"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 3, 2007

оглавление

дискуссия

537.876.4; 621.372.834 

Численное моделирование ХАРАКТЕРИСТИК селективных интегрально-оптических элементов с учетом компенсации потерь

А. С. Логгинов, А. Ш. Майоров
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет

Получена 1 марта 2007 г. 

Методом численного моделирования исследованы характеристики селективного интегрально-оптического элемента, образованного двумя планарными волноводами, связанными через кольцевой резонатор. Распределение компоненты электромагнитного поля E_z в системе получено решением скалярного волнового уравнения методом конечных разностей. Для моделирования компенсации потерь в селективном фильтре волновое уравнение дополнено слагаемым, пропорциональным первой производной компоненты поля E_z по времени. Процесс возбуждения резонатора иллюстрирован картинами "мгновенных" распределений поля в селективном устройстве в произвольные моменты времени. Установлено, что усиление позволяет увеличить коэффициент передачи устройства. Рассчитаны переходные характеристики фильтра, определяющие быстродействие прибора.

 

Ключевые слова - спектральное уплотнение, микрорезонаторы, компенсация потерь, интегральная оптика, оптические фильтры, численное моделирование.

 

Введение

 

Использование принципов спектрального уплотнения каналов передачи информации (wavelength division multiplexing, WDM [1]) и возможностей современных технологий изготовления интегрально-оптических устройств привело к целесообразности решения задач численного моделирования и экспериментальной реализации узкополосных оптических фильтров [2]. Потери, возникающие в результате рассеяния света на неоднородностях поверхности таких устройств [3], [4], можно компенсировать, используя усилительные свойства активной полупроводниковой среды. В реальных приборах компенсация потерь может быть осуществлена путем создания инверсной населенности при инжекции свободных носителей заряда через полупроводниковую гетероструктуру. Альтернативный способ создания инверсной населенности — "оптическая накачка", чаще всего применяемая в твердотельных лазерах (например, в рубиновом). Для этого способа компенсации потерь в селективном устройстве одни из сложных технологических задач состоят в том, чтобы создать микроструктуру из композитного материала, энергетические уровни которого расположены в соответствии с "накачкой", интегрировать лазер "накачки" в одном чипе с фильтром.

 

Целью настоящей работы является исследование распределения электромагнитных полей и переходной характеристики системы оптической селекции (рис. 1а), представляющей собой два планарных волновода, связанные через кольцевой резонатор. Если входной сигнал содержит длину волны несущей, являющейся резонансной для кольцевого элемента, она ответвится в выходной волновод. Отношения интенсивностей прошедшего и ответвленного сигналов к входной интенсивности на разных длинах волн (коэффициент передачи) и зависимость этого отношения от времени определяют важнейшие свойства селектирующего элемента. Интерес к системам, подобным изображенной на рис. 1а и являющихся аналогом колебательного контура в оптическом диапазоне частот, обусловлен их миниатюрностью и высокой селективностью.

 

Рис. 1. а) Геометрия рассматриваемой системы, б) распределение интенсивности светового поля в волноведущих элементах.

 

Перспективность изучения таких систем методом численного моделирования обусловлена стремительным развитием вычислительной техники и возможностью использования многопроцессорных комплексов. Длительности процессов, происходящих в подобных системах, могут составлять доли пикосекунд. Экспериментальная реализация таких устройств и регистрация рассматриваемых процессов представляет большие трудности. Численные же методы позволяют получать полную картину распределения электромагнитного поля в системе практически в любой (ограниченный лишь шагом схемы) момент времени.

 

Физические процессы в системе

 

На рис. 1б показано распределение интенсивности светового поля в элементах селективного устройства. Расстояние h между кольцевым резонатором и волноводами (оно принимается одинаковым для входного и выходного волноводов) должно быть достаточно мало, чтобы каждый из волноведущих элементов находился в поле вытекающей волны другого. Например, при распространении оптического сигнала по входному волноводу (если его вытекающие волны перекрываются с волнами кольцевого резонатора) часть энергии, переносимая вытекающей волной, переходит в волну, ограниченную резонатором. Количество энергии, ответвленной в резонатор, зависит от расстояния между волноведущими элементами и длины участка эффективного обмена электромагнитными полями. Константы распространения и показатели преломления материалов (n_g, n_r) также влияют на степень их связанности.

Геометрия системы определяет потери, возникающие в таком фильтре, — на границах кольцевого резонатора не выполнено условие полного внутреннего отражения.

 

Математическая модель селективного элемента

 

Для определения характеристик системы, образованной двумя волноводами и кольцевым резонатором, для TE–распространения ограничимся рассмотрением только одной компоненты поля — E_z, для которой справедливо скалярное уравнение Даламбера (D’Alamber) [5]:

                                                              (1)

В работах [2], [6], посвященных численному моделированию интегрально-оптических устройств, при вычислениях рассматривают уравнения Максвелла (Maxwell’s equations) и для их решения используют алгоритм Кейна Йе (Kane Yee). Экспериментальное сравнение этой методики с численным моделированием уравнения (1) показало, что предпочтительнее использовать волновое уравнение, которое позволяет сократить время вычислений примерно на порядок. Этот выбор весьма важен, т. к. в рассматриваемой задаче объем вычислений значителен.

