"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 7 , 2000

оглавление

дискуссия

СЛУЧАЙНЫЕ ПОТОКИ ИМПУЛЬСОВ С ЗАДАННЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Голик Ф.В.
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Получена 6 июля 2000 г.

Исследуются случайные потоки импульсов с независимыми длительностями импульсов и пауз и постоянной амплитудой. Сформулировано требование к автоковариационной функции потока (АКФ) – АКФ монотонно убывает на интервале заданной длины. Доказано существование потоков, удовлетворяющих этому требованию, и решена задача их синтеза. Определены характеристики потоков и проведена их классификация. Синтезированные потоки могут найти применение в асинхронных системах передачи информации с вероятностным разделением каналов, в радиолокационных системах с перестраиваемыми параметрами, а так же в других системах, эффективность функционирования которых повышается при уменьшении корреляционной связи между импульсными воздействиями.

Аналогичные требования предъявляются к потокам, используемым в качестве управляющих сигналов в радиолокационных системах с перестраиваемыми параметрами.

,                                                                         (1)

где

,

,

-математические ожидания длительностей импульсов и пауз соответственно; a(s), b(s) - изображения плотностей распределения длительностей импульсов a (x) и пауз b (x).

,                                                                                     (2)

где d - постоянный коэффициент, а y - некоторая функция a(s).

Поток, изображение АКФ которого задано выражением (2), будем называть y ,a -потоком, а плотность распределения a (x) - порождающей.

1) a (x) - финитная функция, заданная на и равная 0 при ;

2) r (t) - нормированная АКФ, отличная от 0 на и равная нулю при , n=1,2….

3) r (t) монотонно убывает на интервале .

Поток, для которого выполняются условия 2), 3) обладает "хорошей" АКФ. Задача синтеза потока с заданными корреляционными свойствами будет решена, если удастся найти функцию y .

Доказана теорема, утверждающая, что условия 2) и 3) выполняются тогда и только тогда, когда выполняется условие 1) и функция y  равна:

.                                                             (3)

.                                              (4)

,

где , -i-кратная свертка порождающей плотности распределения.

Свойства и характеристики y ,a -потоков

Если упорядочить множители из формулы (3) так, что для коэффициентов (4) справедливы соотношения

,

то АКФ y , a -потока монотонно убывает. Действительно, производная нормированной АКФ неположительна во всей области определения:

.

Более того, из выражения для производной видно, что она остается неположительной независимо от выполнения условия 1) – финитности порождающей плотности распределения. Отсюда следует, что АКФ y ,a -потока монотонно убывает на при выполнении условия 1) либо на интервале [0,¥ ), если 1) не выполняется.

Важной характеристикой потока является время корреляции. Можно показать, что время корреляции y ,a -потока равно:

,                                                       (5)

где - начальный момент второго порядка длительности импульсов потока, а

Поток случайных импульсов полностью задан, если известны плотности распределения длительностей импульсов и пауз. Плотность распределения импульсов a (x) известна, а плотность длительности пауз b (x) можно найти по ее изображению b(s), которое достаточно просто определяется на основании соотношений (1), (2) и (3):

,                                                                                           (6)

Поскольку <1, то выражение (6) представимо бесконечной геометрической прогрессией. При этом нахождение оригинала плотности распределения b (x) в большинстве случаев не вызывает затруднения.

На основании выражения (6) можно найти числовые характеристики длительности пауз q:

математическое ожидание:

дисперсия ,

где D[t ] – дисперсия длительности импульсов потока.

Коэффициенты можно рассматривать как вероятности некоторого дискретного распределения, удовлетворяющего следующим условиям:

Этим требованиям удовлетворяют дискретное равномерное и геометрическое распределения. Для пуассоновского и биномиального законов необходимо наложить ограничения на параметры. Таким образом, можно синтезировать y ,a -потоки с заданным распределением коэффициентов . Приведем выражения для основных характеристик некоторых из таких потоков.

Равномерный y ,a -поток:

Геометрический y ,a -поток:

Пуассоновский y ,a -поток:

y , a -потоки с минимальным временем корреляции

Из соотношения (5) следует, что при прочих равных условиях время корреляции принимает минимальное значение при n=1.

, ,                                                         (7)

                                                                                                                   (8)

.                                                                            (9)

Из выражения (9) видно, что плотность распределения длительности пауз b (x) равна смеси k-кратных сверток порождающей плотности a (x) с весами, равными вероятностям геометрического распределения. Это дает основание называть такой поток y ,a -геометрическим.

Рассмотрим наиболее интересные с практической точки зрения частные случаи потоков при различных порождающих плотностях a .

1.При постоянной длительности импульсов () получаем d -геометрический поток с нормированной АКФ при и r (t)=0 при (см. [3]) и

.

Время корреляции равно .

2. Если импульсы потока состоят из случайного числа k+1 блоков фиксированной длительности (что характерно для систем передачи информации), то порождающая плотность равна

.

В частном случае при биномиальном распределении , получаем следующее выражение для плотности распределения пауз:

.

Здесь , m - параметры распределения.

,

где .

3. Пусть порождающая функция a (x) - произвольная плотность распределения неотрицательной случайной величины. Зададим плотность распределения длительности импульсов выражением:

.

.

При этом АКФ в точности совпадает с АКФ a -геометрического потока (7). Потоки с такими "симметричными" распределениями длительностей импульсов и пауз будем называть двусторонними a -геометрическими [4].

Как следует из выражения (2) АКФ потока зависит от функции y , которая в свою очередь определяется совокупностью множителей (или коэффициентов из (3)) и их количеством n. Кроме того, АКФ зависит от порождающей плотности распределения a . Поэтому y ,a -потоки можно классифицировать:

• по числу n множителей ;
• по виду распределения коэффициентов ;
• по виду порождающей плотности распределения a .

При n>1 различают потоки с произвольной совокупностью множителей и с коэффициентами , распределенными по конкретному закону.

При n=1 различают односторонние и двусторонние a -геометрические потоки. Они имеют одинаковые АКФ, однако отличаются числовыми характеристиками длительностей импульсов и пауз.

Порождающую плотность распределения a можно классифицировать по протяженности области определения. Если a определена на интервале конечной длины , то АКФ потока отлична от 0 на лишь на интервале и монотонно убывает в пределах этого интервала. Если порождающая плотность распределения a не равна нулю на [0,¥ ), то и АКФ обладает тем же свойством и при этом монотонно убывает во всей области определения.

Полученные результаты могут быть использованы при оптимизации процедуры стохастического временного разделения каналов в импульсных асинхронных системах передачи информации. В частности, реализация предложенных методов позволила существенно повысить эффективность систем вторичной радиолокации и бортовых систем предотвращения столкновений самолетов в воздухе. Кроме того, синтезированные потоки могут с успехом применяться и в других технических системах, эффективность функционирования которых повышается при уменьшении корреляционной связи между импульсными воздействиями.

1. Голик Ф.В. Многомерные импульсные потоки в теории асинхронных радиотехнических систем //Радиотехника. - 1991. - с. 18-19.

2. Седякин Н.М. Элементы теории случайных импульсных потоков. М.: Сов. радио, 1965.

Автор: Голик Феликс Валентинович, профессор кафедры "Радиосистемы" Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого, e-mail: gfv@info.novsu.ac.ru

оглавление

дискуссия