 |
"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ" N 5, 2002 |
 |
СТРУКТУРА СПЕКТРА КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
В. В. Копытов, К. С. Костенко.
E-mail: softmaster@pisem.net
Филиал Ростовского военного института РВ (г. Ставрополь)
Получена 20 мая 2002 г.
Оценена структура энергетического спектра квазипериодического колебания возникающего в системе связанных нелинейных осцилляторов с внешним гармоническим воздействием при переходе к хаосу через бифуркации удвоения периода частоты биений между осцилляторами
1.введение
Переходам к хаотическому движению через квазипериодические колебания в нелинейных распределенных системах и средах, как известно, предшествуют режимы усложняющейся автомодуляции. Бифуркационные явления рождения хаоса при разрушении квазипериодических колебаний реализуются и исследуются при периодическом внешнем воздействии на устойчивый предельный цикл автономных систем, в системах двух взаимодействующих нелинейных осцилляторов, а также в автономных нелинейных и распределенных системах, способных работать в режимах автомодуляции. В этом случае, согласно модели Рюэля-Такенса [1], переход к хаотическому движению становится возможным после двух бифуркаций Хопфа и сопровождается нелинейными процессами разрушения фазового портрета в виде двумерного тора. В результате в окрестности исходного тора возникает стохастическое множество – тор-аттрактор, эволюционирующий далее к развитому хаосу. Спектр колебаний обогащается новыми и комбинационными частотами, увеличивается их число и интенсивности, растет число гармоник, и в итоге спектр становится сплошным, свидетельствуя о нерегулярности колебаний. Однако экспериментальные исследования показали, что в связанных неавтономных нелинейных системах под внешним воздействием наблюдается переход к хаосу через бифуркации удвоения периода одного из движений на двумерном торе при изменении внешнего управляющего параметра, подобно каскаду удвоений периода Фейгенбаума [2]. Явления возникающие в данных системах существенно отличаются от модели перехода к турбулентности по Рюэлю-Такенсу и требуют проведения дополнительных исследований.
Целью работы является определение структуры энергетического спектра сложнопериодического колебания возникающего при переходе к хаосу в системе связанных неавтономных нелинейных динамических систем.
2. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Рассмотрим формирование энергетического спектра хаотического сигнала в системе связанных нелинейных осцилляторов в виде подобных связанных колебательных контуров (рис. 1) с внешним гармоническим воздействием, каждый из которых содержит нелинейную емкость с вольт-фарадной характеристикой показанной на рисунке 2.
Рис. 1. Система связанных нелинейных колебательных контуров
Рис. 2. Вольт-фарадная характеристика нелинейной емкости
Для решения задачи оценки прохождения сигнала от входного контура к выходному используют в качестве передаточной функции взаимное сопротивление между контурами, при этом выражение для амплитудно-частотной характеристики напряжения на вторичном контуре определяется следующим образом [3]
(1)где 
- взаимное сопротивление между контурами; R1, R2 – значения
активных сопротивлений каждого контура; k – коэффициент связи катушек индуктивности; Q – добротность; 
- обобщенная расстройка; wр(U) - резонансная частота
нелинейного контура зависящая от напряжения на контуре.
При значении коэффициента связи соответствующему
критическому значению 
напряжение
на вторичном контуре принимает максимальное значение 
. Дальнейшему увеличению
коэффициента связи амплитудно-частотной характеристике соответствует двугорбая
форма, максимальные значения которой соответствуют двум значениям резонансных
частот w01,2, разность частот между которыми определяется
как
.
(2)Предельно допустимое значение
коэффициента связи kпр
ограничено требованием, чтобы полоса пропускания связанных контуров не
содержала разрывов, т.е. 
При внешнем воздействии на систему с нелинейными элементами энергетический спектр реакции системы оказывается дискретным, содержащим составляющие с частотами, кратными частоте вынуждающего сигнала. Рассмотрим формирование дискретного спектра в системе связанных нелинейных колебательных контуров при внешнем гармоническом воздействии с частотой w0.
