь и далее под l подразумевается точка римановой поверхности F, поэтому теперь не требуется указывать, что всюду выбрана одна и та же ветвь R₀(l)). Положим

u = R0 (l) v,

тогда в силу теоремы 1

([D+ l] w, u) = ([D+ l] w, R0 (l) v) = (R0 (l)*[D+ l] w, v) =

= (w, v) = (w, - l[q-1]u + f),

то есть u есть обобщенное решение задачи (3). К тому же эта функция удовлетворяет главным или побочным условиям излучения в зависимости от выбора значения корней g_n в R₀(l). Таким образом для построения решения задачи (3), удовлетворяющего парциальным условиям излучения, достаточно разрешить задачу (12). Преимущество же задачи (12) состоит в следующем.

Теорема 2 Оператор A(l) является компактной голоморфной оператор-функцией на римановой поверхности F.

Пусть l₀ - любая регулярная точка поверхности F. Из теоремы 1 следует, что R₀(l) является суммой конечного числа интегральных операторов вида

i 2 gn (l) Ґ у х -Ґ  d xei gn (l) |x-x| (yn,   .   ) yn (y)

и остатка R₀^N (l) О L(L², W  ₂¹(W)), регулярного в окрестности l₀. В силу компактности носителя q-1 операторы

[q(x,y)-1][ 1/2]  i 2 gn (l) Ґ у х -Ґ  d xei gn (l) |x-x| (yn,   .   ) yn (y)

как и

[q(x,y)-1] [ 1/2]R0N (l)

принадлежат L(L²(Wў), L²(Wў)), являются регулярными в окрестности l₀ и, после домножения на компактный оператор [q(x,y)-1]^[ 1/2], становятся компактными, а следовательно то же верно и для их суммы A (l).

Из этой теоремы и мероморфной теоремы Фредгольма [18] следует, что для задачи (12) верна альтернатива: или при данном l задача

v - A(l) v = f

однозначно разрешима при любой f О L²(Wў), или l является собственным значением оператора A(l), то есть существует нетривиальное решение v О L²(Wў) уравнения

v - A(l) v = 0.

Прежде чем выяснить, как соотносятся эти собственные значения с собственными значениями задачи (3), условимся о следующем.

Определение 2 Точка e римановой поверхности F называется резонансом волновода, если существует решение u задачи

(Dw,   u)L2(W)+ e(w,   q u) L2(W) = 0     "w О CҐ0 (W)

(13)

удовлетворяющее условиям излучения, соответствующим данному листу f. Если эта точка принадлежит главному листу или его границе, то ее называют собственным значением волновода, а соответствующую функцию u - собственной функцией; функция u₁ называют присоединенный к u, если она является решением задачи

(Dw,   u1)L2(W)+ e(w,   q u1) L2(W) = -(w,   q u)     "w О CҐ0 (W)

Если же резонанс e О F не принадлежит главному листу и его границе, то его называют комплексным.

Замечание 3 Традиция называть резонансы, отличные от собственных значений, комплексными связана с тем, что, как показано в [11], все собственные значения волновода, лежащие на главном листе вещественны (более того положительны), а соответствующие им собственные функции принадлежат L²(W).

Пусть u О L²(W) - собственная функция волновода, отвечающая собственному значению e, лежащему на главном листе, тогда эта функция является классическим решением задачи (13), поэтому можно положить v = (D+ e) u є - e (q-1) u. Значит,

v + e (q-1) R0 v = (D+ e) u + e (q-1) u = 0,

то есть v - собственная функция оператора A. Верно и обратное.

Теорема 3 Если e О F - собственное значение оператора A(l), а v - соответствующая ему собственная функция, то собственное значение e является резонансом волновода.

Если e лежит на главном листе F, то оно является собственным значением волновода и его кратность как собственного значения оператора A(l), совпадает с числом линейно независимых собственных функция волновода.

Более того собственной функции v отвечает собственная функция волновода u=R₀(e) v , а функции v₁, присоединенному к собственной функции v оператора A(l), отвечает функция

u1 = R0(e) v1 + R0ў(e) v ,

присоединенная к собственной функции волновода u=R₀(e) v.