Моделирование процессов усиления оптического сигнала, компенсирующего возникающие в системе потери, может быть проведено с помощью уравнения:

                                             (2)

Значение параметра d в уравнении (2) характеризует вносимое усиление. Использование этого уравнения для расчета характеристик активного селективного устройства обосновано его физической тривиальностью (по форме оно совпадает с волновым уравнением, описывающим затухающие волны в струне), а существование ряда численных методов решения (2), включая явные разностные схемы, упрощает поставленную задачу.

Уравнение (2) необходимо дополнить граничными и начальными условиями. В задаче анализа электромагнитных полей в селективном элементе исследуемое пространство содержит поля, уходящие в бесконечность. Поскольку вычисления можно производить лишь в конечной области, рассматриваемое пространство необходимо ограничить, и на этих границах волны должны быть поглощены без возникновения существенных отражений [6].

Выбором начальных условий в систему вводится входной сигнал (гауссов профиль по оси y, модулированный гармонической функцией с несущей частотой оптического сигнала). Математический образ входного сигнала можно представить в виде (3):

                            (3)

где E₀ — амплитуда входного сигнала, f — несущая частота, значения x₀ = 0, y₀ и a задают форму и пространственное положение функции Гаусса.

 

Результаты численного моделирования

 

К основным целям исследования можно отнести нахождение распределения компоненты электромагнитного поля E_z вблизи селективного устройства, моделирование процесса возбуждения кольцевого резонатора, вычисление коэффициента передачи устройства и переходных характеристик системы.

Моделирование двумерного волнового уравнения (2) выполнено с помощью явной трехслойной схемы типа "крест" [7]. При расчете предполагались следующие параметры системы (рис. 1а): показатели преломления материалов оптических волноводов и резонатора n_r = n_g = 3,2; показатель преломления окружающей среды n₀ = 1,0; толщины волноводов и кольца резонатора d_r = d_g = 0,3 мкм; радиус резонатора R = 2,5 мкм; расстояние между волноводами и резонатором h = 0,2 мкм; длина волны входного сигнала l  = 1,5722 мкм; значение параметра, определяющего усиление: d = 0,0001 с/м² (в кольцевом резонаторе) и d = 0 (в оставшейся области пространства). В спектроскопии и лазерной физике коэффициент, определяющий потери или усиление света в среде, принято выражать в см^-1. В данном случае соответствие может быть установлено, если d умножить на скорость распространения света в волноведущих областях, тогда получим:  см^-1.

Рассчитав компоненту электромагнитного поля E_z с помощью уравнения (2), мы можем определить коэффициент связи как отношение интенсивности света, ответвившейся в резонатор, к входной интенсивности (). Определим коэффициент передачи и коэффициент, определяющий быстродействие, как:  и  соответственно, где l  длина волны несущей входного сигнала, t — время (индекс z при E_zдля простоты опущен).

Рис. 2. Распределение компоненты электромагнитного поля E_z в системе.

 

Распределение компоненты электромагнитного поля в момент времени t = 2,4 пс представлено на рис. 2. Структура поля обусловлена входным сигналом (3). В волноводе распространяется оптическое излучение с длиной волны l = 1,5722 мкм (профиль сигнала по оси y — гауссов). Отношение интенсивности на выходе фильтра к интенсивности на входе составляет около 98%. Усиление позволяет увеличить коэффициент передачи устройства, значение которого при отсутствии компенсации потерь достигает лишь 58% [5]. Переходные характеристики системы представлены на рис. 3, 4. Ступенчатый вид кривых аналогичен виду переходного процесса в СВЧ резонаторе с одним элементом связи. Ширина одной "ступеньки" равна времени пролета оптическим излучением длины кольцевого резонатора.

Рис. 3,4. Переходные характеристики при возбуждении системы сигналом с несущей l = 1,5722 мкм.

 

Заключение

 

Методом численного моделирования селективного элемента с кольцевым резонатором с учетом компенсации потерь рассчитано распределение компоненты электромагнитного поля E_z и определены: коэффициент передачи системы и переходные характеристики, определяющие ее быстродействие. Компенсация потерь при экспериментальной реализации подобных систем осуществляется за счет создания инверсной населенности при инжекции свободных носителей заряда через полупроводниковую гетероструктуру.

 

Литература

 

[1] M. S. Borella, J. P. Jue, D. Banerjee et al. Proceedings of the IEEE, 85 (1997) 1274–1307.

[2] S. C. Hagness, D. Rafizadeh, S. T. Ho, and A. Taflove. J. of Lightwave Technol., 15 (1997) 2154–2165.

[3] B. E. Little and S. T. Chu. Opt. Lett., 21 (1996) 1390–1392.

[4] B. E. Little, J.-P. Laine, and S. T. Chu. Opt. Lett., 22, (1997) 4–6.

[5] А. С. Логгинов, А. Ш. Майоров, С. А. Кряжимский. Радиотехника, №1 (2005) 24–29.

[6] S. T. Chu and S. K. Chaudhuri. J. of Lightwave Technol., 7 (1989) 2033–2038.

[7] Н. Н. Калиткин. Численные методы, М.: “Наука” (1978) 425–439.