Полагая добротность контура
достаточно большой, можно ожидать, что при протекании через контур тока с
частотой w0 напряжение на контуре будет
синусоидальным той же частоты 
даже, если ток i содержит еще и гармоники частоты w0. Ток в емкостной ветви определяется выражением
(3)где 
- дифференциальная емкость
p-n перехода. В результате
получаем
.
(4)Аппроксимируя относительно смещения в рабочей точке зависимость С(и), показанную на рисунке 2, полиномом второй степени
(5)с положительными коэффициентами С0, а1, а2 и подставляя (5) в (4) получаем
. (6)Из данного выражения видно наличие трех гармоник тока с частотами w0, 2w0, 3w0 с различными начальными фазами, причем первая и третья гармоники имеют одинаковую амплитуду и противоположные начальные фазы.
При значениях коэффициента связи k > kкр в системе связанных нелинейных колебательных контуров с увеличением величины входного тока I1 возникают колебания представляющие суперпозицию двух биений, обусловленных характером начальных условий (наличием энергии в первичном и вторичном контурах). Закономерности обоих биений одинаковы: уменьшение амплитуды колебаний в одном контуре сопровождается ростом ее в другом и наоборот, т.е. происходит перераспределение энергии между контурами. Процесс повторяется периодически с частотой биений, под которой подразумевают величину
. (7)В результате при превышении коэффициента связи критического значения в данной нелинейной системе возникают как гармоники частоты внешнего воздействия w0, 2w0,…, iw0,…, так и гармоники частоты биений W, 2W,…, jW,…, приводящие к амплитудной автомодуляции частоты внешнего воздействия, что соответствует фазовому портрету в виде двумерного тора. Проекция фазового портрета и осциллограмма сигнала во вторичном контуре при возникновении биений между нелинейными контурами показаны на рисунке 3.
Рис. 3. Проекция фазового портрета а) и осциллограмма напряжения во вторичном контуре б) при возникновении биений между нелинейными контурами (физический эксперимент)
Результирующий сигнал во вторичном контуре в случае, если частота внешнего воздействия совпадает с резонансной частотой контуров w0, определяется как
(8)где UjW, F0j – амплитуда напряжения и начальная фаза j-ой гармоники частоты биений соответственно; j0i – начальная фаза i-ой гармоники напряжения внешнего воздействия во вторичном контуре.
Спектральный состав данного сигнала в области первой гармоники частоты внешнего воздействия с учетом первых трех гармоник частоты биений показан на рисунке 4.
Рис.4 Спектральный состав сигнала во вторичном контуре при возникновении
биений между нелинейными контурами
Определим энергетический спектр сигнала с учетом полосы пропускания системы. Для попадания комбинационных частот w0±W в полосу пропускания при предельном значении коэффициента связи должно выполнятся следующее условие [3]
(9) Учитывая, что при
предельном значении коэффициента связи 
, получаем 
. Это показывает, что комбинационные
составляющие уже от первой гармоники частоты биений находятся за пределами
полосы пропускания системы.
Уровень подавления второй гармоники частоты вынуждающего воздействия 2w0 (значение расстройки x=2) определяется следующим отношением
При значении добротности Q = 10 и kпрQ = 2,41 уровень второй гармоники частоты внешнего воздействия будет составлять 0,013U2max. Следовательно, в энергетическом спектре системы будут присутствовать комбинационные частоты только от первой гармоники частоты воздействия и частоты биений.
При значении коэффициента связи kкр < k < kпр изменение значения внешнего управляющего параметра, которым в данном случае является частота внешнего воздействия, приводит к последовательности бифуркаций удвоения периода частоты биений и вблизи точки перехода приближено моделируется следующим одномерным отображением
где l - управляющий параметр; р – целое число.
