При разработке интеллектуальных средств измерений, контроля и диагностики возникают задачи автоматического распознавания и классификации объекта исследований, чаще всего представленного некоторой совокупностью выборочных значений, например, временным рядом наблюдений. В случае, когда исходные данные носят случайный характер, распознавание заключается в идентификации вида распределения вероятностей этих данных, так как именно знание этой стороны структуры входной информации позволяет выбрать оптимальные алгоритмы ее дальнейшей обработки [1]. Современные методы идентификации распределений вероятности, подробный обзор которых представлен в работе [2], отличаются значительным разнообразием и используют для формирования критериев распознавания методы теорий вероятности и информации.

В основе эмпирических методов фрактального анализа лежит, так называемый метод Херста или (R/S) – метод [3], ориентированный на выявление и оценку нестационарных компонент случайного процесса. Занимаясь изучением динамики стока рек, Херст предложил эмпирическую модель, обобщающую и классифицирующую многие другие природные явления, в виде зависимости отношения размаха R накопленного отклонения от среднего к среднеквадратическому отклонению S, от времени наблюдения (или объема выборки N):

где: A – некоторая постоянная; Н – показатель Херста. В последствии, Бенуа Мандельброт, на основе анализа обобщенного броуновского движения, показал, что возможные значения показателя Херста лежат в диапазоне H=(0..1) и их можно использовать в качестве классификационного параметра исследуемого процесса следующим образом. Если Н<0.5, то процесс обладает знакопеременной тенденцией и называется антиперсистентным. Если Н>0.5, то процесс относится к классу персистентных, т.е. сохраняющих тенденцию к возрастанию или убыванию. При Н=0.5 имеет место случай, соответствующий классу стационарных случайных процессов.

Знание параметра Н позволяет оценить такие важнейшие показатели, как фрактальная размерность (размерность Хаусдорфа – Безиковича) D=2-H и коэффициент долговременной корреляции По существу модель (1) является новой формой представления сигналов на фрактальной плоскости, образованной координатными осями X=LOG(N) и Y=LOG(R/S), где показатель Херста Н определяет наклон аппроксимирующей прямой фрактальной линии к оси абсцисс.

Чтобы устранить указанный недостаток предлагается модернизировать фрактальные единицы измерения, для чего: вместо параметра Херста вычислять параметр NF, названный виртуальным (кажущимся) объемом:

где: max{xi}, min{xi} – соответственно, максимальное и минимальное значения из ряда наблюдений {x1, x2, …, xn}; X0 – оценка среднего арифметического ряда наблюдений; N – объем выборки; Kf – фрактальный коэффициент передачи; СКО – среднеквадратическое отклонение.

С помощью программных генераторов формировались выборки случайных чисел. Для каждой выборки вычислялась фрактальная функция (2). В свою очередь фрактальная функция усреднялась по количеству реализаций. По усредненной фрактальной функции оценивались параметры NF и Kf, которые сопоставлялись с именем соответствующего программного генератора. Для усредненной зависимости NF=f(N) подбиралась аналитическая модель и оценивалась ее погрешность.

На рис.1 представлены результаты исследований усредненных по 10 реализациям фрактальных зависимостей первого и второго порядка для двумодального (2MOD), равномерного (EVEN), нормального (GAUS) и Коши (COSH) распределений. Наличие характерных участков насыщения на фрактальных линиях сигналов с различными распределениями и линейная упорядоченность фрактальных линий второго порядка указывают на объективное существование порядковой шкалы для распределений вероятности.

Рис.1. Экспериментальные фрактальные линии первого (а) и второго (б) порядка для 2МОД (2MOD), РАВН (EVEN), НОРМ (GAUS) и КОШИ (COSH) распределений

 в которой присутствует только один идентификационный параметр – N* - критический объем. Критический объем определяется как такой объем выборки, при котором фрактальный коэффициент передачи составляет » 0.707 от номинального (для данного вида распределения) значения.