Заметим сначала, что если e - собственное значение оператора A, то существует не только собственная функция v О L²(Wў), удовлетворяющая задаче

v - A(e) v = 0,

но и u = R₀(e) v , являющееся обобщенным решением задачи (13). По определению это означает, что e является резонансом волновода.

Если e лежит на главном листе, то построенная выше функция u является собственная функция волновода, отвечающая собственному значению e.

Покажем, что функция

u1 = R0(e) v1 + R0ў(e) v

является присоединенной к u. Для этого заметим, что при всех w О C^Ґ₀ (W) во-первых,

((D+e q) w,  R0 v1) = ((D+e) w,  R0 v) +(w,  e (q-1) R0 v) =

= (w,  v1 + e(q-1)R0 v1) = (w, Aў(e) v) =

= -(w, (q-1)R0 v + e (q-1)R0ўv),

а во-вторых, в силу

((D+ l) w, R0(l) v) = (w, v)

верно соотношение

((D+ l) w, R0ўv) = - (w, R0 v)

и поэтому

((D+ eq)w,  R0ўv)=(w,  e(q-1)R0ўv - R0 v).

Складывая эти равенства, получим

((D+ eq) w,  u1) = -(w, (q-1)R0v + R0v)=-(w,  q u).

Значит, u₁ действительно является присоединенной функцией.

Однако, из самосопряженности оператора D+ lq при вещественных l следует, что у этих собственных функций нет присоединенных. В самом деле, имеем

(u,(D+ e q) u1) = ((D+ e q)u, u1) = 0 = -(u, q u)  not  = 0,

что невозможно. Но лежащее на главном листе e неизбежно вещественно, как отмечалось выше. Значит присоединенной к u функции не существует, а следовательно, не существует и v₁, поэтому кратность собственного значения e оператора A равна количеству его линейно независимых собственных функций. По предыдущему между этими функциями и собственными функциями волновода существует взаимно однозначное соответствие, поэтому кратность равна числу его линейно независимых собственных функций.

4  Возмущения собственных значений волновода.

Пусть при заполнении типа вставки q(x,y) є q₀(x) имеется однократное вложенное собственное значение e₀ О (a²₁, a²₂), тогда соответствующая ему собственная функция имеет вид u(x) y_M(y) при некотором M > 1 [4]. Возмутим заполнение малой добавкой eq₁(x,y), где параметр e характеризует малость, то есть рассмотрим волновод с заполнением q(x,y) = q₀(x) + eq₁(x,y). Тогда в силу двух последних теорем точка e₀ главного листа римановой поверхности F является однократным собственным значением оператора A(l, e) = - l(q₀-1 + eq₁) R₀(l) при e = 0. В окрестности точки (e₀, 0) этот оператор регулярен. Поэтому при достаточно малых e у этого оператора имеется собственное значение

e(e) = e0 + e1 e+ ... = P(e)

и ему отвечает собственная функция v(e), разложимая в равномерно по норме L²(Wў) сходящийся ряд

v(e) = v0 + v1 e+ ... = P(e)

(Здесь и далее произвольный ряд по целым положительным степеням e будем обозначать как P(e). ) Обоснование этого утверждения дано в приложении.

Поскольку точка l = e₀ лежит на границе двух листов поверхности F, то лишь ее часть с Бl і 0 принадлежит главному листу. Поэтому собственное значение e(e) оператора A является собственным значением волновода, если Бe(e) і 0, в противном случае оно является комплексным резонансом. Так как на главном листе все собственные значения вещественны, то Бe(e) = 0. Это равенство в частности означает, что e₁ - вещественное число, то есть что в первом порядке теории возмущений e(e) остается вещественным. Несмотря на это, справедливо следующее утверждение.

Теорема 4 Существуют такие кусочно-непрерывные вещественные возмущения q₁(x,y) исходного заполнения q₀(x), что e(e) с ростом e становится комплексным резонансом.

Для того, чтобы e(e) не было собственным значением волновода, достаточно, чтобы оно не было вещественным. Предположим противное, что именно, e(e) - вещественное число, тогда оно лежит на границе главного листа и, следовательно, является собственным значением волновода, которому в силу теоремы 2 соответствует собственная функция

u(e) = R0(e(e)) v(e) О L2.