Частота биений, являясь модулирующим сигналом частоты внешнего воздействия в результате бифуркаций удвоения периода, обладает сложным спектральным составом. Моделью такого сигнала является тригонометрическая функция
(11)где частоте W0 соответствует значение частоты биений (7). В случае амплитудной автомодуляции задающего воздействия результирующее колебание во вторичном контуре примет вид
(12)Определим значения
амплитуд 
возникающих
в результате бифуркаций удвоения периода частоты биений используя бифуркационную
диаграмму системы описываемой одномерным отображением (10). Как следует из самоподобия элементов цикла
[2] значения управляющего параметра ln в точке n-ой бифуркации при больших n ведут себя как геометрическая прогрессия с постоянной
d
,
где l¥ - значение управляющего параметра в точке возникновения статистической необратимости колебаний в системе.
Отношение расстояний dn/dn+1, где dn - расстояния по оси Х между 
и ближайшим к нему
элементом цикла при l = ln, также имеет предел равный
постоянной a [2]. При
увеличении в a раз вблизи очередная бифуркация
будет выглядеть точно так же, как и предыдущая. Значения постоянных a и d в зависимости от показателя степени р в
выражении (10) приведены в табл. 1
[4].
Таблица 1
|
р |
a |
d |
|
р |
a |
d |
|
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 |
2,5029 1,9277 1,6903 1,556 1,468 |
4,6692 6,0847 7,2851 8,345 9,31 |
|
6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 |
1,405 1,35 1,32 1,29 1,27 |
10,18 10,98 11,72 12,48 13,15 |
Энергетический спектр стохастических колебаний при l < l¥ дискретный, так как колебания периодические, а при l > l¥ содержит как дискретные составляющие, так и шумовые. Расчет дискретного энергетического спектра в бифуркационной области с использованием самоподобия элементов цикла показал, что для l-ой Фурье-амплитуды при (n +1)-ой бифуркации удвоения
, 
(13)где 
- решение после (n +1)-ой бифуркации; Тn+1 – период данного решения;
вблизи точки l¥ выполняется универсальный закон подобия [2]
,
(14)где
,
(15)т. е. амплитуды нечетных субгармоник, которые появляются в результате каждой бифуркации, в среднем равны усредненным амплитудам старых нечетных компонент, помноженным на постоянное число g-1. Фурье – амплитуды для четных субгармоник остаются неизменными при всех последующих бифуркациях
.
(16)Схематично изменение фурье-компонент в результате двух бифуркаций представлено на рисунке 5.
Следовательно, при бифуркациях удвоения, когда 2n- цикл переходит в 2n+1- цикл в спектре мощности процесса мягко рождаются 2n дополнительных субгармоник на частотах
,
амплитуды, которых с ростом управляющего параметра l возрастают и к моменту следующей бифуркации становятся максимальными, подчиняясь универсальному соотношению
.
(17)Амплитуды субгармоник появившихся в результате предшествующих n бифуркаций остаются неизменными.
Рис. 5. Изменение фурье-компонент в результате бифуркации (схематично)
В соответствии с вышеизложенным выражение для напряжения во вторичном контуре, в случае равенства первой гармоники частоты биений амплитуде напряжения воздействующего сигнала на резонансной частоте (UW = U2(w0)) и нулевой начальной фазе воздействующего сигнала (j0=0), с учетом первых трех гармоник частоты биений, определяется следующим образом:
в результате первой бифуркации
,
в результате второй бифуркации
и т.д. Коэффициенты m2, m3 равны коэффициентам модуляции для второй и третьей гармоник частоты биений соответственно.
Формирование энергетического спектра системы в результате первых трех бифуркаций частоты биений с учетом амплитудно-частотной характеристики системы (1) и универсального соотношения (17) показано на рисунке 6. Коэффициент связи между контурами равен предельному значению. Начальные фазы трех гармоник частоты биений, как следует из выражения (6), равны соответственно 0, 3p/2 и p. Знаками (+) и (-) показаны сложение и вычитание появляющихся субгармоник в результате бифуркаций с различными начальными фазами.