Проверка согласия аналитического выражения (3) с ходом реальных фрактальных функций (рис.1,а) на качественном уровне позволяет оценить диапазоны изменения фрактальных параметров N*, NF и Kf распределений вероятности. Так, например, при N>>N* имеем: NF=N* и Kf =0. Такая ситуация имеет место для ограниченных распределений типа 2МОД, АРКС и РАВН, у которых, соответственно, NF(2МОД)=4, NF(АРКС)=8, NF(РАВН)=12 и сами значения виртуального объема NF от объема выборки N не зависят. Другой крайний случай имеет место при N<<N*. Тогда NF» N и Kf » 1, что наблюдается для распределений типа КОШИ.

На основании вышеизложенного, можно утвержать, что: все многообразие форм распределений вероятности заключено в диапазоне от 2МОД до КОШИ со значениями фрактального коэффициента передачи Kf от 0 до 1 при уровне виртуального объема 2£ NF£ N.

Результаты исследования метрологических характеристик фрактальной шкалы распределений (ФШР) представлены в табл.1. для объема выборки N=400 при 10 реализациях В качестве «оцифрованных» отметок ФШР использовались имена симметричных распределений вероятности, наиболее часто встречающихся в практике статистических измерений. Качество калибровки ФШР определяется качеством используемых эталонов – программных генераторов распределений. В данном случае для генерации некоторых видов распределений (СИМП, НОРМ) использовались приближенные, наиболее простые (с позиции программной реализации) композиционные модели вида:

СИМП – FOR I=1 TO N: P(I)=RND+RND-1:NEXT I

НОРМ – FOR I=1 TO N: Q=0: FOR J=1 TO 12: Q=Q+RND: NEXT J: P(I)=Q-6: NEXT I. Здесь RND – функция, генерирующая равномерно распределенные в диапазоне от 0 до 1 случайные числа; P(I) – массив случайных чисел с заданным распределением.

В погрешность модели входит систематическая составляющая, обусловленная смещением реальной характеристики (3) из начала координат на Nmin = 2. При введении соответствующей поправки на смещение погрешность модели будет меньше, приведенной в таблице оценки.

Таблица 1. 

В графе "Погрешность, %" прведены оценки погрешности смещения реальных значений идентификационного параметра NF от эталонных значений этого же параметра, используемых в качестве оцифрованных отметок ФШР. Для асимметричных распределений в этой шкале эталонов нет, поэтому соответствующие погрешности определены быть не могут. Интересно, что такие асимметричные выпуклые распределения, как ЛЭКС и ЭКСП оказались "притянутыми" (примерно на 80%) к симметричному НОРМ распределению, а не к симметричному ЛАПЛ распределению, соответственно, левой и правой половинками которого ЛЭКС и ЭКСП являются.

Полученные результаты указывают на перспективность использования технологии фрактального шкалирования для идентификации распределений вероятности случайных сигналов с достоверностью не менее 90% и погрешностью не более 15% по всему диапазону (от 2МОД до КОШИ) симметричных распределений.

Таким образом, метод виртуальных объемов позволил:

• установить новый, до сих пор неизвестный, тип закономерности между распределениями вероятности в виде фрактальной порядковой шкалы;
• оценить основные метрологические свойства ФШР, в частности, впервые определить диапазон существования возможных видов распределений;
• разработать более прогрессивную технологию (по сравнению, например, с методами гистограмм или проверки гипотез) идентификации – технологию измерения формы распределения вероятностей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. – Л.: Энергоатомиздат, 1991. – 304 с.
2. Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник в 2-х частях. – Новосибирск.: НЭТИ, 1992. – 422 с.
3. Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 254 с.

---

Автор: Кликушин Юрий Николаевич, доцент кафедры "Информационно-измерительная техника" Омского государственного технического университета
Адрес: 644050, Омск-50, пр.Мира, 11, ОмГТУ
Тел. (381-2) 65-37-07
E-mail: lab308@omgtu.omskelecom.ru

оглавление

дискуссия