Как и в доказательстве теоремы 1 в окрестности точки l = e₀ резольвенту R₀(l) можно представить в виде суммы оператора

B =  i 2 g1 (l) Ґ у х -Ґ  dxei g1 (l) |x-x| (y1,   .  ) y1 (y)

и R₀¹(l) О L(L²(Wў), W  ₂¹(W)), регулярного в окрестности l = e₀. По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда второй член

R01(e(e)) = P(e) О L(L2(Wў), W  21(W))

Относительно первого заметим, что поскольку u(e) - собственная функция волновода, отвечающая собственному значению, лежащему на главном листе, то

(u, y1)L2(S) = 0     "x  not  О Wў

Поэтому если h(x) - C^Ґ₀-ступенька, равная 1 на всем Wў, то

h(x)B(e(e))v(e) = B(e(e))v(e)

Но h(x)B(l) - интегральный оператор, ограниченный по норме W₂¹, и регулярный в рассматриваемой окрестности l = e₀, поэтому и h(x)B(e(e))v(e) = P(e). Значит, собственная функция u(e) может быть разложена в ряд по степеням e, сходящийся равномерно по норме W₂¹.

Умножив (3) на y₁(y) и проинтегрировав по y по всему сечению S, получим

d2 (u, y1) dx2 + e (q u, y1) - a21 (u, y1) = 0

Подставим сюда ряды для e(e) и u(e), тогда в первом порядке, обозначив

(u1, y1) = u1,1(x),

получим

d2 u1,1 dx2 + [e0 q0(x) - a21 ] u1,1 = e0 (q1 u0, y1)

Для того, чтобы u(x,y;e) принадлежало W  ₂¹(W) необходимо, чтобы и u_1,1(x) О L²( R¹). Но у уравнения

d2 u1,1 dx2 + [e0 - a21 ] u1,1 = e0 {(q1 u0, y1) - [q0(x)-1] u1,1}

имеется решение из L² не при любых q₁. Но это не согласуется с предположением о том, что u - собственная функция волновода.

Коротко доказанную теорему можно сформулировать так: вложенные собственные значения волновода уходят в общем случае в комплексные резонансы. Отметим, что это - специфическое свойство вложенных собственных значений, поскольку изолированные собственные значения при таких возмущения сохраняются в силу теоремы Реллиха-Като. Это свойство довольно интересно, поскольку более привычно когда собственное значение уходит в резонанс лишь при возмущении q₀ комплексной добавкой, то есть при введении затухания. Однако в [19] это свойство вложенных собственных значений было проиллюстрировано простым примером.

К сожалению сделать на основании этой теорему вывод о существовании или несуществовании вложенных собственных значений при заполнениях, близких к q₀(x), нельзя, поскольку при построенном q₁ исчезает лишь одно вложенное собственное значение, а не все, и на вещественную ось могут выходить комплексные резонансы. Оба эти возражения могли бы быть легко отброшены, если бы A был конечномерный и его спектр имел бы простой вид. Поэтому можно лишь утверждать, что структуры совокупности вложенных собственных значений при заполнении типа вставки и при заполнении другого вида совсем не похожи, и поэтому многочисленные примеры мало что проясняют относительно устройства точечного спектра волновода.

A   Приложение: теория возмущений для собственных значений компактной оператор-функции.

Систематическое исследование аналитических свойств компактной оператор-функции (операторного пучка) A(l), регулярной (голоморфной) в некоторой области B, и его резольвенты было предпринято в [18] (см. также [20]). Развитие теории возмущений для квантово-механических задач, заставило изучить зависимость полюсов резольвенты A(l, e) от параметра возмущения e [7],[8],[9]. Однако в этих работах рассматривался случай, когда A(l, e) = V(e)R₀(l) и R₀(l) имеет в области B полюс первого порядка конечного ранга.

Позже задачи теории дифракции привели к необходимости изучения зависимости полюсов резольвенты регулярной в B функции A(l, e) от параметра e [12]- [11]. В [11] было показано, что в окрестности полюса резольвенты A(l, 0) лежит полюс резольвенты A(l, e), однако до настоящего момента оставалось неясным зависит ли этот полюс от e аналитически и сохраняется ли его кратность. Неразрешенность этого вопроса не давала возможности применять теорию возмущений. Поэтому, в частности, хотя и построены многочисленные примеры волноведущих систем, обладающих вложенными собственными значениями, [1]-[5], пока не ясно, сохраняться ли эти собственные значения при малых изменениях параметров систем [3], [6].