Рис. 6. Спектр колебаний в связанных нелинейных колебательных контурах
для трех бифуркаций удвоения периода частоты биений
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ полученных результатов
Механизм перехода к стохастичности через возникновение сложнопериодических колебаний в системе связанных нелинейных осцилляторов уверенно регистрируется и в физическом эксперименте. Измерения проводились в окрестности резонансной частоты осцилляторов, в качестве управляющего параметра использовались амплитуда и частота внешнего гармонического воздействия. Эволюция отображений Пуанкаре и спектров мощности колебаний в результате бифуркаций удвоения периода частоты биений показаны на рисунке 7.
Рис. 7. Эволюция отображений Пуанкаре и спектров мощности колебаний в результате бифуркаций удвоения периода частоты биений (физический эксперимент)
Из рисунка 7 видно, что при возникновении в системе амплитудной автомодуляции к спектру входного сигнала частоты w0 добавляются боковые составляющие w0 ± W, отвечающие режиму резонансных биений с частотой модуляции W (рис. 7, а). В спектре 2-тактных колебаний появляются гармоники половинной частоты w0 ± W/2, их амплитуды растут с увеличением глубины модуляции и достигают насыщения к моменту следующей бифуркации удвоения (рис. 7 б). В точке бифуркации появляются и плавно увеличиваются с ростом управляющего параметра компоненты спектра jW/4, j = 1,2, отвечая мягкому рождению цикла периода 4/jW (рис. 7 в). Тщательные измерения показали, что отношение интенсивности субгармоник jW/2n и jW/2n+1 для n = 0 и 1 составляет 10-12 дБ и достигает величины 13,0±0,3 дБ при n = 2. Данному отношению интенсивности субгармоник соответствует значение g » 0,045 при a » 2,5. В этом случае как видно из таблицы 1 показатель степени в выражении (10) р = 1 и система описывается квадратичным отображением.
В пределе накопления бифуркаций удвоения периода n>>1 становится справедливой масштабно инвариантная структура спектра в точках бифуркации. Дробление масштаба по оси частот соответствует делению интервала между ближайшими субгармониками пополам, а интенсивность возникших частотных компонент jW/2n+1 в точках бифуркации на 13 дБ меньше, чем интенсивность субгармоник jW/2n. При подходе к критической точке число предшествующих удвоений стремится к бесконечности и интервал частот между ближайшими субгармониками DWn ® 0. Спектр становится сплошным. Однако интенсивность субгармоник с ростом n очень резко убывает и стремится к нулю n ® ¥. С превышением порога стохастичности начинается процесс уширения спектральных линий высших субгармоник, приводящий к росту интенсивности сплошного шумового пьедестала в спектре. С некоторого значения параметра в эксперименте регистрируется сплошной спектр. Рисунок 7 г иллюстрирует спектр странного аттрактора при малом превышении над порогом, который соответствует размытому спектру 8-тактного цикла.
4. ВЫВОДЫ
Совокупность проведенных расчетов и представленных экспериментальных данных позволяет сделать вывод о возможности приближенного описания перехода к хаосу в системе связанных нелинейных осцилляторов при внешнем гармоническом воздействии через последовательность бифуркаций удвоения периода возникающей частоты биений между осцилляторами с помощью одномерного отображения типа квадратичной параболы и возникающей в системе амплитудной автомодуляции. Ширина энергетического спектра формируемого сигнала определяется амплитудно-частотной характеристикой системы связанных нелинейных осцилляторов.
1. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы / Под. ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова.- М.: Мир, 1981. с. 117-151.
2. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение: Пер. с англ. - М.: Мир, 1998.
3. Афанасьев Б.П., Гольдин О.Е., Кляцкин И.Г. Теория линейных электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1973.
4. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1997.
 |
 |