Для изучения зависимости полюсов от e обычно строят модифицированный определитель Фредгольма d(l,e) для оператора A(l,e) и затем на основании подготовительной теоремы Вейерштрасса доказывют, что решение l(e) уравнения d(l,e)=0 может быть разложено в ряд по дробным степеням e [7].

Однако подавляющее большинство теорем теории аналитических функций, как и их доказательства переносится и на теорию оператор-функций A(l, e) [14]. Поэтому естественно ожидать, что тоже верно и для подготовительной теоремы Вейерштрасса. Чтобы понять, как следует изменить ее формулировку разберем сначала случай конечномерного гильбертова пространства, то есть случай, когда A является матрицей.

Итак, рассмотрим в гильбертовом пространстве H оператор A(l,e), голоморфный в области B  l-плоскости и в области e < e₀. Его резольвента R(l,e), заданная соотношением

[E - A(l,e)][E + R(l,e)] = E

согласно [18] является компактным оператором, мероморфным в указываемых областях, причем ее полюса являются собственными значениями оператора A(l,e). Предположим, что при e = 0 в области B имелось только одно собственное значение e₀ кратности N. Обозначим далее лежащие в B полюса при заданном e как { e⁽ⁿ⁾(e)} и попытаемся изучит их как функции от e.

A.1  Теория возмущений для собственных значений оператора A(l,e) в конечномерном пространстве.

Если гильбертово пространство H является конечномерным, то { e⁽ⁿ⁾(e)} являются нулями определителя

a (l,e) = |E - A (l,e)|,

очевидно голоморфного в рассматриваемых областях. Следуя доказательству A. Картана подготовительной теоремы Вейерштрасса [21], [22], заметим сначала, что в силу теоремы о логарифмическом вычете интеграл

s0 (e) =  1 2 pi у х C  d l     ¶ a ¶l (l,e) a-1 (l,e);

по контуру C, проведенному в близи границы B, всегда равен натуральному числу N(e), которое означает число нулей a (l,e), лежащих внутри C. (Каждый нуль считается столько раз, какова его кратность.)

C другой стороны s₀ (e) - аналитическая функция от e, регулярная в нуле, поскольку при l О C найдется такое eў₀, что для всех e Ј eў₀ оператор A(l, e) не имеет собственных значений и следовательно

| a(l, e)| і d > 0.

Но такая функция может принимать только целые значения тогда и только тогда, когда она тождественно равна некоторой константе N(0)=N. Поэтому в области B при всех достаточно малых e имеется ровно N собственных значений.

Чтобы выразить { e_n(e)} как функции e, образуем аналитические функции

sn (e) =  1 2 pi у х C  ln d   l    ¶ a ¶l (l,e) a-1 (l,e)     n=1, ... N;

При фиксированном e функция

¶ a ¶l (l,e) a-1 (l,e)

внутри C имеет простые полюса в нулях определителя e^(m)(e) c вычетами, равными кратности этих нулей, поэтому

sn (e) = N е m=1  [ e(m)(e) ]n

Поэтому по формулам Ньютона можно образовать уравнение

eN + a1(e) eN-1 + ... + aN (e) = 0

коэффициенты которого являются рациональными функциями от s_n, а корни - нулями a, лежащими внутри C.

Остается заметить, что функции s_n(e) можно рассчитать и не вычисляя определитель. Именно, поскольку

¶ R ¶l = [E+ R]  ¶ A ¶l [E+ R]

в силу формулы Якоби определитель

¶|E+ R| ¶l = Sp ж и  ¶ A ¶l [E+ R] ц ш |E+ R|

и поэтому в силу a = |E+ R|^-1

¶ a ¶l = - Sp ж и  ¶ A ¶l [E+ R] ц ш a

откуда

sn (e) = -  1 2 pi у х C  ln dl  Sp ж и  ¶ A ¶l [E+ R] ц ш     n=1, ... N

(14)

Таким образом для конечномерного гильбертова пространства H доказана следующая теорема.

Теорема 5 Пусть в конечномерном гильбертовом пространстве H компактный оператор A(l,e), голоморфный в области B  l- плоскости и в области e < e₀, имеет при e = 0 в области B только одно собственное значение e₀ кратности N. Тогда его собственные значения { e⁽ⁿ⁾(e)} удовлетворяют алгебраическому уравнению

eN + a1(e) eN-1 + ... + aN (e) = 0

где

a1 = - s1,     an =  (-1)n n! к к к к к к к к к к к s1 1 0 0 ј 0 s2 s1 1 0 ј 0 s3 s2 s1 1 ј 0 : : : : ··· : sn sn-1 sn-2 sn-4 ј s1 к к к к к к к к к к к

а s_n определяются по формуле (14), причем функции s_n(e) = P(e).

(Здесь и далее, как это принято в вейерштрассовской теории функций, P(e) означает произвольный ряд по целым неотрицательным степеням e [23], [24].)

Весьма замечательно, однако, что и в случае бесконечномерного гильбертова пространства, когда определителя a вообще не существует, функции s_n (e) существуют и являются аналитическими и теорема 5 остается в силе.

A.2  Теория возмущений для собственных значений оператора A(l,e) в бесконечномерном пространстве.

Основные понятия теории аналитических функций прямо переносятся на случай оператор-функций, если понимать всюду модуль как норму [14]. Рассмотрим оператор-функцию F(l, e), равномерно ограниченную константой M и регулярную в области e Ј r при всех l О C. Ясно, что можно определить функцию

f(e) = у х C  F(l, e) d l

Покажем, что эта функция регулярна в нуле. В силу теоремы Коши [14]

F(l, e) = Ґ е n=0  Fn(l) en

где

Fn(l) = у х |e|=r    F(l, e) en+1 d e

Поэтому

|| Fn(l) || Ј  M rn

а значит ряд

Ґ е n=0  у х C  Fn(l) d l  en

мажоруется геометрическим рядом

Ґ е n=0  |C|  M rn |e|n = |C| M  1 1-|e|/r

и является равномерно и безусловно сходящимся при |e| < r. Наконец,

|| f(e) - N е n=0  у х C  Fn(l) en dl|| = || у х C  d l Ґ е n=N+1  Fn(l) en || Ј |C|M(  |e| r )N  1 1-|e|/r ,

поэтому ряд

Ґ е n=0  у х C  Fn(l) d l  en

стремиться к f(e) равномерно и безусловно при |e| < r, то есть эта последняя функция действительно является регулярной в нуле.

С тем, чтобы распространить теорему 5 на бесконечномерный случай, рассмотрим оператор-функцию

P (e) = -  1 2 pi у х C  d   l   ж и  ¶ A ¶l [E+ R] ц ш

(15)

и изучим некоторые ее свойства.

Теорема 6 Оператор P(e) является ортопроектором, зависящим аналитически от e в окрестности нуля. Его след s₀(e) есть число собственных значений оператора A(l, e), лежащих внутри C, которое не зависит от e.

Покажем сначала, что P(e) зависит аналитически от e в окрестности нуля. Заметим, что при l О C и e Ј e₀/2 функции

A(l,e)     и     R(l,0)

равномерно ограничены. Из соотношения Гильберта

(E+ R (l,e)) (E- ( A(l,e)- A(l,0)) (E+ R (l,0))) = (E+ R (l,0))

видно, что и

||E+ R (l,e)|| Ј || E+ R (l,0)|| ||(E- ( A(l,e)- A(l,0)) (E+ R (l,0)))-1||

Но можно взять столь малое r, что при всех e < r

||( A(l,e)- A(l,0)) (E+ R (l,0))|| Ј  1 2

тогда

||(E- ( A(l,e)- A(l,0)) (E+ R (l,0)))-1|| Ј  1 1-1/2 =2

Значит, подынтегральное выражение в (15) равномерно ограничено и регулярно при e Ј r, поэтому как и утверждалось, P(e) регулярна в нуле.

Замети теперь, что P не изменится, если в качестве круга C взять другой Cў, отличающийся от первого достаточно мало и вложенный в него. Тогда

P2 (e) = ж и  1 2 pi ц ш 2   у х C  d   l   у х Cў  d   m    ¶ A ¶l [E+ R(l, e)]  ¶ A ¶m [E+ R(m, e)]

Но

R(l, e) - R(m, e) = [E + R(l, e)][(E - A (l, e))- (E - A (m, e))] [E + R(m, e)] =

= [E + R(l, e)]  ¶ A ¶m [E + R(m, e)] (m-l) + (m-l)P(m-l)

и поэтому

[E + R(l, e)]  ¶ A ¶m [E + R(m, e)] =   E + R(l, e) m-l -   E + R(m, e) m-l +P(m-l)

а значит,

P2 (e) = ж и  1 2 pi ц ш 2   у х C  d   l   у х Cў  d   m    ¶ A ¶l ж и   E + R(l, e) m-l -   E + R(m, e) m-l +P(m-l) ц ш

Однако поскольку l О C не лежит внутри Cў

у х Cў  d   m    ¶ A ¶l ж и   E + R(l, e) m-l +P(m-l) ц ш = 0

а

ж и  1 2 pi ц ш 2   у х C  d   l   у х Cў  d   m    ¶ A ¶l   E + R(m, e) l-m = -  1 2 pi у х Cў  d   m    ¶ A ¶m [E + R(m, e)] = P(e)

Поэтому P² = P.

Значит, собственные значения этого оператора равны нулю или единицы. В силу того, что R имеет в качестве своего вычета лишь конечномерные операторы, то таков и P. Поэтому при любом e < e₀ след SpP(e) равен натуральному числу N(e) или нулю. В [18] показано, что это число совпадет с кратностью собственных значений, лежащих внутри C, и с размерностью P(e).

Остается доказать, что и SpP(e) является аналитической функцией от e, регулярной в нуле. Воспользуемся с этой целью леммой Фань Цуй [25]: для любой ортогональной системы {f_j }₁ⁿ и любого компактного оператора A верна оценка

n е j=1  |(A fj,   fj)| Ј n е j=1  sj(A)

Из нее следует, что

Ґ е j=1  |(P fj,   fj)| Ј Ґ е j=1  sj(P)

Поскольку при любом e размерность корневого пространства конечна, N(e) < N₀ при всех e < e₀. Норму ||P(e)|| тоже можно оценить равномерно. В самом деле, в силу теоремы Шура можно найти такой ортонормированный базис, в котором конечномерный P имеет на главной диагонали 1 и нули. Тогда

(P fj,   fj) = 1   или   0

поэтому для любого f О H

|(P f,   f)| Ј ||f||2

откуда ||P|| Ј 4 [16].

Поскольку P - конечномерной оператор размерности < N₀, то существует не более N₀ чисел s_j (P)  not  = 0 и все эти числа меньше || P(e)|| < P₀. Поэтому

Ґ е j=1  |(P fj,   fj)| Ј 4 N0

По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда из этой оценки следует, что ряд

s0(e) = Ґ е j=1  (P fj,   fj) = P (e)

Но это значит, что s₀(e) непрерывна и в тоже время принимает только целые значения, это возможно только если s₀(e) є N. Но с другой стороны при фиксированном e подынтегральная функция в выражении для P имеет полюса только в точках e^(m)(e) и с вычетами P^(m), поэтому

P (e) = е P(m)

По доказанному выше SpP^(m) = N_m (e) - кратность собственного значения e^(m)(e), поэтому

SpP (e) = е Nm

то есть число собственных значений, лежащих внутри C остается неизменным.

Изучим теперь некоторые свойства оператора

Pn (e) = -  1 2 pi у х C  d   l  ln  ¶ A ¶l [E+ R]

(16)

При фиксированном e подынтегральная функция имеет полюса только в точках e^(m)(e) и с вычетами P^(m), поэтому

Pn (e) = е (e(m)(e))n P(m)

По теореме 6 SpP^(m) = N_m (e) - кратность собственного значения e^(m)(e), поэтому как и в конечномерном случае

SpPn (e) = N е m=1  (e(m)(e))n

Для доказательства теоремы 5 остается заметить, что в силу леммы Фань Цуй верно

Ґ е j=1  |(Pn fj,   fj)| Ј Ґ е j=1  sj(Pn)

Поскольку оператор P_n конечномерный, то существует не более N₀ чисел s_j (P)  not  = 0 и все эти числа меньше || P_n(e)|| . Оценить эту норму равномерно можно, воспользовавшись тем, что по доказанному в теореме 6

||P(m)|| Ј 4

ибо тогда

||Pn (e)|| Ј е |e(m)(e)|n ||P(m)|| Ј 4 N0 (e0 + dist B)n

Значит ряд SpP_n (e) сходится равномерно и по теореме Вейерштрасса о суммировании ряда P_n(e) = P (e), что и завершает доказательство теоремы 5, которая теперь формулируется так:

Теорема 7 Пусть в гильбертовом пространстве H компактный оператор A(l,e), голоморфный в области B  l- плоскости и в области e < e₀, имеет при e = 0 в области B только одно собственное значение e₀ кратности N. Тогда его собственные значения { e⁽ⁿ⁾(e)} при заданном e < e₀ удовлетворяют алгебраическому уравнению

eN + a1(e) eN-1 + ... + aN (e) = 0

где

a1 = - s1,     an =  (-1)n n! к к к к к к к к к к к s1 1 0 0 ј 0 s2 s1 1 0 ј 0 s3 s2 s1 1 ј 0 : : : : ··· : sn sn-1 sn-2 sn-4 ј s1 к к к к к к к к к к к

а функции s_n(e) определяются формулами

sn (e) = -  1 2 pi у х C  ln d   l  Sp ж и  ¶ A ¶l [E+ R] ц ш     n=1, ... N.

и являются аналитическими функциями от e, регулярными в нуле.

Замечание 4 Тот факт, что в окрестности невозмущенного собственного значения имеется хотя бы одно собственное значение, был указан в [12].

Отметим, что формулы для s_n удобны для непосредственного вычисления поправок теории возмущений, если известна R(l, 0) є R₀(l). В самом деле, коль скоро

¶ R ¶e = [E+ R]  ¶ A ¶e [E+ R]

верно

snў(0) = -  1 2 pi у х C  ln d   l  Sp ж и  ¶2 A ¶l¶e [E+ R] +  ¶ A ¶l [E+ R]  ¶ A ¶e [E+ R] к к e = 0  ц ш

и так далее.

A.3  Первый порядок теории возмущений.

Из теоремы 7 следует, что все собственные значения, лежащие в области B можно представить в виде одного или нескольких рядов

e(m) (e) = e0+ e1(m) e[ 1/(pm)]+... = P (e[ 1/(pm)]),     m = 1, ... M

причем е_m=1^Mp_m = N. (Подробное и полное доказательство этого факта содержится в [23].)

Характерной особенностью операторов A, возникающих в задачах математической физики, состоит в том, что e₀ - число вещественное и

Бe(m) (e) Ј 0

Отсюда следует, что ряды для e^(m) (e) должный иметь весьма специальный вид

e(m)(e) = e0 + epm e+ ... + e2Mm pme2Mm+e2Mm pm+1e2Mm+[ 1/(pm)]+ ...

где e₀ , e_pm, ..., e_(2Mm-1)pm - все вещественные и Бe_{2Mm pm} < 0 или p_m = 1 и все коэффициенты вещественны, где M_m - некоторое натуральное число. [8]. Поэтому верна теорема.

Теорема 8 Пусть в гильбертовом пространстве H задан компактный оператор A(l,e), голоморфный в области B  l- плоскости и в области e < e₀, и пусть все его собственные значения в указанных областях удовлетворяют условию

Бe (e) Ј 0

Пусть, далее, при e = 0 в области B имелось только одно вещественное собственное значение e₀ произвольной кратности N. Тогда при всех достаточно малых e все собственные значения этого оператора, лежащие в B, представимы в виде рядов

e0 + ep e+ ... + e2M p e2M+e2M P (e[ 1/p])+ ...

где M - некоторое натуральное число, e₀ , e_p, ..., e_(2M-1)p - все вещественные и Бe_2Mp < 0 или p = 1 и все коэффициенты вещественны.

Для оправдания формального применения теории возмущений в первом порядке (не зависимо от кратности невозмущенного собственного значения) остается заметить следующее. Пусть v₀ О H - собственная функция сопряженного оператора A^* (l, 0), отвечающая e₀ и имеющая максимальный порядок присоединения m, то в силу выражения для главной части резольвенты из [18] функция

u(e) =  1 2 pi у х C  d   l  (l-e0)m R (l, e) v0

является собственной функцией оператора A (l, 0), отличной тождественно от нуля и зависящей от e аналитически.

Теорема 9 В предположениях теоремы 8 в окрестности e₀ не только одно из собственных значений A(l, e) допускает разложение

e(e)=e0 + e1 e+ O(e1+[ 1/p]),

но и соответствующая ему собственная функция представима в виде

u(e) = u0 + u1 e+ O(e2).

Замечание 5 Особо следует отметить случай, когда при e = 0 оператор A имеет ровно N собственных функций u⁽ⁿ⁾₀. В этом случае по каждой собственной функции сопряженного оператора можно построить N функций

u(n) = P(e) v(n)0 = u(n)0 + u(n)1 e+ ...

являющихся собственными функциями A. Каждой из них отвечает собственное значение представимое в виде

e(n) (e)=e0 + e1(n) e+ O(e1+[ 1/p]).

Эта теорема полностью оправдывает формальное применение теории возмущений в первом порядке.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 00-01-00111) и программы "Университеты России" (код 015.03.02.001)

Литеpатуpа

[1]

Jones D.S. The eigenvalues of С² u + lu when the boundary conditions are on semi-infinite domains. // Proc. Camb. Phil. Soc., 49 (1954), p. 668-684.

[2]

Werner P. Resonanzphänomene in akustischen und elektromagnetischen Wellenleitern. // Z. angew. Math. Mech. 67 (1987), N  4, p. 43-54.

[3]

Davies E.B., Parnovski L. Trapped modes in acoustic waveguides. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 51 (1998), p. 477-492.

[4]

Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О вещественных резонансах в волноводе с неоднородным заполнением. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2001, N  5. C. 23-25.

[5]

Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О ловушечных модах волноведущих систем. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2001, N  6. C. 69-70.

[6]

Малых М.Д. О поведении вложенных в непрерывный спректр собственных значений при изменении заполнения волновода. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2002, N  1. C. 61-62.

[7]

Howland J.S. Puiseux series for resonances at an embedded eigenvalue. // Pacific J. Math., 55 (1974), N  1, p. 157-176.

[8]

Howland J.S. On the Weinstein-Aronszajn Formula. // Arch. Rational Mech. Anal., 39 (1970), p. 323-339.

[9]

Albeverio S., Hoegh-Korn R. Perturbation of resonances in quantum mechanics. // J. Math. An. Appl., 101 (1984), p. 491-513.

[10]

Goldstein C.I. The singularities of the S-matrix and Green's function associated with perturbation of -D acting in a cylinder. // Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1973), p. 1303-1307.

[11]

Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. М.: Наука, 1987.

[12]

Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М: Мир, 1984.

[13]

Гильберт Д., Курант Р. Методы математической физики. Т.1. М-Л.: ГИТТЛ, 1951, Т.2. М.: ГИТТЛ, 1945.

[14]

Heuser H. Funktionalanalisis. Stuttgart: B.G. Teubner, 1975.

[15]

Ладыженская О.А. Краевые задачи матемтической физики. М.: Наука, 1973.

[16]

Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Räumen. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1969.

[17]

Hellwig G. Differentialoperatiren der mathematischen Physik. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer, 1964.

[18]

Келдыш М.В. Избранные труды. Математика. М.: Наука, 1985.

[19]

Малых М.Д. Поведение вложенных собственных значений при малых возмущениях. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2002, N  3.

[20]

Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. T.4. М.: Мир, 1982.

[21]

Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: ГИФМЛ, 1962.

[22]

Гауерт Г., Реммерт Р. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.

[23]

Weierstrass K. Mathematische Werke. Bd. 4. Vorlesungen über die Theorie der Abelschen Transcendenten. Bearb. von G. Hettner und J. Knoblauch. Berlin: Mayer&Müller, 1902.

[24]

Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. М.-Л.: ГТТИ, 1933.

[25]

Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.